Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней

Рассмотрим понятие соответствия множеств: позже мы еще раз обратимся к нему при изучении функциональной зависимости (п. 8.1.1). Будем говорить, что между множествами Xи Yустановлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу х е X соответствует элементу € Y. Соответствие называется взаимно однозначным, если Vxe X соответствует только один элемент из Y. Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Это даст возможность наглядного геометрического изображения вещественных чисел на числовой оси. На прямой выберем точку О начала отсчета, укажем направление отсчета (обычно слева направо) и единицу измерения или масштаб (рис. 6.2), тем самым полностью определив числовую (координатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на такой оси.

Поставим этой точке в соответствие число ^Рис— ^{6 2}

х, равное длине отрезка ОМ со знаком «+»,.

если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком «-», если А/ расположена слева от точки О. Тогда число х называется координатой точки х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна х.

Укажем некоторые наиболее используемые числовые множества. Пусть, а и b — два числа, причем а < Ь. Используем следующие обозначения:

• 1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а <�х< Ь, называется отрезком (сегментом) [д, Ь
• 2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству а < х < Ь, называется интервалом (а, Ь);
• 3) множество всех вещественных (действительных) чисел будем обозначать: -оо < х < (c)©, ИЛИ (-(c)о, (c)о);
• 103

Глава 6 Числовые множества.

4) аналогично п. 1—3 можно определить числовые множества типа (а, Ь), [а> Ь), (я, +<�"), (-«в, b)_t [а, +оо) и (-«о, Ь]. Все эти множества называются промежутками; промежутки типов 1 и 2 и промежутки первых двух типов из п. 4 называются конечными, а числа awb — wx концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [a, b] изображается отрезком Л/, Л/₂, таким, что точка Л/, имеет координату а_у а точка Л/₂ — координату Ь. Вся координатная прямая является изображением множества всех вещественных чисел, и потому множество (-<�", °°) называется числовой прямой (осью), а любое число — точкой этой прямой.