Предельные издержки производства

Издержки производства s будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции v. Среднее значение издержек производства на еди;

ницу продукции выражается отношением — (издержки производства к ооъ;

V

ему выпускаемой продукции). Средние издержки производства обозначим Av.

Пусть Аг> — прирост продукции, a As — приращение издержек производства. Имеем — — среднее значение приращения издержек производства Av

на единицу продукции. Тогда значение производной s'(?'o)= lim — выра;

дп—"о Av

жает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а переменными (сырье, топливо и т. д.). Предельные издержки производства обозначим Ms.

Поскольку производная характеризует скорость изменения какого-либо явления, то и в экономике производная отражает скорость изменения некоторого экономического процесса или объекта либо по времени, либо относительно какого-то другого фактора.

Пример 3.23.

Зависимость между издержками производства и и объемом выпускаемой продукции в выражается функцией s = 45 в — 0,06b³. Определим средние и предельные издержки производства при объеме продукции 10 ед.

Решение

S

Средние издержки выражаются отношением s, = — = 45−0,06в².

в При v = 10 средние издержки на единицу продукции равны.

Предельные издержки выражаются функцией, являющейся производной от функции s: .•>'(?') = 45 — 0,18в².

При в = 10 предельные издержки составят.

Таким образом, дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции составят при данном уровне производства 29 ден. ед., в то время как средние издержки на производство единицы продукции составляют 39 ден. ед.

Ответ: предельные издержки 27 ден. ед.; средние издержки 39 ден. ед.

Один из базовых законов теории производства гласит: оптимальный для производителя уровень выпуска продукции определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

Таким образом, уровень выпуска а₍₎ является оптимальным для производителя, если Ms (v₀) = Md{«₀), где Ms — предельные издержки, a Md — предельный доход.

Обозначим функцию прибыли r (v). Тогда r (v) — d (v) — s (v), где d (v) — функция дохода; s (v) — функция издержек. Очевидно, что оптимальным уровнем производства будет тот, при котором прибыль максимальна, т. е. функция r (v) = d (v) — s (v) имеет максимум. По теореме Ферма значение производной в этой точке равно нулю, т. е. r'(v) = 0. Но по правилам вычисления производных /(«) = d'(v) — s'(v) = 0, значит, d'(v) = sv). Таким образом, Ms (v₀) — Md (v_{)).

Пример 3.24.

Определим оптимальный уровень выпуска продукции, если зависимость между издержками производства и и объемом выпускаемой продукции и выражается функцией 5 = 45?; - 0,0 6ц³, а цена единицы выпускаемой продукции равна 27 ден. ед. Решение

Функция дохода имеет вид d (v) = 21 v.

Тогда функция прибыли в указанных условиях принимает вид.

Оптимальный уровень выпуска продукции определяется условием r'(v) = 0, т. е.

Решая это уравнение, находим: с₀ = 10 ед.

Ответ: гу, = 10 ед.

Еще одно немаловажное понятие производства — уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству продукции минимальны. Экономический закон утверждает: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Как мы уже с вами знаем, среднее значение издержек производства на единицу продукции As = —. Минимум этой величины достигается в ста;

v

ционарной точке функции Найдем ее:

Отсюда получаем: s'(v) • v — s (v) = 0, т. е. s'(v)? v = s (v), или s'(v) =

v

Пример 3.25.

Определим уровень наиболее экономичного производства, если издержки производства выражаются функцией s = 45″ + 24″² — 0.06″³.

Средние издержки выражаются отношением s, = — = 45 + 24ц-0,06ц².

v

Предельные издержки выражаются функцией, являющейся производной от функции s:

Используя условие экономичности производства s'(v)= ¹ для данной функ;

V

ции имеем уравнение.

Решив это уравнение, получим v = 200 ед. Ответ: v = 200 ед.

Следующий пример является представителем достаточно стандартных задач на оптимизацию, традиционно решаемых в курсе алгебры и начал анализа при изучении темы «Производная и ее применение».

Пример 3.26.

Из квадратного листа железа со стороной а нужно сделать ящик, открытый сверху (с квадратным основанием). Для этого по углам листа вырезают равные квадраты, а затем по пунктирным линиям сгибают лист (рис. 3.5). Найдем длину стороны вырезаемых квадратов, так чтобы объем ящика был наибольшим.

Решение

Обозначим сторону вырезаемого квадрата через х. Тогда объем ящика равен V = = х? (а — Ъс)².

Исследуем полученную функцию на наибольшее значение.

Для этого найдем производную:

Производная имеет два нуля:

Обратим внимание на область определения функции. Поскольку х — длина стороны, то она может быть только положительной.

Но величина а — 2х тоже не может быть неотрицательной, поэтому для переменной х получается промежуток хе| 0;— |. На указанном промежутке нроизводная имеет только один корень, справа от которого она принимает отрицательные значения, а слева — положительные. Поэтому х = ^ является точкой максимума для данной функции. Эта точка экстремума единственная па области определения, поэтому в ней функция принимает наибольшее значение. Это значение равно.