Алгебраический метод. 
Геометрические построения на плоскости различными инструментами

Пусть даны на плоскости отрезки,; a, b, c,…, l — их длины при некоторой избранной единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов отрезок, длина которого при той же единице измерения выражается через длины a, b, c,…, l данных отрезков заданной формулой: Y=f (a, b, c,…, l).

Результат построения отрезка, длина которого является функцией от длин данных отрезков, не будет зависеть от выбора единичного отрезка тогда и только тогда, когда для этой функции выполняется условие f (ka, kb, kc,…, kl)= k f (a, b, c,…, l). Функцию, удовлетворяющую этому условию, называют однородной функцией первого измерения.

Пользуясь понятием однородной функции, выделяют некоторые классы алгебраических выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Построение этих выражений производится с помощью основных построений, которые либо очевидны, либо легко прослеживаются по приведенным рисункам. Построение ясно из рисунка.

1. x=a+b.

• 2. x=a-b, a>b.
• 3. x=na,

где n — натуральное число.

4. x=, x=,.

где n, mнатуральные числа.

• 5. x=
• (построение отрезка, четвёртого пропорционального трём данным отрезкам) (рис. 35).

Рис. 35.

• 6. x=
• — (построение среднего пропорционального двух данных отрезков рис. 36).

Рис. 36.

7. x=.

8. x=, (a>b).

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами. В общем, отрезок, длина которого выражается через длины данных отрезков с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции извлечения квадратного корня, всегда можно построить с помощью циркуля и линейки.

Особенностью использования алгебраического метода решения задач на построение является следующее. Среди неизвестных элементов искомой фигуры выбирают отрезок, имеющий ключевое значение для построения искомой фигуры. Длину этого отрезка с помощью соответствующих теорем выражают через длины известных отрезков. Затем отрезок строят по найденной формуле. Построенный отрезок присоединяют к данным элементам фигуры и заканчивают решение задачи. [1].