Уединение параметра и графический анализ по условию задачи. 
Использование методов математического анализа (уравнение касательной)

1. Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами.

При этом способе нужно пользоваться равносильными переходами, чтобы показать, что преобразованное выражение равносильно исходному. И обязательно ставятся условия для нахождения решения иррационального уравнения, потому что одно из решений может не попасть в ОДЗ:

f (x)=g2(x;а).

g (x;a)0.

Рассмотрим данный способ на примере:

1.13.33. При каких, а уравнение х+3=2х-а имеет единственное решение?

Решение: Обеспечим неотрицательность обеих частей, возведем в квадрат обе части уравнения:

Х+3 = 4×2 — 4х+а2 4×2 — х (4а+1) + а2 — 3 = 0.

2х — а 0 х a/2.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Д=(4а+1)2 — 44(а2 — 3)=16а2+8а+1 — 16а2 + 48=8а+49.

1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит, Д=0, 8а +49 = 0,.

а= - 49/8; х= 4а+1/8, но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ:

а =- 49/8 а = - 49 /8 а = - 49/8.

а = - 49/8.

• 4а+1/8 а/2 4а + 1 4а 1 0
• 2) Если Д>0, то только один корень уравнения должен удовлетворять условию х a/2
• 4а+1+v8а+49 4а v8а+49 — 1 а — 6
• 4а+1- v8а+49 1 а > -6 а > - 6
• 8а+49>0 а > - 49/8
• v8а+49 < - 1
• v8а+49? 1

Ш, а > - 49/8.

Ответ: — 49/8 U (-6;?).

2 способ. Решим это задание аналитическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика — «полу» парабола с вершиной х = -3; у= 2х — а — множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом, а прямая у=2х — а перемещается вправо.

у.

x х х Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0), мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х.

Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2,.

— абсцисса точки касания.

Тогда уравнение касательной ,.

а= .

При х= - 3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= - 6. А при, а > - 6 имеем одну точку пересечения.

Ответ: