Методы Адамса для уравнений более высокого порядка

Системы дифференциальных уравнений различных порядков можно интегрировать непосредственно без сведения к эквивалентной системе первого порядка.

Рассмотрим уравнение dго порядка Интегрируя (2. 35) (ds) раз, получаем Заменяя функцию f (x, y (x), …, y (d-1) (x)) интерполяционным полиномом, получим явную формулу Адамса:

Рассмотрим алгоритм PkECk+1E, пользуясь разделенными разностями. Это наиболее распространенная форма использования методов Адамса Следует отметить, что коэффициенты gij, совпадают с коэффициентами первого порядка, так как вычисляются одинаково.

В настоящее время отсутствуют теоретические аргументы в пользу сведения уравнений высокого порядка к системе уравнений первого порядка или, наоборот, в пользу непосредственного их интегрирования.

Вычислительное преимущество формул (2. 37) заключается в том, что требуется сформировать и обновлять на каждом шаге только одну таблицу разделенных разностей. Сведения к d уравнениям первого порядка потребовало бы d таблиц разностей.

Особенности метода Адамса

Преимущества метода Адамса по сравнению с методом Рунге-Кутта:

экономичность;

наглядный контроль — по последним конечным разностям можно судить о точности результата.

Недостатком метода Адамса по сравнению с методом Рунге-Кутта является его многошаговость, то есть то, что решение в следующей точке зависит от решения в нескольких предыдущих точках, и они должны быть равноотстоящими.

Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ — функции f (x, y). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k-шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x1, x2, …, xk-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутты 4-го порядка.

Другой проблемой является невозможность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах.

адамс интегрирование уравнение шаг.