Основные определения и понятия

Все рассматриваемые методы основаны на известной матричной модели представления данных и знаний, включающей матрицу описаний (Q) объектов в пространстве характеристических и матрицу различений (R) объектов в пространстве классификационных признаков. Элемент q_ij матрицы Q задает значение j-го признака для i-го объекта. Если значение q_ij отмечено символом «- «, то считается, что признак может принимать как нулевые, так и единичные значения, а в случае k-значных признаков — любые целочисленные значения признаков из заданного интервала значений признака. Элемент r_ij матрицы R задает принадлежность i-го объекта одному из выделенных классов по j-му механизму классификации. Множество всех неповторяющихся строк матрицы R сопоставлено множеству выделенных образов. Элементами образа являются объекты, представленные строками матрицы Q, сопоставленными одинаковым строкам матрицы R. Если имеется единственный механизм классификации, матрица различений вырождается в столбец, что соответствует традиционному представлению знаний в задачах распознавания образов.

Задача распознавания состоит в определении по матрицам Q и R образа, которому принадлежит заданный совокупностью признаков исследуемый объект, как правило, не входящий в обучающую выборку.

При q_ij{0,1, — } используются следующие определения.

Признаки называются зависимыми, если имеется хотя бы одна пара объектов из разных образов, различаемая этими признаками.

Совокупность признаков, различающих все пары объектов из разных образов (классов), назовем диагностическим тестом (далее слово «диагностический» будем опускать).

Два объекта считаются различимыми, если хотя бы один признак в описании одного из них принимают значение 1 (0), а в описании другого — инверсное (0 (1)).

Авторами предложен подход [Янковская и др., 2004a, Янковская и др., 2004b] и реализующий его метод определения весовых коэффициентов характеристических признаков, используемых в интеллектуальных тестовых распознающих системах. Подход основан на представлении совокупности всех различимых пар объектов из разных образов для каждого признака () в виде мультимножества и применении метода анализа иерархий Саати, использующего парные сравнения критериев (признаков) в матрицах доминирования на основе специальным образом выбранной меры относительной важности признаков, учитывающей их взаимозависимость.

Предложенный метод состоит из трех этапов, на каждом из которых формируется матрица парных сравнений (МПС) признаков (M — количество признаков в тесте) на основе определенной меры относительной важности признака i над признаком j, в качестве которой поэтапно выбираются величины:

, , (1.1).

где — мощность (общее количество элементов) [Петровский, 2003]i-го мультимножества, соответствующего признаку; размерность (количество элементов, встречающихся один раз) i-го мультимножества; - разность мультимножеств, соответствующих признакам и; , если, и, иначе. На s-м () этапе вычисляется М — компонентный вектор значений ВКП ;

.

совпадающий со значением нормализованного главного собственного вектора соответствующей матрицы (по Саати — локальные приоритеты). Вектор:

представляет собой обобщенные значения ВКП (глобальные приоритеты), входящих в тест. Вышеуказанные меры позволяют учесть не только общие свойства сравниваемых признаков (степень сходства или различия), но, что особенно важно, и уникальные их свойства (степень приоритетности одного признака над другими).

Известно, что при использовании метода анализа иерархий такой способ определения весового вектора существенно опирается на свойство совместности матрицы парных сравнений и не является обоснованным в случае его нарушения.

Для дальнейшего изложения перечислим требования к матрице относительных весов [Саати, 1989]:

• 1): a_ij > 0;
• 2) ;
• 3)
• 4) число M является максимальным собственным значением матрицы A, и для некоторого единственного (нормированного) вектор-столбец:

а.

с положительными компонентами выполняется равенство:

A W = M W.

Из свойства 3) [Ногин, 2004] следует, что при формировании матрицы парных сравнений достаточно получить набор элементов первой строки (в том числе от эксперта), после чего остальные элементы матрицы A можно однозначно вычислить (если позволяет специфика задачи) по формуле:

.

Следуя [Ногин, 2004], будем использовать следующие понятия.

Будем говорить, что некоторый набор элементов матрицы:

.

расположенных выше главной диагонали, является определяющим, если на его основе с помощью свойств 2) — 4) можно однозначно определить все остальные элементы матрицы, причем найденная таким способом матрица будет удовлетворять всем свойствам 1) — 4).

Минимальный (по числу) определяющий набор элементов матрицы А назовем базисным.