СМО c неограниченной длиной очереди

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей — абсолютной, А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Ротк, среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: Lсист — среднее число заявок в системе; Тсист — среднее время пребывания заявки в системе; Lоч — среднее число заявок в очереди (длина очереди); Точ — среднее время пребывания заявки в очереди; Рзан, — вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Одноканальная система с неограниченной очередью

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность л, а поток обслуживании — интенсивность м. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2,… по числу заявок, находящихся в СМО: S0 — канал свободен; S1 — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S2 — канал занят, одна заявка стоит в очереди; … Sk — канал занят, (k— 1) заявок стоят в очереди и т. д.

Граф состояний СМО представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 — Граф состояний одноканальной СМО Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна л, а интенсивность потока обслуживании м.

Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t>?, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ?? 1, очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (20), (21) для процесса гибели и размножения. Получим:

(37).

Так как предельные вероятности существуют лишь при с < 1, то геометрический ряд со знаменателем с< 1, записанный в скобках в формуле (37), сходится к сумме, равной. Поэтому.

(38).

и с учетом соотношений (21).

(39).

найдем предельные вероятности других состояний.

(40).

Предельные вероятности p0, р1, p2,…, pk, … образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем с < 1, следовательно, вероятность p0 — наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при с < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе Lсист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом выражения (40) примет вид.

(41).

Можно показать, что формула (41) преобразуется (при с < 1) к виду.

(42).

Найдем среднее число заявок в очереди Loч. Очевидно, что.

(43).

где Lоб — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

Среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:

(44).

В силу (38).

(45).

Теперь по формуле (43) с учетом (42) и (45).

(46).

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т. е.

(47).

(48).

Формулы (47) и (48) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность л.

На основании формул (47) и (48) с учетом (42) и (46) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:

(49).

а среднее время пребывания заявки в очереди -;

(50).