Свертка функции и фильтрация

Прямые и обратные задачи

С точки зрения методологии, прямыми задачами называют задачи, для которых известны причины, а искомые величины являются следствием. Для обратных задач известны следствия, неизвестны причины.

К классу прямых задач относятся корректные задачи. Они характеризуются необходимостью нахождения решения из уравнения с заданными коэффициентами и правой частью и дополнительных граничных и начальных условий. С точки зрения причинно — следственных связей граничные условия являются причинами, а решение краевой задачи — следствием.

Под обратными задачами понимаются задачи, не относящиеся к прямым, они зачастую связаны с необходимостью определения не только решения, но и некоторых недостающих коэффициентов или условий. Также есть необходимость в компенсации недостающей информации, поэтому в обратных задачах выделяют дополнительную информацию, с помощью которой рассчитывается возможность однозначного определения решения.

Уравнение свертки

В математике свертку функций понимают как операцию над двумя функциями, которая порождает третью.

Аналитический вид светки:

(1).

где y — неизвестный выходной сигнал, A — импульсная функция, x — входной регистрируемый сигнал.

Нахождение свертки интерпретируется как задача нахождения выходной реакции линейной системы с известной импульсной переходной функцией на заданное входное воздействие. Гетманов В. Г. Цифровая обработка сигналов. Издание 2. М, 2010. С. 166. Любой входной сигнал изменяет свою форму на выходе.

Чтобы решить задачу свертки по нахождению выходного сигнала, необходимо решить интеграл свертки:

(2).

Данное выражение называется конволюция функции h (x) с импульсной функцией g (x). Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Second edition. California Technical Publishing. San Diego., 1999. P. 107 — 135.

Импульсная функция или импульсный ответ, А в (1) называется по разному в зависимости от области применения. Если система рассматривается как фильтр, то импульсным ответом называется ядро фильтра, ядро конволюции или просто ядро. В обработке изображений импульсный ответ имеет другое название — функция рассеяния точки. Хотя эти названия отличаются, они все равно имеют одинаковый смысл. Импульсный ответ представляет собой дельта функцию на выходе линейной системы. Схема конволюции:

Рисунок 1. Конволюция.

x[n] - входной сигнал, y[n] - выходной сигнал, h[n] - импульсный ответ.

На рисунке 2 показана низкочастотная фильтрация сигнала:

Рисунок 2. Низкочастотная фильтрация.

На данном рисунке импульсный ответ представляет собой сглаживающую арку, которая изменяет входной сигнал, делая его плавным. Аналогично, при применении высокочастотной фильтрации выходной сигнал будет изменяться с высоким темпом относительно входного. Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Second edition. San Diego. California Technical Publishing. 1999. P. 107 — 135.