Объем конуса. 
Объемы и поверхности тел вращения

Теорема 2.8. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где S_осн — площадь основания конуса; Н — высота; R — радиус основания. Доказательство. Пусть дан круговой конус (рис. 2.16), OK = Н — высота конуса. Ось х направим по ОК, О — начало координат. Абсцисса изменяется от О до Н.

Рис. 2.16.

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямой ОА вокруг оси х. Уравнение ОА имеет вид y=kx=Rx/H. Тогда объем конуса вычисляется по формуле.

Теорема 2.9. Объем усеченного конуса.

где Н — высота усеченного конуса; R₁, R₂ — радиусы оснований конуса; S₁, S₂ — площади оснований конуса.

Рис. 2.17.

Задача 2.7. Равносторонний треугольник со стороной, а вращается около внешней оси (не пересекающей треугольник), которая лежит в плоскости треугольника параллельно его стороне и отстоит от нее на расстоянии, равном половине высоты треугольника. Найти объем фигуры вращения.

Решение. Треугольник АВС — равносторонний AB = ВС = СВ =a AD ВС, l — ось вращения. Пусть АD = h, тогда DK = h /2. Найдем объем, полученный при вращении АВС вокруг l (рис. 2.17). Объем V = 2V_ABD = 2(V₂—V₁), где V — объем усеченного конуса; V — объем цилиндра, полученный при вращении, соответственно, трапеции ABNK и прямоугольника BNKD вокруг l.