Многослойная цилиндрическая стенка

По аналогии с уравнением (12.8) можно предположить, что тепловое сопротивление многослойной цилиндрической стенки (рис. 13.3) равно сумме тепловых сопротивлений отдельных слоев. На основании этого предположения и формулы (13.12), можно записать уравнение для определения количества теплоты, проходящей сквозь многослойную цилиндрическую стенку:

Рис. 13.3. Распределение температуры по радиусу многослойной цилиндрической стенки Рис. 13.4. Схема сферической стенки; распределение температуры Цг) по толщине стенки где Q — количество теплоты на единицу длины многослойной стенки; п — число слоев.

Сферическая стенка. Представим уравнения (2.64) в сферической системе координат. Для этого используем соотношения между декартовыми и сферическими координатами (раздел 2.1, рис. 2.1).

В сферической системе координат уравнение (2.64) имеет вид:

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в сферической стенке (оболочке) (рис. 13.4), на внутренней (г = г,) и внешней (г = г₂) поверхностях которой поддерживаются температуры Т и Тг соответственно. Если Т и Тг постоянны, т. е. не зависят от направления, определяемого углами 0 и ср, то и искомое температурное поле не будет зависеть от этих переменных, а будет лишь функцией переменной г.

Тогда дифференциальное уравнение (13.14) примет вид:

Граничные условия первого рода:

Перепишем уравнение (13.15) в виде:

В результате первого интегрирования этого уравнения получим:

После второго интегрирования.

С помощью граничных условий (13.16) из общего решения (13.17) получаем уравнения для определения постоянных интегрирования С и С г.

Решая совместно эти уравнения, получим:

Подставив Ci и Сг в общее решение (13.17), получим:

Из полученного уравнения видно, что температура Т (г) изменяется по толщине сферической стенки по гиперболе.

Удельный тепловой поток определим из закона Фурье и с учетом.

(13.18).

Количество теплоты, передаваемое через сферическую поверхность в единицу времени.

По тем же причинам, что и в случае цилиндрической стенки Q не зависит от г.

Для многослойной стенки (из л-слоев) по аналогии с (12.10) и (13.19) имеем: