Рівняння в повних диференціалах

Рівняння в повних диференціалах.

1. Загальна теорія Якщо ліва частина диференціального рівняння.

тобто.

.

то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз.

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності.

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді.

Звідси.

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд.

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал.

.

. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла.

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

.

2. Множник, що Інтегрує.

В деяких випадках рівняння.

така, що рівняння.

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність.

.

або.

.

— відома функція. В цьому випадку одержуємо.

Після підстановки в рівняння маємо.

.

або.

.

Розділимо змінні.

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

.

Розглянемо частинні випадки.

І формула має вигляд.

.

І формула має вигляд.

.Тоді.

І формула має вигляд.

.

І формула має вигляд.

.