Расстояние от точки до прямой в пространстве — теория, примеры, решения

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка, прямая a и требуется найти расстояние от точки, А до прямой a.

Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М₁ до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М₁ до точки H₁, где H₁ — основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁ на прямую a. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.

Итак, приступим.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.

Так как по определению расстояние от точки М₁ до прямой a — это длина перпендикуляра M₁H₁, то, определив координаты точки H₁, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками и по формуле:

.

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М₁ к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H₁ — это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М₁ перпендикулярно к прямой a.

Рисунок 6.

Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямой a в пространстве, таков:

• · составляем уравнение плоскости как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a;
• · определяем координаты точки H₁ — точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости);
• · вычисляем требуемое расстояние от точки М₁ до прямой a по формуле:

.

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.

Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектор и координаты некоторой точки М₃, лежащей на прямой a. Тогда по координатам точек и мы можем вычислить координаты вектора :

(при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Отложим векторы и от точки М₃ и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М₁H₁.

Рисунок 7.

Очевидно, высота М₁H₁ построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точки М₁ до прямой a. Найдем .

С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена через векторное произведение векторов и по формуле:

.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть,.

.

где:

— длина вектора, равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние от заданной точки М₁ до заданной прямой a может быть найдена из равенства:

как:

.

Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно:

· определить направляющий вектор прямой a () и вычислить его длину:

;

· получить координаты некоторой точки М₃, лежащей на прямой a, вычислить координаты вектора, найти векторное произведение векторов и как:

и получить его длину ;

· вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле:

.