Синтез линейных систем регулирования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет) КУРСОВОЙ ПРОЕКТ По дисциплине: Математическое моделирование Тема: Синтез линейных систем регулирования Автор: студент гр. АПМ-08−2 Змановский В.С.

Руководитель проекта: доцент Суслова О.В.

Санкт-Петербург

1. Задание

2. Линеаризация математической модели

3. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели

4. Исследование устойчивости замкнутой системы управления

5. Синтез линейных систем регулирования Заключение

1. Задание Произвести линеаризацию уравнения объекта управления согласно заданному варианту. Оценить точность линеаризации, построив график ошибки в зависимости от входного сигнала.

На основе полученного линеаризованного уравнения записать выражения для АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ при >1 и 0<<1 и построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ для двух указанных.

Определить устойчивость системы управления по критериям Гурвица и Найквиста для двух вариантов объекта управления и построить переходные характеристики.

Произвести параметрический синтез ПИ-регулятора для своего варианта объекта управления. Построить переходной процесс при полученных оптимальных настройках.

2. Линеаризация математической модели В качестве предмета изучения будем использовать некоторый объект, описываемый дифференциальным уравнением 2-го порядка.:

(1).

Исходные данные. В качестве исходных данных служат коэффициенты уравнения (1), ,,; границы изменения входной переменной и, номинальный режим выбран как 0,5 диапазона измерения.

Решение Подставим в уравнение (1) значение заданных коэффициентов и запишем полученное выражение:

(2).

Это нелинейное уравнение, так как в нем имеется произведение выходной переменной на ее производную (динамическая нелинейность), вторая степень выходной переменной и третья степень входной переменной .

Для того, чтобы можно было пользоваться стандартными методами теории автоматического управления, применительно к данному объекту, необходимо привести уравнение (2) к виду:

(3),

где, , , — некоторые постоянные коэффициенты.

Уравнение (3) — линейное дифференциальное уравнение. Поэтому процесс приведения к такому виду какого-то нелинейного уравнения называют линеаризацией.

Для линеаризации уравнения (2) введем понятие номинального режима: установившегося режима функционирования объекта (производные равны 0), в котором входная и выходная переменная связываются уравнением статики, и каждая имеет какое-то определенное постоянное значение. Относительно этих значений рассматриваются величины входных и выходных переменных во время работы объекта управления. Сами значения при номинальном режиме могут определяться из различных соображений: исходя из требований технологического регламента или просто как 0,5 диапазона измерения входной (выходной) величины и т. п.

Найдем уравнения статического режима для объекта (2).

Приравняем нулю все производные в уравнении (2) и получим уравнение статики объекта:

или (4).

Уравнение (4) описывает множество возможных установившихся состояний объекта, в том числе и состояние номинального режима. Найдем значения переменных в номинальном режиме.

Диапазон измерения — от 4 до 9, а номинальное значение соответствует 0,5 (т.к. z=0,5), то есть Из уравнения (4) найдем значение :

Тогда во всех состояниях значения входной и выходной переменных можно записать в виде уравнений (5):

(5).

Линеаризация производится для режимов, имеющих относительно малое отклонение от номинального режима.

Перенесем правую часть уравнения (2) налево и получим

(6).

Обозначим левую часть уравнения (6) через функцию :

(7).

Разложим ее в ряд Тейлора с учетом всех переменных и производных (производные рассматриваются как самостоятельные переменные) и отбросим все слагаемые второго и более высших порядков, в следствие чего получим:

(8),

где — значение при номинальном режиме,, , , — значения производных по переменным при подставленных номинальных значениях,, , , — отклонения переменных от номинального значения.

Найдем частные производные, необходимые для разложения:

.

Таким образом, подставив найденные значения частных производных в уравнение (8) получим:

Где члены высоких порядков отброшены, а линеаризованное уравнение имеет вид:

(9).

Уравнение (9) является линейным, но описывает объект не в абсолютных физических переменных, а в отклонениях от номинала (приращениях).

Разделим обе части уравнения (9) на коэффициент при. Тогда он примет вид:

(10),

где =0,093, =0,285, =1 — коэффициенты; =3,54 -коэффициент усиления объекта. и — производные.

Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением объекта управления в канонической форме записи. Приведение к такой форме (коэффициент при равен 1) — очень важный момент для правильного определения параметров объекта (например, коэффициента усиления).

Линеаризация существенно снижает точность математической модели. Эта потеря не должна превышать 5%.

Уточним интервал измерения, в котором данная точность реализуема. Проверка проводится для статического режима.

При линеаризации кривая, соответствующая уравнению (4) заменяется кривой, получаемой из уравнения (10) приравниванием к 0 производных.

(11),

Сопоставим характеристики (4) и (11).

Поскольку из уравнения (5) следует, что

То можем записать на основании уравнения (11):

(12)

Ошибку линеаризации можно посчитать по уравнению (13):

(13),

где , — значения выходной переменной для линеаризованного уравнения (12) и нелинеаризованного уравнения (4).

Подставляя в (5), (12) и (13) различные значения, можно найти значения для линеаризованного () и нелинеаризованного уравнения (). Результаты приведены в таблице.

Как видно из таблицы, на краях заданного диапазона точность линеаризации недостаточна. Найдем параметры диапазона, в котором ошибка не превышает заданных 5%. Из уравнения (13) получим:

Откуда ,

Решая это уравнение, получаем новые значения границ интервала. Они будут: и. Построим график .

Построим графики и, то есть линеаризованной и нелинеаризованной статических характеристик.

Таким образом, исходное уравнение (1) линеаризуется уравнением вида (10):

а требуемая точность достигается в интервале изменения входной переменной от 4,2 до 8,9.

3. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели В результате линеаризации нелинейной модели объекта управления получено некоторое линейное дифференциальное уравнение 2 порядка. Линеаризованное уравнение имеет вид:

(14)

Напомним, что и — производные по времени, а (14) это уравнение в отклонениях от номинального (знак опущен для простоты записи). Для уравнения 2 порядка каноническая форма записи имеет вид:

(15)

где — постоянная времени объекта, с; - коэффициент усиления объекта по каналу —; - так называемый коэффициент демпфирования, смысл которого будет рассмотрен позже.

Следует отметить важность приведения к канонической форме для получения правильных значений параметров объекта. Характерная черта канонической формы дифференциального уравнения объекта — это то, что при выходной переменной () коэффициент равен 1.

Сравнивая выражения (14) и (15), получим:

=0,304, =0,468, =3,54.

Применим к уравнению (14) преобразование Лапласа.

Напомним, что для некоторой функции f (t) преобразование Лапласа определяется, как:

где р — комплексная переменная.

Для величин, входящих в уравнение (14), преобразование Лапласа имеет вид:

;

;

С учетом этого, уравнение (16) имеет следующий вид:

или

(16)

Уравнение (16) называется изображением по Лапласу для уравнения (15). Полином, стоящий в левой части уравнения (16), носит название характеристического полинома.

Уравнение =0 называется характеристическим уравнением.

Для анализа объекта управления обычно используют два вида типовых возмущений:

Х = 1[t] - единичный скачек

Х = [t] - мгновенный импульс Решение Y (t) при X = 1[t] называется переходной характеристикой объекта управления h (t). Решение Y (t) при X = [t] называется импульсной характеристикой (функцией веса) объекта w (t).

Следует отметить, что весовая функция w (t) является производной от функции переходного процесса h (t).

Решение дифференциального уравнения ищется в виде суммы экспонент. Вид решения зависит от входного сигнала.

Для звена второго порядка эти решения имеют вид:

(17)

(18)

Здесь; - корни характеристического уравнения, которые определяются, как; , — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Следует обратить внимание на величину. В случае, когда >1, дискриминант положителен и корни р1; р2 получаются вещественными. Переходной процесс называется монотонным.

В случае, когда 0<<1, дискриминант отрицательный и корни р1; р2 получаются комплексными, вида где. В этом случае, выражение (17) можно представить в виде:

(19),

а выражение (18) в виде:

(20).

Здесь — степень затухания амплитуды (учитывает вещественную часть корней характеристического уравнения); - круговая частота колебаний выходной переменной (учитывает мнимую часть корней характеристического уравнения); А — начальная амплитуда колебаний, — фазовый сдвиг.

Переходной процесс, получающийся при решении такого вида, называется колебательным.

Значение постоянных можно найти по выражениям:

(21)

В данном случае =0,304, =0,468, =3,54 следовательно:

, ,

Тогда по (19) и (20)

(22)

(23)

Для получения монотонного процесса прибавим к единицу. Тогда при >1 (=1,468):

следовательно р1=-1,309, р2=-8,349, а по (17) и (18) получаем:

Где коэффициенты , — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:

линейный регулирование математическая модель Тогда

(24)

(25)

По приведенным выражениям строим графические характеристики:

Переходные характеристики объекта при >1 и 0<<1

Импульсные характеристики объекта при >1 и 0<<1

Уравнение (16) можем переписать следующим образом:

(26)

Выражение вида при нулевых начальных условиях, называют передаточной функцией объекта управления.

В случае, когда к дифференциальному уравнению объекта управления применяют преобразование Фурье:

(27)

Выражение (23) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) объекта управления, поскольку выражение, являющееся коэффициентом перед экспонентой, характеризует зависимость амплитуды колебаний, а показатель экспоненты — фазового сдвига от частоты.

АФЧХ можно разбить на две составляющие:

1) Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) — А ()

2) Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) — ()

1) АФЧХ объекта второго порядка имеет вид:, поэтому:

АЧХ: (28)

А) при 0<<1:

Б) при >1:

2) ФЧХ объекта второго порядка имеет вид:

ФЧХ: (29)

А) при 0<<1:

Б) при >1:

Следует отметить, что АФЧХ является комплексным числом, поэтому может быть представлена в виде:

Здесь Р () называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а Q () — мнимой частотной характеристикой (МЧХ), при этом:

;

Для рассматриваемого объекта АФЧХ имеет вид:

то есть:

; (30)

А) при 0<<1: ;

Б) при >1: ;

АФЧХ объекта строится в виде годографа на комплексной плоскости, при этом по оси абсцисс откладывают ВЧХ, а по оси ординат — МЧХ. Один для апериодического звена (=1,468>1), а другой для колебательного звена (0< =0,468 <1).

4. Исследование устойчивости замкнутой системы управления Под устойчивостью АСУ понимают способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. В любой АСР, в результате возмущающих сил с одной стороны и восстанавливающего действия регулятора с другой, возникает переходной процесс.

Схема системы регулирования по отклонению Переходной процесс в системе может быть 3 видов:

1) Система не может восстановить состояние равновесия и значение Y все больше отклоняется от заданного. Такой процесс называется расходящимся, а система — неустойчивой.

2) Система возвращается к равновесному состоянию и значение управляемой координаты Y после окончания переходного процесса отличается от заданного лишь на некоторую статическую ошибку. Такой процесс называется сходящимся, а система — устойчивой.

3) В системе устанавливаются периодическое движение. Такой процесс называется незатухающим колебательным, а система находится на границе устойчивости. Любое воздействие на такую систему может привести ее как к сходящемуся, так и к расходящемуся переходному процессу.

Основными законами автоматического регулирования являются:

1) Пропорциональный (П — закон). При таком законе управления управляющий сигнал прямо пропорционален сигналу рассогласования межну выходной координатой и ее заданным значение., то есть:

2) Пропорционально-интегральный (ПИ — закон). Управляющий сигнал складывается из пропорциональной части и интеграла ошибки за некоторый период Т:

3) Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД — закон). К ПИ — закону добавляется производная от ошибки (скорость ее изменения).

Выбирая Кр; Ти; Тд, можно усиливать или ослаблять соответствующие части регулятора, добиваясь наилучшего качества регулирования. Оценка устойчивости системы производится при помощи критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных.

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся алгебраических критериев — критерий Гурвица.

Напомним, что рассматриваемый объект управления представляет собой колебательное звено 2 порядка, передаточная функция которого имеет вид:

(31)

Выберем в качестве закона регулирования ПИ — закон, то есть передаточная функция регулятора будет иметь вид:

(32)

Передаточная функция замкнутой системы управления определяется по выражению:

(33)

Подставляя значения Wo (p), Wp (p) и производя необходимые упрощения, получим:

(34)

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

(35)

Обозначим:

;; ;

Критерий устойчивости Гурвица заключается в вычислении определителей так называемой матрицы Гурвица. Система управления считается устойчивой, если все определители матрицы Гурвица больше нуля. Для системы 3 порядка необходимо вычислить следующие определители:

;; (36)

Вычисление определителей матрицы Гурвица можно производить и вручную, но наиболее удобно сделать это с использованием математических пакетов типа MathCad и др.

Так как,

; ,

где — допустимая статическая ошибка регулирования, которую примем равной 5%. то

Подставим найденные значения в характеристическое уравнение

и найдем:

А) при 0<<1:

, ,

;

;

Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива Б) при >1:

,

;

;

Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива Среди частотных критериев устойчивости наиболее распространенным является критерий Найквиста. Этот критерий заключается в построении годографа разомкнутой системы и определении положения годографа относительно точки (-1; j0). Если годограф пересекает ось абсцисс левее этой точки, то система считается неустойчивой, если правее — система устойчива. Если же годограф проходит через эту точку, называемую точкой Найквиста — система находится на границе устойчивости.

Можем записать:, или:

(37)

Передаточную функцию разомкнутой системы преобразуют в амплитудно-фазовую частотную характеристику, строят годограф, и по нему оценивают устойчивость системы.

В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение — единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления (6) и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:

(38)

где: (39)

Подставляя корни характеристического уравнения (31) в выражение (35), определяем константы интегрирования и строим по выражению (34) переходной процесс.

Построим графики переходного процесса и годографа Найквиста с помощью программного математического пакета Matlab 2009b.

Переходный процесс при 0<<1

>> p=[0.056 0.173 12.184 18.97]

p =

0.0560 0.1730 12.1840 18.9700

>> roots (p)

ans =

— 0.7575 +14.6497i

— 0.7575 -14.6497i

— 1.5742

>> w=tf ([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 12.184 18.97])

Transfer function:

2.159 s

———————————————————;

0.056 s³ + 0.173 s² + 12.18 s + 18.97

>> step (w)

Годограф Найквиста при 0<<1

>> wr=tf ([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])

Transfer function:

11.57 s + 18.97

——————————————-;

0.056 s³ + 0.173 s² + 0.61 s

>> nyquist (wr)

Система находится на границе устойчивости.

Переходный процесс при >1

>> p=[0.056 0.544 12.184 18.97]

p =

0.0560 0.5440 12.1840 18.9700

>> roots (p)

ans =

— 4.0277 +13.7108i

— 4.0277 -13.7108i

— 1.6588

>> w=tf ([0.61*3.54 0],[0.056 0.544 12.184 18.97])

Transfer function:

2.159 s

———————————————————;

0.056 s³ + 0.544 s² + 12.18 s + 18.97

>> step (w)

Годограф Найквиста при >1

>> wr=tf ([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.544 0.61 0])

Transfer function:

11.57 s + 18.97

——————————————-;

0.056 s³ + 0.544 s² + 0.61 s

>> nyquist (wr)

Система находится на границе устойчивости

5. Синтез линейных систем регулирования Рассмотрим методику расчета параметров регулятора для получения наилучшего качества переходного процесса в системе по минимуму средней квадратической интегральной оценки.

Смысл синтеза АСР по минимуму средней квадратической интегральной оценки заключается в подборе настроек регулятора, минимизирующих интеграл

(36)

где t0 — момент времени включения регулятора, е (t) — суммарная ошибка регулирования входной величины, включающая в себя ошибки, связанные с изменением заданной величины и колебаниями возмущения.

Рис. 12. Схема системы регулирования Для ошибки регулирования можем записать выражение:

(37)

Поскольку на входе системы имеем единичный скачек, Х (р)=1/р. Передаточная функция разомкнутой системы:

(38)

Тогда равенство (37) примет вид:

где, ,, ,, ,

Тогда А) при 0<<1:

, ,, , ,

Б) при >1:

, ,, ,

Последнее выражение получено в области Лапласовых изображений и переход к оригиналу следует произвести через замену р на j, при этом интеграл (36) примет вид:

(39)

Подобные интегралы табулированы и решение для полинома 3 степени в знаменателе имеет вид:

(40)

Подставив в (40) числовые значения получим А) при 0<<1:

Взяв производную по, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.

Получатся 2 корня:

Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .

Следовательно, , — эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

Обозначим:

;; ;

Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:

;

;

Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.

В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение — единичный скачек.

Переходный процесс при 0<<1

>> p=[0.056 0.173 0.891 0.46]

p =

0.0560 0.1730 0.8910 0.4600

>> roots (p)

ans =

— 1.2610 + 3.5903i

— 1.2610 — 3.5903i

— 0.5673

>> w=tf ([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 0.891 0.46])

Transfer function:

2.159 s

——————————————————-;

0.056 s³ + 0.173 s² + 0.891 s + 0.46

>> step (w)

Годограф Найквиста при 0<<1

>> wr=tf ([0.13*3.54*0.61 0.13*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])

Transfer function:

0.2807 s + 0.4602

——————————————-;

0.056 s³ + 0.173 s² + 0.61 s

>> nyquist (wr)

Б) при >1:

Взяв производную по, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.

Получатся 2 корня:

Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .

Следовательно, , — эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

Обозначим:

;; ;

Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:

;

;

Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.

В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение — единичный скачек.

Переходный процесс при >1

>> p=[0.056 0.552 1.638 1.685]

p =

0.0560 0.5520 1.6380 1.6850

>> roots (p)

ans =

— 5.5839

— 2.1366 + 0.9074i

— 2.1366 — 0.9074i

>> w=tf ([0.61*3.54 0],[0.056 0.552 1.638 1.685])

Transfer function:

2.159 s

———————————————————;

0.056 s³ + 0.552 s² + 1.638 s + 1.685

>> step (w)

Годограф Найквиста при >1

>> wr=tf ([0.476*3.54*0.61 0.476*3.54],[0.056 0.552 0.61 0])

Transfer function:

1.028 s + 1.685

——————————————-;

0.056 s³ + 0.552 s² + 0.61 s

>> nyquist (wr)

Заключение

В результате работы был произведен параметрический синтез ПИ-регулятора на основе линеаризованного уравнения объекта управления, а также был построен переходной процесс при полученных оптимальных настройках.

В результате оценки устойчивости системы были произведены расчеты критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных, которые подтвердили устойчивость системы.