Установка вида сходимости ряда Фурье

Задача № 2

Дана Т — периодическая функция f (t)

Обосновать возможность разложения f (t) в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f (t)

Данная функция f (t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:

Теорема Дирихле: Если Т — периодическая функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:

· Непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода Ряд Фурье сходиться на всей оси t и сумма ряда Фурье равно f (t) во всех точках непрерывности этой функции в точке t₀ разрыва первого рода функции f (t) сумма ряда Фурье равна данная функция f (t) удовлетворяет условиям сходимости в среднем.

Признак Ляпунова: Если Т — периодическая функция f (t) удовлетворяет условиям для

кусочно-непрерывна и интегрируема с квадратом, то ряд Фурье сходиться среднеквадратично к f (t).

Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье, предварительно вычислить коэффициенты ряда Фурье.

Построить амплитудный и фазовый спектры функции.

Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.

Чтобы определить число гармоник, содержащих в сумме не менее 90% энергии, сначала рассчитаем энергию вносимую каждой гармоникой в отдельности по следующей формуле:

сумма первых 5-и гармоник даёт больше 90%

Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f (t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания f (t).

Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по следующей формуле:

Построить графики заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t, принадлежащих промежутку задания f (t), взяв число гармоник, определённых в пункте № 5.

Построим исходную функцию и частичную сумму ряда Фурье (90%)

Построить график квадрата отклонений функции и частичной суммы ряда для t из промежутка задания f (t).

Построим: квадрат отклонений функции и частичную сумму ряда Фурье.

Задача № 3

Для функции, заданной на конечном интервале, построить периодическое продолжение заданным образом.

[0,1] (чётное) Построим периодическое продолжение. Так как функция четная, то график её будет симметричен относительно оси Оу Обосновать возможность разложения f (t) в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f (t).

Данная функция f (t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:

Теорема Дирихле: Если Т — периодическая функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:

· Непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода

· Монотонна либо имеет конечное число максимумов и минимумов Ряд Фурье сходится на всей оси t и сумма ряда Фурье равно f (t) во всех точках непрерывности этой функции в точке t₀ разрыва первого рода функции f (t) сумма ряда Фурье равна данная функция f (t) удовлетворяет условиям сходимости в среднем.

Теорема Вейерштрасса: если Т — периодическая функция f (x) на каком-либо замкнутом интервале. Например [-T/2,T/2] удовлетворяет условиям: непрерывности и f (-T/2)=f (T/2), то тригонометрический ряд Фурье сходиться к f (x) равномерно.

Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье, предварительно:

б) вычислить коэффициенты ряда Фурье.

Построить амплитудный и фазовый спектры функции.

Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.

Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f (t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания.

Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по следующей формуле:

1. Построить графики заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t, принадлежащих промежутку задания f (t), взяв число гармоник, определённых в пункте № 5.

Построить график квадрата отклонений функции и частичной суммы ряда для t из промежутка задания f (t).

среднеквадратичный фурье гармоник амплитудный