Теория статистики

Задание № 1

Тема: «Средние величины и показатели вариации»

Задача: Двое рабочих в течение восьми часов были заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый изготовил 44 детали, второй — 38. Определить средние затраты времени на изготовление одной детали.

Решение

44/8 = 5,5 дет./ч.

38/8 = 4,75 дет./ч.

Вывод: в среднем первый рабочий за 1 час изготавливает 5.5 деталей, а второй рабочий 4.75 детали, что свидетельствует о большей выработке у первого работника, а следовательно и о меньше трудоемкости данного вида работ по сравнению со вторым рабочим.

Задание № 2

Тема: «Ряды динамики»

Задача: Годовые темпы прироста промышленного производства объединения следующие, %:

Таблица 1 — годовые темпы прироста

Определить базисные темпы роста и прироста, среднегодовой темп прироста за 2000;2004гг.

Решение Рассчитаем средний темп прироста по формуле:

Тпр.ср. = (?Тпр.)/n, (1)

где: Тпр. ср — средний тем прирост, %;

?Тпр. — сумма темпов прироста за определенный период, %;

n — количество периодов, шт.

Тпр.ср. = (3,4 + 2,9 + 4,2 + 3,8 + 4,9)/5 =3,840%

Рассчитаем базисные темпы роста по формуле:

Тр.баз. = (Тр.1/Тр.0) * 100 (2)

где: Тр. баз. — темп роста базисный, %;

Тр.1 — данные за отчетный период;

Тр.0 — данные за базисный период;

Тр.2001/2000 = 2,9/3,4 * 100 = 85,294%

Тр.2002/2000 = 4,2/3,4 * 100 = 123,529%

Тр.2003/2000 = 2,8/3,4 * 100 = 111,765%

Тр.2004/2000 = 4,9/3,4 * 100 = 144,118%

Рассчитаем базисные темпы прироста на основании рассчитанные ранее базисных темпов роста и с помощью формулы:

Тпр. баз. = Тр. баз. — 100 (3)

Т пр. 2001/2000 = 85,294 — 100 = 14,706%

Тпр.2002/2000 = 123,529 — 100 = 23,529%

Тпр.2003/2000 = 111,765 — 100 = 11,765%

Тпр.2004/2000 = 144,118 — 100 = 44,118%

Вывод: анализируя проделанные расчеты можно сказать о том, что в 2001 году по сравнению с 2000 годом наблюдается снижение темпов роста на 14,706%, а следовательно и отсутствие темпов прироста, что является негативным моментом в хозяйственной деятельности предприятия (организации). Начиная с 2001 года можно отметить стабильный рост темпов роста и темпов прироста промышленного производства по сравнению с 2000 годом. Наибольший темп прироста наблюдается в 2004 году, который равен 44,118%, что является положительным моментом в хозяйственной деятельности предприятия (организации). Средние темп прироста за анализируемые период, то есть за 2000 — 2004гг. равен 3,840%, что свидетельствует о том, что в среднем в течение каждого анализируемого периода объем производство промышленной продукции в среднем увеличивался на 3,840%.

Задание № 3

Тема: «Индексы»

Задача: Имеются данные о производстве продукции химическим заводом:

Таблица 2 — Данные о производстве продукции химического завода

Исчислить: индивидуальные индексы выполнения плана по каждому виду продукции и её себестоимости.

Решение Для расчета индивидуальных индексов выполнения плана как по каждому виду продукции так и по ее себестоимости используется следующая формула:

i = iфакт/iплан * 100 (4)

где: iфакт — фактические данные за отчетный период;

iплан — запланированные данные по отчетному периоду;

Рассчитаем индивидуальные индексы выполнения план по выпуску продукции в разрезе ее видов:

Iвып. план по изд. А = (2 942/2 800) * 100 = 147,1%

Iвып. план по изд. Б = (171/164) * 100 = 95,9%

Рассчитаем индивидуальные индексы выполнения плана по себестоимости выпущенной продукции в разрезе ее видов:

Iвып. план по с/с изд. А = 28,3/29,0 * 100 = 97,6%

Iвып. план по с/с изд. Б = 21,0/21,8 * 100 = 96,3%

Вывод: исходя из рассчитанных индивидуальных индексов выполнения плана по выпущенной продукции и ее себестоимости в разрезе видов продукции можно говорить о том, что план по выпуску изделия «А» перевыполнен на 47,1%, однако по данному виду изделия не выполнен план по ее себестоимости (план недовыполнен на 2,4%). По изделию «Б» наблюдается не выполнение план как по выпуску данного изделия, так и по его себестоимости на 4,1% и 3,7% соответственно. Данная динамика может быть обусловлена рядом причин, однако основными из них являются:

изменение спроса на производимую продукцию;

ненадежность и срывами поставок сырья;

низкой квалификацией рабочих и пр.

Задание № 4

Тема: «Группировка статистических материалов»

Задача: За отчетный период имеются следующие данные о производственных показателях предприятий одной из отраслей промышленности:

Таблица 3 — Данные о производственных показателях предприятий одной отрасли

C целью изучения зависимости между стоимостью основных промышленно-производственных фондов и выпуском продукции произведите аналитическую группировку предприятий по стоимости основных промышленно-производственных фондов, образовав 4 группы предприятий с равными интервалами.

По каждой группе и по итогу в целом подсчитайте:

число предприятий;

стоимость основных промышленно-производственных фондов — всего и в среднем на одно предприятие;

произведенную продукцию — всего и в среднем на одно предприятие.

Результаты представьте в виде групповой таблицы, сделайте выводы.

Решение В качестве группировочного признака возьмем среднегодовую стоимость основных промышленно-производственных фондов. Все 30 предприятий разделим на 4 группы с равным интервалом. Для этого нам необходимо определить максимальную и минимальную среднегодовую стоимость промышленно-производственных фондов:

Хmin = 0,8

Xmax = 12,8

Для определения шага интервала воспользуемся следующей формулой:

i = (Xmax — Хmin)/n (5)

i — шаг интервала;

Хmin — минимальное значение признака изучаемой совокупности;

Xmax — максимальное значение признака изучаемой совокупности;

n — количество групп;

i = (12,8 — 0,8)/4 = 3

Следовательно, на основании вычисленного интервала можно составить следующую аналитическую таблицу 4:

Таблица 4 — Распределения интервала по группам

С помощью данных таблицы 4 и с полученными группами отнесем в каждую из них в соответствии с полученным интервалом те предприятия, которые по среднегодовой стоимости промышленно-производственных фондов попадают в данный интервал. Для этого составим таблицу 5:

Таблица 5 — Распределение предприятий по соответствующим группам

Рассчитаем среднегодовую стоимость промышленно-производственных фондов для каждой группы предприятий по следующей формуле:

Ф n-ой гр. = ?Фср./n (6)

где: Ф n-ой гр. — среднегодовая стоимость промышленно-производственных фондов в целом по группе, млрд. руб.

?Фср./ - сумма среднегодовых стоимостей промышленно-производственных фондов n-ой группы предприятий, млрд. руб.;

n — количество предприятий в n-ой группе, шт.

Ф1-ой гр. = (0,8 + 2,9 + 1,4)/3 = 5,1 млрд руб.

Ф2-ой гр. = (4,3 + 4,1 + 4,3 + 5,5 + 4,3 + 5,2 + 4,9 + 58,2 + 4,5 + 5,3 + 3,6 + 4,4 + 4,6 + 5,8)/14 = 66,0 млрд руб.

Ф3-ой гр. = (7,8 + 8,6 + 9,1 + 6,9 + 7,3 + 7,6 + 6,9 + 7,4 + 8,9)/9 = 70,5 млрд руб.

Ф4-ой гр. = (12,8 + 12,7 + 11,7 + 10,9)/4 = 48,1 млрд руб.

Рассчитаем себестоимость произведенной продукции для каждой группы предприятий по следующей формуле:

С/с n-ой гр. = (?С/с)n (7)

где: С/с n-ой гр. — средняя себестоимость произведенной продукции в целом по группе, млрд. руб.;

?С/с — сумма себестоимостей произведенной продукции n-ой группы предприятий, млрд. руб.;

n — количество предприятия в n-ой группе, шт.

С/с 1-ой гр. = (0,9 + 4,2 + 3,2)/3 = 8,3 млрд руб.

С/с 2-ой гр. = (18,0 + 5,5 + 4,8 + 5,5 + 4,8 + 9,7 + 7,2 + 9,7 + 4,9 + 9,6 + 4,6 + 6,7 + 6,8 + 6,9)/14 = 98,6 млрд руб.

С/с 3-ой гр. = (12,0 + 14,6 + 10,9 + 7,6 + 11,2 + 8,6 + 8,4 + 10,6 + 17,8)/9 = 101,7.млрд. руб.

С/с 4-ой гр. = (18,0 + 21,6 + 17,9 + 18,9)/4 = 76,4 млрд руб.

Рассчитаем среднегодовую стоимость промышленно-производственных фондов в расчете на одно предприятия по каждой из групп по следующей формуле:

Ф на 1 пред-ие n-ой = Ф n-ой гр. /n (8)

где: Ф на 1 пред-ие n-ой — среднегодовая стоимость промышленно-производственных фондов в расчете на одной предприятия, млрд. руб.

Ф n-ой гр. — среднегодовая стоимость промышленно-производственных фондов n-ой группы предприятия, млрд. руб.;

n — количество предприятия, шт.

Ф на 1 пред-ие 1-ой = 5,1/3 = 1,700 млрд руб.;

Ф на 1 пред-ие 2-ой = 66/14 = 4,714 млрд руб.;

Ф на 1 пред-ие3-ой = 70,5/9 = 7,833 млрд руб.;

Ф на 1 пред-ие 4-ой = 48,¼ = 12,025 млрд руб.

Рассчитаем себестоимость произведенной продукции в расчете на одной предприятие по каждой группе по следующей формуле:

С/с на 1 пред-ие n-ой = С/с n-ой гр. /n (9)

С/с на 1 пред-ие 1-ой = 8,3/3 = 1,660 млрд руб.;

С/с на 1 пред-ие 2-ой = 98,6/14 = 7,043 млрд руб.;

С/с на 1 пред-ие 3-ой = 101,7/9 = 11,300 млрд руб.;

С/с на 1 пред-ие 4-ой = 76,4/4 = 19,100 млрд руб.

На основании произведенных расчетов и данных таблиц 4 и 5 составим сводную таблицу 6:

Таблица 6 — Сводная таблица расчета среднегодовой стоимости промышленно-производственных фондов и себестоимости произведенной продукции в расчете на группу и одно предприятия

Рассчитаем удельный вес каждого предприятия в общей их совокупности, а также долю среднегодовой стоимость промышленно-производственных фондов и себестоимости произведенной продукции в общей их совокупности.

Рассчитаем удельный вес каждой группы предприятий в их общей совокупности по формуле:

У/в = n/N * 100 (10)

где: n — некоторое количество элементов данной совокупности;

N — количество всех элементов данной совокупности.

У/в 1-ой гр. = 3/30 * 100 = 10,000%

У/в 2-ой гр. = 14/30 * 100 = 46,667%

У/в 3-ой гр. = 9/30 * 100 = 30,000%

У/в 4-ой гр. = 4/30 * 100 = 13,333%

Рассчитаем удельный вес среднегодовой стоимости промышленно-производственных фондов по каждой группе предприятий по формуле 10:

У/в 1-ой гр. = 5,1/189,7 * 100 = 2,688%

У/в 2-ой гр. = 66/189,7 * 100 = 34,792%

У/в 3-ой гр. = 70,5/189,7 * 100 = 37,164%

У/в 4-ой гр. = 48,1/189,7 * 100 = 25,356%

Рассчитаем удельный вес себестоимости произведенной продукции по каждой группе предприятий по формуле 10:

У/в 1-ой гр. = 8,3/285 * 100 = 2,912%

У/в 2-ой гр. = 98,6/285 * 100 = 34,596%

У/в 3-ой гр. = 101,7/285 * 100 = 35,684%

У/в 4-ой гр. = 76,4/285 * 100 = 26,807%

На основании произведенных расчетов составим таблицу 7:

Таблица 7 — Расчет удельного веса предприятий, среднегодовой стоимости промышленно-производственных фондов и себестоимости произведенной продукции в общей их совокупности

Вывод: по проделанной аналитической группировке можно сделать вывод о том, что наибольший удельный количества предприятий в группах приходится на вторую группу, однако по данной группировке наибольший удельный вес среднегодовой стоимости промышленно-производственных фондов и себестоимости произведенной продукции приходится на третью группу не смотря на меньше количество предприятий в данной группе по сравнению со второй группой. Наибольший удельный вес себестоимости произведенной продукции, как упоминалось ранее, пришелся на третью группу и равен 37,164 млрд руб., что на 2,372 млрд руб. больше, чем во второй группе предприятий с большим их количеством. Данная динамика свидетельствует о наиболее эффективно хозяйственной деятельности третьей группы предприятий, так как при наименьшем количестве хозяйствующих субъектов они достигают наибольших экономических результатов, так как на прямую от себестоимости зависит выручка предприятия, а следовательно и его прибыль.

Задание № 5

Тема: «Выборочное наблюдение»

Задача: В целях контроля за соблюдением норм расхода сырья проведено выборочное обследование партии готовой продукции.

При механическом (бесповторном) способе отбора 10% изделий получены следующие данные о весе обследованных единиц:

Таблица 8 — данные о весе обследованных единиц

На основании выборочных данных вычислите:

а) средний вес изделия;

б) среднее квадратическое отклонение;

С вероятностью 0,997 возможные границы, в которых заключен средний вес изделий во всей партии.

С вероятностью 0,954 возможные границы удельного веса (доли) стандартной продукции во всей партии при условии, что к стандартной продукции относятся изделия с весом от 100 г до 130 г.

Решение Для определения среднего веса изделия воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:

Xср. = (?xi * fi)/ ?fi = (?xi * fi)/f (11)

где: Xср. — средняя арифметическая взвешенная;

xi — показатель признака;

fi — частота показателя.

Xср. = ((50 * 22) + (105 * 76) + (115 * 215) + (125 * 69) + (130 * 18))/400 = (1 100 + 7 980 + 24 725 + 8 625 + 2 340)/400 = 44 770/400 = 111,925 гр.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение, но для начала рассчитаем дисперсию по формуле:

уІ = (?(хi — хср.)І * fi)/N (12)

где: хi — значение i-го элемента генеральной совокупности;

хср. — среднее значение по генеральной совокупности;

ni — частота i-го элемента генеральной совокупности;

N — объем генеральной совокупности уІ = ((50 — 111,925)І + (105 — 111,925)І + (115 — 111,925)І + (125 — 111,925)І + (130 — 111,925)І)/400 = ((-61,925)І + (-6,925)І + 3,075І + 13,075І + 18,075І)/400 = (3 834,706 + 47,956 + 9,456 + 170,956 + 326,706)/400 = 4 389,78/400 = 10,974

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по формуле:

у = vуІ (13)

где: уІ - дисперсия у = v10,974? 3,313

Рассчитаем коэффициент вариации по формуле:

н = у/х ср. (14)

где: н — коэффициент вариации;

у — среднее квадратическое отклонение;

хср. — среднее значение по генеральной совокупности н = 3,313/111,925 = 0,030? 3%

Рассчитаем предельную ошибку выборки. Так как при вероятности 0,997 коэффициент доверия t = 3,290. поскольку дана 10%-ная случайность бесповторная выборка, то:

n/N = 10/400 = 0,025

где: n — объем выборочной совокупности;

N — объем генеральной совокупности Считаем также, что дисперсия уІ = 10,974. тогда предельная ошибка выборочной средней равна:

?хср. = t * v ((уІ/n) * (1 — (n/N)) = 3,290 * v ((10,974/400) * (1 — 0,025 = 3,290 * v0,27 435 * 0,975 = 3,290 * v0,2 674 = 3,290 * 0,16 352 = 0,538 гр.

Определим теперь возможные границы, в которых ожидается среднее значение веса изделий во всей партии:

хср. — ?хср.? mx? хср. + ?хср. (15)

111,925 — 0,538? mx? 111,925 + 0,538

111,387? mx? 112,463

Выборочная доля w числа деталей от 100гр. до 130гр. равна:

w = (100 + 130)/400 = 230/400 = 0,575 =57,5%

Учитывая, что при вероятности 0,954 коэффициент доверия t=2,807, вычислим, предельную ошибку выборочной доли:

?w = t * v (w/(1 — w)/n) * (1 — (n/N)) = 2.807 * v ((0,575 * 0,425)/400) * 0,025 = 2,807 * v (0,244 375/400) * 0,025 = 2,807 v (0,61 * 0,025) = 2,807 * v0,15 = 2,807 * 0,387 = 0,0109? 1,09%

57,5% - 1,09%? d? 57,5% + 1,09%

56,41%? d?? 58,59%

Вывод: из проведенных расчетов и анализа можно говорить о том, что средней вес изделия в партии объемом 400 шт. равен 111,925 гр. Исходная выборка является однородной, так как коэффициент вариации менее 33%. С вероятностью до 0,997 можно утверждать, что средний вес изделия во всей партии находится в пределах от 111,387 гр. до 112,463 гр. С вероятность до 0,954 можно утверждать, что границы удельного веса деталей весом от 100 гр. до 130 гр. находятся в пределах от 56,41% до 58,59%. Почти две трети партии соответствуют стандартному весу от 100 гр. до 130гр., что дает право говорить о стабильной и достаточно качественной работе предприятия и его работников.

Список использованных источников

вариация индекс группировка выборочный Буданов К. М., Лосева О. В. Практикум по общей теории статистики. Учебное пособие/ Пенз. гос. пед. университет. — Пенза, 2009. — с. 92

Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцева. Общая теория статистики: Учебник. — М.: Инфра-М, 1996. — с. 412

Куприенко Н. В. Статистика. Методы анализа распределений. Выборочное наблюдение. 3-е изд.: учеб. пособие. / Н. В. Куприенко, О. А. Пономарева, Д. В. Тихонов. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. — с. 138

Статистика: Курс лекций / Под ред. к. э. н. В. Г. Ионина. — Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, М.: ИНФРА-М, 2003. — с.

Статистика. Учебник/Под. Ред. Елисеевой И. И., — М.: Высшее образование, 2009. — с. 217

Теория статистики: Учебник / Под ред. Р. А. Шмойловой. — 2-е изд. Доп. и перераб. — М.: Финансы и статистика, 2002. — с. 376

Теория статистики: Учебник / под ред. проф. Р. А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 1996. — с. 459