Экономико-математические методы и прикладные модели

КонтрольнаяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Используйте аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня Х в направлении вектор-градиента, а при минимизации… Читать ещё >

Экономико-математические методы и прикладные модели (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Контрольная работа по дисциплине:

Экономико-математические методы и прикладные модели

1. Решите графическим методом задачу линейного программирования экономический математический линейный программирование Найти максимум и минимум функции f (X) при заданных ограничениях.

f (x₁, x₂) = 2x₁+x₂ max, min

x₁+x₂ 3

2x₁ + 3x₂ 15

2x₁ — 2,5x₂ 10

0x₂4

x₁0

1. Построим ОДР задачи (рис. 1).

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

x₁+x₂ = 3

2x₁ + 3x₂ = 15

2x₁ — 2,5x₂ = 10

x₂ = 4

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник OBFCDAE (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (2,1) с началом координат О (0,0).

3. Построим некоторую линию уровня 2x₁ + 1x₂ = а. Пусть, например, а = 0. На рис. 1 такой линии уровня отвечает прямая Х, перпендикулярная вектор-градиенту.

4. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня Х в направлении вектор-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня Х являются соответственно точка A и точка B. Далее она выходит из ОДР.

Определим координаты точки A, являющейся точкой пересечения третьей прямой и оси абсцисс:

2x₁ — 2,5x₂ = 10

х₂ = 0

х₁ = 5

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х₁ = 5; x₂ = 0 максимальное значение, равное f (x₁, х₂) = 52 + 01 = 10.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения первой прямой и оси ординат:

x₁+x₂ = 3

х₁ = 0

х₂ = 3

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х₁ = 0; x₂ = 3 минимальное значение, равное f (x₁, х₂) = 02 + 31 = 3.

2. Решите симплекс-методом задачи линейного программирования

min f (X) = x₁ — 4x₂

x₁ + x₂? 5

3x₁ — x₂? 3

x_1,2? 0

Решение После приведения к канонической форме получим

f (X)=x₁ -4x₂ +0*x₃ +0*x₄ максимизируется

Ограничения приобрели следующую форму:

1*x₁ +1*x₂ +1*x₃ +0*x₄ =5

3*x₁ -1*x₂ +0*x₃ +1*x₄ =3

В результате получим следующую симплекс-таблицу:


Ci/Cj	B	Базис	А1	А2	А3	А4	Q
		А3
		А4		— 1
дельта			— 1
		А3		1,33 333		— 0,33 333
		А1		— 0,33 333		0,33 333
дельта				3,66		0,33

Решение достигнуто при х₁ = 1 и х₂ = 0 и равно 1.

Решите задачу симплекс-методом

max f (X) = (x₁ — 24x₂ + 12x₃)

— x₁ — 3x₂ + 2x₃? 1

— x₁ + 4x₂ — x₃? 2

x_1,2,3? 0

Решение После приведения к канонической форме получим

f (X)=1*x₁ -24*x₂ +12*x₃ +0*x₄ +0*x₅ +0*x₆ максимизируется

Ограничения приобрели следующую форму:

— 1*x₁ -3*x₂ +2*x₃ +1*x₄ +0*x₅ +0*p₁ =1

— 1*x₁ +4*x₂ — 1*x₃ +0*x₄ -1*x₅ +1*p₁ =2

В результате получим следующую симплекс-таблицу:


Ci/Cj	B	Базис	А1	А2	А3	А4	А5	P1	Q
		А4	— 1	— 3					— 0,333 333 333 333 333
— m		P1	— 1		— 1		— 1		0,5
дельта			m-1	— 4m+24	m-12		m
	2,5	А4	— 1,75		1,25		— 0,75
— 24	0,5	А2	— 0,25		— 0,25		— 0,25		— 2
дельта					— 6
		А3	— 1,39 999			0,8	— 0,59 999		— 1,42 857 142 857 143
— 24		А2	— 0,59 999			0,2	— 0,4		— 1,66 666 666 666 667
дельта			— 3,4			4,8	2,4

Решения нет, так как Q<0

3. Используйте аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.


Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд
Сырье 1
Сырье 2
Оборудование
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: X₁ = 520, X₂ = 0, X₃ = 110.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения X₂;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запаса сырья 1 на 24 ед.;

5) определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение Обозначим через х_j, j =1,3- объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум прибыли»:

max (6x₁+10x₂ + 9x₃)

3x₁ + 6х₂ + 4х₃ 2000

20x₁ + 15х₂ + 20х₃ 15 000

10x₁ + 15х₂ + 20х₃ 7400

3х₂ + 5х₃ 1500

x_j0, j=1,2,3.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом X^* = (x₁ = 520, x₂ = 0, х₃ = 110) :

3*520 + 6*0 + 4*110 = 2000

20*520 + 15*0 + 20*110 =12 600 < 15 000

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400

3*0 + 5*110 =550 < 1500

Значение целевой функции на этом плане равно

f (X) = 6×520 + 10×0 + 9×110 = 4110.

Двойственная задача имеет вид:

min (2000y₁+15000y₂ +7400у₃+1500y₄)

3у₁+20y₂+10y₃6

6y₁+15y₂+15y₃+3y₄10

4y₁+20y₂+20y₃+5y₄9

y_1,2,3_{, 4}0.

Для нахождения оценок у₁, у₂, у₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и четвертое ограничения в (*) выполняется как строгое неравенство, то у₂ = 0, у₄ = 0. Так как х₁ > 0 и x₃ > 0, то:

3y₁^* + 20y₂^* + 10y₃^* — 6 = 0

4y₁^*+ 20y2^* + 20y₃^*+5y₄^* — 9 = 0.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y₂^* = 0

y₄^* = 0

3y₁^* + 20y₂^* + 10y₃^* = 6

4y₁^*+ 20y2^* + 20y₃^*+5y₄^* = 9.

т.е. y₁^* =3/2, y₂^* = 0, y₃^* = 3/20, y₄^* = 0.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

2000y₁+15000y₂ +7400у₃+1500y₄

(Y) = 2000×3/2 + 15 000×0 + 7400×3/20 + 1500×0 = 4110, т. е. f (X^*) = (Y^*) = 4110.

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В рассматриваемом примере увеличение фонда труда на 1 час привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 1,5 (у₁ = 3/2), а увеличение сырья 2 не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли.

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В данном примере недефицитным ресурсом является сырье 1 поскольку у₂ = 0 и оборудование, поскольку y₄=0.

Острее ощущается дефицитность труда (у₁ = 3/2) — он более дефицитен, чем сырье 2 (у₃= 3/20).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т. е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) 3/20: 3/2 = 1:10.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если — выгодно,

если _j > 0 — невыгодно.

Предположим в рассматриваемом примере следует решить вопрос о целесообразности включения в программу изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

С учетом сказанного будем иметь в двух рассматриваемых случаях:

8*3/2+4*0+20*3/20+6*0−11 = 4>0 — невыгодно расширение ассортимента;

Ответим на вопрос, как изменится объем выпуска продукции и прибыль от ее реализации, сырье 1 увеличится на 24 ед.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок имеем:

20x₁ + 15*0 + 20х₃ = 15 024

Отсюда определяется что в новых производственных условиях задача решения не имеет, то есть прибыль не изменится, а сырья 1 будет при этом избыток.

4. Задача Оптовый склад обслуживает 30 предприятий-потребителей материалов. Каждое из предприятий направляет на склад автомашину в среднем один раз в смену (смена — 8 ч). Средняя продолжительность погрузки одной автомашины составила 48 мин, т. е. 0,1 смены. Погрузка осуществляется кранами. Потери склада, связанные с простоем крана (включая крановщика и стропальщиков) из-за отсутствия автомашин, равны 5 у.е./ч.

Прибывшая на склад автомашина становится в очередь, если все краны заняты погрузкой других автомашин. При этом склад оплачивает предприятиям расходы, связанные с простоем на складе их автомашин и шоферов в очереди под погрузку, из расчета 2,6 у.е. за час простоя автомашины и шофера.

Отсюда следует m=30, =1, t_об=0,1.

Определите:

1) оптимальное количество необходимых складу кранов, при котором суммарные ожидаемые потери склада, связанные с простоем кранов (из-за отсутствия автомашин) и простоем автомашин в очереди, были бы минимальными;

2) коэффициент простоя крана;

3) среднее число автомашин, находящихся в очереди (длину очереди);

4) коэффициент и среднее время простоя автомашины в очереди.

Решение Так как из условия следует, что для полного обслуживания 30 машин требуется как минимум 3 крана, то при расчетах количества кранов n примем n от 3 до 7. Получим:

При n=3 рассчитаем P_k при k от 0 до 30 по формулам

P_k= _kP₀, (1 k n),

где и

P_k=_kP₀, (nkm),

где

Затем, так как

то мы найдем, что P₀=1/28,97 257 374=0,34 515 401.

Отсюда найдем P₁₋₃₀ и по формуле

где

найдем коэффициент простоя автомобиля.

Далее по формуле

где

найдем коэффициент простоя крана. Тогда потери от простоя кранов и автомашин будут равняться 2,630a₁+5na₃=7,68 у.е.


k	Pk*p0	Pk	(k-n)Pk		(n-k)P_k
		0,34 515			0,103 546
		0,103 546			0,207 092
	4,35	0,150 142			0,150 142
	4,06	0,140 133
	3,654	0,126 119	0,126 119
	3,1668	0,109 303	0,218 607
	2,639	0,91 086	0,273 258
	2,1112	0,72 869	0,291 476
	1,618 586 667	0,55 866	0,279 331
	1,186 963 556	0,40 969	0,245 811
	0,830 874 489	0,28 678	0,200 746
	0,553 916 326	0,19 119	0,152 949
	0,350 813 673	0,12 108	0,108 976
	0,210 488 204	0,7 265	0,72 651
	0,119 276 649	0,4 117	0,45 286
	0,63 614 213	0,2 196	0,26 348
	0,31 807 106	0,1 098	0,14 272
	0,14 843 316	0,512	0,7 173
	0,6 432 104	0,222	0,333
	0,2 572 841	8,88E-05	0,1 421
	0,943 375	3,26E-05	0,554
	0,314 458	1,09E-05	0,195
	9,43375E-05	3,26E-06	6,19E-05
	2,51567E-05	8,68E-07	1,74E-05
	5,86989E-06	2,03E-07	4,25E-06
	1,17398E-06	4,05E-08	8,91E-07
	1,95663E-07	6,75E-09	1,55E-07
	2,60884E-08	9E-10	2,16E-08
	2,60884E-09	9E-11	2,25E-09
	1,73923E-10	6E-12	1,56E-10
	5,79742E-12	2E-13	5,4E-12
Сумма	28,97 257 374	Коэф. Прост. Автом.	0,68 953	Коэф. Прост. Кранов	0,153 594

n
m
t_об	0,1
P₀	0,34 515 401
Потери	7,682 228 263
средняя длина очереди	2,68 586 634
Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание	0,68 952 888
k	Pk*p0	Pk	(k-n)Pk		(n-k)P
		0,51 226			0,204 905
		0,153 679			0,461 036
	4,35	0,222 834			0,445 668
	4,06	0,207 978			0,207 978
	2,7405	0,140 385
	1,781 325	0,91 251	0,91 251
	1,113 328 125	0,57 032	0,114 063
	0,667 996 875	0,34 219	0,102 657
	0,384 098 203	0,19 676	0,78 704
	0,211 254 012	0,10 822	0,54 109
	0,110 908 356	0,5 681	0,34 088
	0,55 454 178	0,2 841	0,19 885
	0,26 340 735	0,1 349	0,10 795
	0,11 853 331	0,607	0,5 465
	0,5 037 665	0,258	0,2 581
	0,2 015 066	0,103	0,1 135
	0,75 565	3,87E-05	0,465
	0,264 477	1,35E-05	0,176
	8,59552E-05	4,4E-06	6,16E-05
	2,57866E-05	1,32E-06	1,98E-05
	7,0913E-06	3,63E-07	5,81E-06
	1,77283E-06	9,08E-08	1,54E-06
	3,98886E-07	2,04E-08	3,68E-07
	7,97771E-08	4,09E-09	7,76E-08
	1,3961E-08	7,15E-10	1,43E-08
	2,09415E-09	1,07E-10	2,25E-09
	2,61769E-10	1,34E-11	2,95E-10
	2,61769E-11	1,34E-12	3,08E-11
	1,96327E-12	1,01E-13	2,41E-12
	9,81633E-14	5,03E-15	1,26E-13
	2,45408E-15	1,26E-16	3,27E-15
Сумма	19,52 125 277	Коэф. Прост. Автом.	0,17 182	Коэф. Прост. Кранов	0,329 897


n
m
tob	0,1
P0	0,51 226 221
Потери	7,938 138 029
средняя длина очереди	0,515 461 855
Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание	0,17 182 062

Аналогично рассчитаем суммы потерь для n=4,5,6,7 (данные в таблицах).

n=4

n=5


k	Pk*p0	Pk	(k-n)Pk
		0,55 853			0,279 265
		0,167 559			0,670 236
	4,35	0,24 296			0,728 881
	4,06	0,226 763			0,453 526
	2,7405	0,153 065			0,153 065
	1,42 506	0,79 594
	0,71 253	0,39 797	0,39 797
	0,3 420 144	0,19 103	0,38 205
	0,157 326 624	0,8 787	0,26 361
	0,69 223 715	0,3 866	0,15 465
	0,2 907 396	0,1 624	0,8 119
	0,11 629 584	0,65	0,3 897
	0,4 419 242	0,247	0,1 728
	0,1 590 927	8,89E-05	0,711
	0,540 915	3,02E-05	0,272
	0,173 093	9,67E-06	9,67E-05
	5,19279E-05	2,9E-06	3,19E-05
	1,45398E-05	8,12E-07	9,75E-06
	3,78035E-06	2,11E-07	2,74E-06
	9,07284E-07	5,07E-08	7,09E-07
	1,99602E-07	1,11E-08	1,67E-07
	3,99205E-08	2,23E-09	3,57E-08
	7,18569E-09	4,01E-10	6,82E-09
	1,14971E-09	6,42E-11	1,16E-09
	1,60959E-10	8,99E-12	1,71E-10
	1,93151E-11	1,08E-12	2,16E-11
	1,93151E-12	1,08E-13	2,27E-12
	1,54521E-13	8,63E-15	1,9E-13
	9,27126E-15	5,18E-16	1,19E-14
	3,7085E-16	2,07E-17	4,97E-16
	7,41701E-18	4,14E-19	1,04E-17
Сумма	17,90 415 386	Коэф. Прост. Автом.	0,449	Коэф. Прост. Кранов	0,456 995

n
m
tob	0,1
P0	0,55 852 961
Потери	11,77 507 748
средняя длина очереди	0,134 697 983
Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание	0,4 489 933

n=6


k	Pk*p0	Pk	(k-n)Pk
		0,56 985			0,341 908
		0,170 954			0,854 769
	4,35	0,247 883			0,991 532
	4,06	0,231 358			0,694 073
	2,7405	0,156 166			0,312 333
	1,42 506	0,81 206			0,81 206
	0,593 775	0,33 836
	0,23 751	0,13 534	0,13 534
	0,910 455	0,5 188	0,10 376
	0,3 338 335	0,1 902	0,5 707
	0,11 684 173	0,666	0,2 663
	0,3 894 724	0,222	0,111
	0,1 233 329	7,03E-05	0,422
	0,369 999	2,11E-05	0,148
	0,104 833	5,97E-06	4,78E-05
	2,79555E-05	1,59E-06	1,43E-05
	6,98887E-06	3,98E-07	3,98E-06
	1,63074E-06	9,29E-08	1,02E-06
	3,53326E-07	2,01E-08	2,42E-07
	7,06652E-08	4,03E-09	5,23E-08
	1,29553E-08	7,38E-10	1,03E-08
	2,15921E-09	1,23E-10	1,85E-09
	3,23882E-10	1,85E-11	2,95E-10
	4,31843E-11	2,46E-12	4,18E-11
	5,03817E-12	2,87E-13	5,17E-12
	5,03817E-13	2,87E-14	5,45E-13
	4,19847E-14	2,39E-15	4,78E-14
	2,79898E-15	1,59E-16	3,35E-15
	1,39949E-16	7,97E-18	1,75E-16
	4,66497E-18	2,66E-19	6,11E-18
	7,77495E-20	4,43E-21	1,06E-19
Сумма	17,54 859 792	Коэф. Прост. Автом.	0,1 134	Коэф. Прост. Кранов	0,54 597

n
m
tob	0,1
P0	0,5 698 461
Потери	16,46 757 489
средняя длина очереди	0,34 027 493
Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание	0,113 425

n=7


k	Pk*p0	Pk	(k-n)Pk
		0,57 242			0,400 696
		0,171 727			1,30 362
	4,35	0,249 004			1,245 021
	4,06	0,232 404			0,929 615
	2,7405	0,156 873			0,470 618
	1,42 506	0,81 574			0,163 147
	0,593 775	0,33 989			0,33 989
	0,20 358	0,11 653
	0,66 890 571	0,3 829	0,3 829
	0,21 022 751	0,1 203	0,2 407
	0,6 306 825	0,361	0,1 083
	0,180 195	0,103	0,413
	0,489 101	2,8E-05	0,14
	0,125 769	7,2E-06	4,32E-05
	3,05438E-05	1,75E-06	1,22E-05
	6,98145E-06	4E-07	3,2E-06
	1,49602E-06	8,56E-08	7,71E-07
	2,99205E-07	1,71E-08	1,71E-07
	5,55666E-08	3,18E-09	3,5E-08
	9,52571E-09	5,45E-10	6,54E-09
	1,4969E-09	8,57E-11	1,11E-09
	2,13842E-10	1,22E-11	1,71E-10
	2,7494E-11	1,57E-12	2,36E-11
	3,14217E-12	1,8E-13	2,88E-12
	3,14217E-13	1,8E-14	3,06E-13
	2,69329E-14	1,54E-15	2,78E-14
	1,92378E-15	1,1E-16	2,09E-15
	1,0993E-16	6,29E-18	1,26E-16
	4,7113E-18	2,7E-19	5,66E-18
	1,34609E-19	7,71E-21	1,7E-19
	1,92298E-21	1,1E-22	2,53E-21
Сумма	17,46 959 135	Коэф. Прост. Автом.	0,264	Коэф. Пр. Кранов	0,610 493

n
m
tob	0,1
P0	0,57 242 324
Потери	21,38 786 196
средняя длина очереди	0,7 931
Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание	0,264 367

В результате анализа данных получим, что минимальная сумма потерь будет равна 7,68 у.е. при n=3. Тогда коэффициент простоя крана будет равен 0,153 594, длина очереди 2,68 586 634 (рассчитывается по формуле), коэффициент простоя автомашины в очереди 0,68 953, среднее время простоя автомашины в очереди 0,68 952 888 (рассчитывается по формуле).

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой