Современные подходы к моделированию конфликтных ситуаций в экономике (теория игр)

Обозначим

Выигрыш игрока в: .

Введем обозначения:

.

Тогда выигрыши игроков можно переписать в виде:

.

Утверждение 2. Пара является равновесием Нэша в смешанном расширении тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

.

Доказательство. От противного. Т. е. первый игрок использует неоптимальную чистую стратегию: .

Найдем стратегию первого игрока, которая дает ему больший выигрыш, чем, при фиксированной .

Положим:

При этом ожидаемый выигрыш игрока увеличится.

Утверждение 2 позволяет свести поиск равновесий в смешанных стратегиях к решению систем линейных уравнений и неравенств.

Обозначим,. Тогда получаем следующие системы:

(3а) (3б) Проблема в том, что множества, заранее не известны. В общем случае необходим перебор всевозможных подмножеств множеств, .

Рассмотрим алгоритм поиска равновесий Нэша в чистых стратегиях. Пусть игра задается матрицами

Отмечаем максимальные элементы в каждом столбце первой матрицы, отмечаем максимальные элементы в каждой строке второй матрицы, а затем ищем пересечения. Найденные таким образом элементы являются равновесиями Нэша в чистых стратегиях.

Утверждение 3. Для поиска крайних точек множества равновесий Нэша достаточно перебирать квадратные подматрицы исходных матриц, т. е. только,: .

Выпишем системы (3а) и (3б) для .

Система (3а) примет вид:

(3а″)

Решение существует, если. Тогда, .

Для системы (3б), из которой вычисляется смешанная стратегия второго игрока, все рассуждения проводятся аналогичным образом.

Упражнение 5. Найти смешанную стратегию первого игрока из системы (3б).

Рассмотрим задачу поиска равновесий Нэша для игры размерности 3×3:

Шаг 1: поиск равновесий Нэша в чистых стратегиях.

Шаг 2: необходимо перебрать в матрице 3×3 все подматрицы размера 2×2. Всего возможно 3×3=9 способов выбрать пару ,. Необходимо составить и решить системы (3а) и (3б) для каждого из этих 9 вариантов.

Шаг 3: осталось исследовать случай, когда, т. е. ,.

2.7 Вычисление вполне смешанного равновесия

Равновесие называется вполне смешанным, если все чистые стратегии используются с положительными вероятностями. В общих предположениях (для «почти любой биматричной игры») вполне смешанное равновесие может существовать, только если, т. е. если [12].

Введем вектор. Тогда система (3б) примет вид:

(4)

Если не вырождена, то, умножив обе части первого уравнения в (4) на, получим:

Аналогично .

Проблема перебора.

Упражнение 6. Оценить число квадратных подматриц у матрицы [13].

Заключение

Одной из наук, предоставляющей возможность математического описания постановок различных задач по принятию решений и математическое обоснование подходов к их анализу, является теория игр, представляющая собой теоретические основы математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных рыночных отношениях, носящих характер конкурентной борьбы.

Теория игр представляет из себя сложное многоаспектное понятие, поэтому представляется невозможным привести толкование теории игр, используя лишь одно определение. Рассмотрим три подхода к определению теории игр.

1. Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

2. Теория игр — это раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970;х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение теория игр имеет для искусственного интеллекта и кибернетики.

3. Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации — конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр — метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов.

К настоящему времени теория игр развилась в самостоятельную область математики и может рассматриваться независимо от ее приложений к реальным игровым ситуациям. По мнению Джона Нэша, теория игр вообще сыграла важную роль в интеллектуальной жизни XX в. Таким образом, теорию игр можно рассматривать в качестве необходимой составляющей экономико-математического моделирования.

Список литературы

Теория игр и экономическое поведение, фон Нейман Дж., Моргенштерн О., изд-во Наука, 1970.

Петросян Л.А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998.

Дубина И. Н. Основы теории экономических игр: учебное пособие.

М.: КНОРУС, 2010.

Архив журнала «Проблемы Теории и Практики Управления» ., Райнер Фелькер.

Теория игр в управлении организационными системами. 2-е издание., Губко М. В., Новиков Д. А. 2005.

Баканов М.И., Шеремет А. Д. Теория экономического анализа:

Учебник. М.: Финансы и статистика, 1994. — 252 с.

Очкас М. В. Моделирование маркетинговых решений в управлении производственным комплексом. Автореферат диссертации на получение научной степени кандидата экономических наук. Д. 2000.- 22 с.

Федосеев В.В., Эриашвили Н. Д. Экономико-математические методы и модели в маркетинге: Учеб. Пособие для вузов. М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 159 с.

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие/ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999. — 276 с.

Льюс Р., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961.

Мескон М., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента, М., Дело, 1992.

Нейман Дж. Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970.

соотв-ет левой части второго уравн-я системы (3а″)

соотв-ет правой части второго уравн-я системы (3а″)