Решение системы уравнений

Решение системы уравнений

По формуле Крамера:

Систему уравнений преобразуем в матрицу и найдем общий определитель:

уравнение система крамер гаусс

4 + 0 — 10 — (20 + 3 + 0) = - 6 — 23 = - 29

Найдём определители D₁, D _2,D_3, из D, путем замены в нем соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов данной системы:

₁ =4 + 0 + 2 — (- 4 + 1 + 0) = 6 — 3 = 9

₂ =1 — 3 — 10 — (5 + 3 + 2) = - 12 — 10 = - 22

₃ =- 4 + 0 + 5 — (20 + 0 — 3) = 1 — 17 = - 16

По формуле Крамера найдем x₁, x₂, x₃:

_{1 =}

₂ =

₃ =

Методом обратной матрицы:

Систему уравнений преобразуем в матрицу и найдем общий определитель:

4 + 6 — 10 — (20 + 3 + 0) = - 6 — 23 = - 29

Найдем союзную матрицу А*, где А_ij — алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы, А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя). А_ij=(-1)^i+j_*M_ij, где M_ij-минор, находится путем вычеркивания i-строки и j-столбца:

Элементы первого столбца союзной матрицы:

А ₁₁ = (-1)² _* 4 — 0 = 4

А ₁₂ = (-1)³ _* — (3 — (-10)) = -13

А ₁₃ = (-1)⁴ _* 0−20 = -20

Элементы второго столбца:

А ₂₁ = (-1)³ _* — (1 — 0) = - 1

А ₂₂ = (-1)⁴ _* 1−5 = - 4

А ₂₃ = (-1)⁵ _* — (0 — 5) = 5

Элементы третьего столбца:

А ₃₁ = (-1)⁴ _* 2 — 4 = - 2 3

А ₃₂ = (-1)⁵ _* — (- 2 — 3) = 5

А ₃₃ = (-1)⁶ _* 4 — 3 = 1

Запишем полученные результаты:

А * =

Находим А^-1 = _* А*:

А^-1 = _*

Находим неизвестные x _1, x _2, x_3:

x = А^-1_* В, где В-вектор-столбец из свободных членов b_i

x = _{* =} =

Из этого следует, что:

x ₁ =

x ₂ =

x ₃ =

Методом Гаусса:

Преобразовать систему уравнений в матрицу и привести к ступенчатому виду (прямой ход):

_* (;

_* +

Получаем систему: