Экономико-математические методы и прикладные модели

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Экономико-математические методы и прикладные модели

1. Сущность метода наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей.

Суть метода заключается в том, что критерием качества рассматриваемого решения является сумма квадратов ошибок, которую стремятся свести к минимуму.

К минимуму сводятся квадраты ошибок, а не сами ошибки, потому что в большинстве случаев ошибки бывают в обе стороны: оценка может быть больше измерения или меньше его. Если складывать ошибки с разными знаками, то они будут взаимно компенсироваться, и в итоге сумма даст нам неверное представление о качестве оценки.

2. Экономический смысл параметров кривой роста (линейная модель)

Линейная модель имеет вид

Параметр а₀ характеризует начальные условия роста; а₁ — скорость (интенсивность) роста: показывает, на сколько в абсолютном выражении изменяется значение результативного признака Y при изменении фактора t на единицу его измерения. Знак при a₁ показывает направление этого изменения.

3. Какая идея лежит в основе проверки адекватности модели?

Идея проверки адекватности модели — установление соответствия построенной модели реальному объекту (процессу). Анализ адекватности модели преследует цель оценить, насколько построенная теоретическая модель взаимосвязи признаков отражает фактическую зависимость между этими признаками, и тем самым оценить практическую пригодность синтезированной модели связи.

4. Как оценить погрешность модели

Погрешность модели можно оценить с помощью характеристик точности, которые дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака.

Используют, например, такие показатели, как:

Ш максимальная по абсолютной величине ошибка Ш средняя по модулю относительная ошибка

5. Какая из оценок погрешности модели, абсолютная или относительная, предпочтительнее

Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя). Предпочтительнее использовать относительные ошибки, т.к. они дают представление об ошибке (погрешности) модели в процентном выражении, к примеру, ошибка в 10 и более процентов считается очень большой.

6. Какие пункты включает в себя проверка адекватности модели

Проверка адекватности модели включает в себя следующие пункты:

ь проверку равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю. Выдвигается нулевая гипотеза H₀: =0. С этой целью строится t-статистика. Если t_рас > t_таб, то гипотеза отклоняется и наоборот.

ь проверку условия случайности отклонений ряда остатков от математического ожидания на основе критерия поворотных точек. Число поворотных точек определяется по графику остатков. Если выполняется равенство то ряд остатков признается случайным, а модель адекватной по данному параметру.

ь проверку отсутствия (наличия) автокорреляции. Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным для 5%-ного уровня значимости: если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята и наоборот.

ь проверку соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

7. Построение точечного прогноза

Точечный прогноз — это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t=n+k.

8. Построение интервального прогноза

Поскольку точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, то есть указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины. Установлением такого интервала называется интервальным прогнозом. Для построения интервального прогноза: ширина доверительного интервала вычисляется по формуле Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границу прогноза:

соответственно.

9. Как осуществляется проверка качества модели

Проверка качества модели включает оценку адекватности и точности построенной модели.

Для оценки адекватности и точности построенной модели формируют остаточную последовательность: из фактических значений уровней ряда вычтем соответствующие значения по модели. Для оценки адекватности построенной модели исследуются свойства остаточной компоненты, т. е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений. Наиболее важными свойствами остаточной компоненты являются независимость уровней ряда остатков, их случайность и соответствие нормальному закону распределения.

Показатели оценки точности модели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака: средняя по модулю относительная ошибка, максимальная по абсолютной величине ошибка. Лучшей по точности считается та модель, у которой данные характеристики имеют меньшую величину.

10. Что такое коэффициент автокорреляции

Коэффициент автокорреляции измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, т. е. отражает зависимость значения текущего уровня ряда от предыдущего. Проверка на отсутствие (наличие) автокорреляции — один из этапов проверки модели временного ряда на адекватность.

11. Суть графического построения области допустимых решений

экономический математический модель прогноз Суть графического метода решения ЗЛП сводится к отысканию такой угловой точки области допустимых решений (многогранника решений), которая дала бы максимальное или минимальное значение целевой функции.

Для решения ЗЛП необходимо исследовать только вершины (угловые точки) многогранника решений — области допустимых решений (ОДР), т. е. только опорные планы.

Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, то она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

1. Строится область допустимых решений.

2. Строится вектор-градиент ЦФ в какой-нибудь точке x₀, принадлежащей ОДР —? = (c₁, c₂).

3. Линия уровня с₁x₁ + с₂x₂ = а (а — постоянная величина) — прямая, перпендикулярная вектору-градиенту? — передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации целевой функции до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации — линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) целевой функции.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума): достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума.

12. Как построить вектор-градиент и смысл этого вектора

Вектор-градиент показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Его координаты — частные производные целевой функции.

Строится вектор-градиент целевой функции с началом в точке x₀ (0;0):

13. В общем виде записать оптимизационную модель по критерию максимума (минимума) целевой функции (ЦФ)

Общая задача линейного программирования состоит в нахождении экстремального значения (максимума или минимума) линейной функции:

при ограничениях:

14. Понятие расширенной матрицы и линейного программирования

Расширенная матрица — матрица, включающая столбец свободных членов.

Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т. е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

Характерные черты задач линейного программирования:

· показатель оптимальности f (X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X= (x₁, x₂, x_n);

· ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

15. Как построить двойственную задачу линейного программирования

Правила построение двойственной задачи:

1) если целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, то целевая функция двойственной задачи — на минимум;

2) матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица А^т в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;

3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задаче соответствует числу переменных исходной;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

В результате целевая функция двойственной задачи примет вид При ограничениях: