Случайные величины

Привести два примера пространства элементарных событий.

Записать совместные и несовместные события.

Доказать, что если независимы события, А и B, то независимы события В и B.

По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин о и з найти:

— коэффициент А;

— функцию распределения F (x, y) системы случайных величин;

— функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F₁(x), F₂(y), f₁(x), f₂(y);

— условные плотности распределения f (x/y), f (y/x);

— числовые характеристики системы: математическое ожидание Mо и Mз и дисперсию системы Dо и Dз:

функция распределение плотность случайный

По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:

X = {1.4, 1.2, 1.0, 0.6, 0.8, 1.2, 1.2, 1.0, 1.0, 0.4, 0.6, 1.0, 0.8, 1.6, 1.4}.

По выборке Х построить доверительный интервал для параметра «a» — математическое ожидание при уровне значимости б = 0.01.

По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.

5. Задана случайная функция:

Y = X? ^{-t + 5},

где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.3. Найти числовые характеристики MV, DV, K _V (t ₁, t ₂) случайной функции

V =

6. Задан случайный процесс

Z = X COS (t) + Y e^-3t

c MX = 3.2, DX = 2.4, MY = 4, DY = 3.1, r _xy = 0.6.

Найти MZ, DZ, K _Z (t_1, t₂).

Решение

1. Монету подбрасывают один раз.

Элементарными несовместными событиями в данном случае будут щ₁ — выпадение цифры;

щ₂ — выпадение герба.

Щ={щ₁, щ₂},

где Щ — пространство элементарных событий.

Вероятности того, что выпадет цифра или герб равны

P (щ₁)= P (щ₂)=0.5

2. Условие независимости двух событий: если, А и В независимы, то

P (A/B)=P (A).

В данном случае P (B/A)=P (B). Доказательство:

P (B/A)=P (B? A)/P (A)=P (B (1-A))/P (A)=P (B-B*A)/ P (A)=P (B) P (1-A)/ P (A)=P (B)* P (A)/ P (A)=P (B)

3.1).Найдем коэффициент А:

=1

a=1/3;

3.2) F (x, y)= 0

F (x, y)= 1 1

;

;

Вариационный ряд состоит из семи различных чисел. Так как X — дискретная случайная величина, то составляем таблицу ряда

x	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4	1.6
ni

Строим эмпирическую функцию:

-?_n(x)=0

0.4_n(x)=2/15

0.6_n(x)=2/15

0.8_n(x)=4/15

1.0_n(x)=3/15

1.2_n(x)=2/15

1.4_n(x)=1/15

1.6_n(x)=1

F_n(x)=

Построим полигон частот и эмпирическую функцию распределения:

В качестве оценки для математического ожидания принимают эмпирическое среднее, т. е. среднее арифметическое всех полученных значений величины X.

x_ср=1/n* x_i

x_ср=1/15 (0.4+2*0.6+2*0.8+4*1.0+3*1.2+2*1.4+1.6)=1.013;

Выборочная дисперсия находится по формуле:

о² =1/n*(x_i-x_ср)² -это смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.

о² =1/15*((0.4−1.013)²+2*(0.6−1.013)²+2*(0.8−1.013)²+4*(1−1.013)²+

3*(1.2−1.013)²+2*(1.4−1.013)²+(1.6−1.013)²)=0.0781;

S²=1/(n-1)*(x_i-x_ср)² -это несмещенная оценка дисперсии.

S² =1/14*((0.4−1.013)²+2*(0.6−1.013)²+2*(0.8−1.013)²+4*(1−1.013)²+

3*(1.2−1.013)²+2*(1.4−1.013)²+(1.6−1.013)²)=0.1109;

S²=0.1109;

Среднеквадратичное отклонение:

о =v1/n*(x_i-x_ср)²=0,3222; S=v1/(n-1)*(x_i-x_ср)²=0,2794;

Доверительный интервал определяем по формулам:

A_н=x_ср-е_с*S/vn;

A_в=x_ср+е_с*S/vn;

x_ср — выборочное среднее

S — выборочное среднеквадратичное отклонение несмещенной оценки

е_с — определяется по таблицам распределения Стьюдента, по уровню значимости б и числу степеней свободы:

p=1 - б;

Из таблицы:

е_с=1,76;

Y (t) = X еxp (-t+5), MX=5, DX =1.3;

;

Проверка:

;

MX (t)=M [Xcost+Ye^-3t]=costMX+e^-3tMY=3.2*cost+4e^-3t

DZ=D [Xcost+Ye^-3t]=cos²tDX+ e^-9tDY=2.4*cos²t+3.1e^-4t

K_z(t₁, t₂)=MЇ(t₁)*Ї(t₂)

Ї(t₁)=Xcos t₁+Ye^{-3 t1}-3.2 cos t₁-4e^{-3 t1}= cos t₁ (X-3.2)+ e^{-3 t1} (Y-4)= sin t₁X+ e^{-3 t1} Y

Аналогично:

Ї(t₂)= sin t₂X+ e^{-2 t2} Y

K_z(t₁, t₂)=M[(cos t₁X+ e^{-3 t1} Y)*(sin t₂X+ e^{-3 t2} Y)]=M [cos t₁ cos t₂ X²+ e^{-3 t1} cos t₂X Y+ e^{-3 t2} cos t₁X Y+ e^-3(t1+t2) Y²]= cos t₁ cos t₂ MX²+ e^{-3 t1} cos t₂MX Y+ e^{-3 t2} cos t₁MX Y+ e^-3(t1+t2) MY²= cos t₁ cos t₂ DX+ e^{-3 t1} cos t₂K_XY+ e^{-3 t2} cos t₁K_XY+ e^-3(t1+t2) DY=2.4 cos t₁ coa t₂ +1.92 e^{-3 t1} cos t₂+1.92 e^{-3 t2} cos t₁+3 e^-3(t1+t2);

r_xy= K_XY /vDX*DY;

K_XY = r_xy*vDX*DY=1.63.