Статистические методы в экономике

Задача 1

Провести структурно-аналитическую группировку 20 регионов страны (см. табл.3) по двум признакам-факторам, положив в основание группировки нижеуказанный для конкретного варианта признак. Рассчитайте среднее значение группировочного признака по каждой группе. Результаты отобразить в статистической таблице, оформленной в соответствии с установленными правилами.

Постройте графически полученный ряд распределения признака в виде гистограммы.

По результатам группировки определите:

— показатели центра распределения: средние арифметическое значение группировочного признака моду и медиану;

— показатели вариации признака:

— абсолютные показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия.

— относительные показатели: коэффициенты осцилляции, вариации и линейной вариации;

— сделайте вывод о форме распределения на основании расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса.

По результатам расчетов сделать вывод.

Таблица 1

Выбор группировочного признака осуществляется по следующей схеме, представленной в таблице 2.

Таблица 2

Исходные данные

Таблица 3

РЕШЕНИЕ

Группировка — это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. Метод группировок основывается на 2-х категориях: группировочный признак и интервал. Группировочный признак — это признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы. Интервал — очерчивает количественные границы групп.

Величину интервала в данной задаче можно определить следующим образом:

(1)

х max, x min — максимальное и минимальное значение варьирующего признака. Для нахождения числа групп служит формула Стерджесса:

(2)

1. Сначала определим количество групп (2):

где N — количество элементов совокупности. N =20

=5,32, значит групп 5

1. Определим длину интервала по формуле (1):

=7,76 млн руб.

Величина интервала 7,76 млн руб.

35,0 — 42,76; 42,76−50,52; 50,52 — 58,28; 58,28 — 66,04; 66,04 — 73,8

Таблица 4

При построении вариационного ряда все расчеты отражаем в таблице.

Таблица 5

Средняя величина — выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

— средняя арифметическая взвешенная

— средняя арифметическая простая

где X_i — варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

nчисло наблюдение;

f_i — частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Показатели вариации:

— размах вариации:

где х_max — максимальное значение признака, х _min — минимальное значение признака;

R=73,8−35,0=38,8

— среднее линейное отклонение:

— ,

где — индивидуальные значения признака,

— средняя величина,

fчастота;

d=272−540,12=268,12

— дисперсия:

;

— среднее квадратическое отклонение:

;

— коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Так как V > 33% - совокупность неоднородна.

— коэффициент осцилляции:

V=38,8/540,12*100%=7,18

— линейный коэффициент вариации:

V=268,12/540,12*100%=49,64

2. Производим группировку по второму признаку: Валовые инвестиции, млн.руб.

Величина интервала:

h= у max — у min /число групп у max, у min — максимальное и минимальное значение варьирующего признака Для нахождения числа групп служит формула Стерджесса

1. Сначала определим количество групп:

где N — количество элементов совокупности. N =20

=5,32,

значит групп 5

1. Определим длину интервала по формуле (1):

h=13,3−6,3/5=1,4 млн руб.

Величина интервала 1,4 млн руб.

6,3 — 7,7; 7,7−9,1; 9,1 — 10,5; 10,5 — 11,9; 11,9 — 13,3

Таблица 6

При построении вариационного ряда все расчеты отражаем в таблице.

Таблица 7

Средняя величина — выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

— средняя арифметическая взвешенная

— средняя арифметическая простая

где У_i — варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

nчисло наблюдение;

f_i — частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Показатели вариации:

— размах вариации:

R=y_max-y_min

где у_max — максимальное значение признака, у _min — минимальное значение признака;

R=13,3−6,3=7,0

— среднее линейное отклонение:

где у — индивидуальные значения признака, у — средняя величина,

fчастота;

d=9,86−9,92=0,06

— дисперсия:

;

— среднее квадратическое отклонение:

;

— коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Так как V < 33% - совокупность однородна.

— коэффициент осцилляции:

V=7,0/9,92*100%=70,56

— линейный коэффициент вариации:

V=0,06/9,92*100%=0,06%

Задача 2

Разделив первые 30 регионов (см. данные из Задания 1) на 2 группы по величине признака, соответствующего вашему варианту, проверьте правило сложения дисперсий.

По результатам расчетов сделать вывод.

Методика решения

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних, от общей средней :

где f — численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы, (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

;

.

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т. е. на основании можно определить среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Согласно правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Ход расчета дисперсий:

1)определяем значения дисперсий по каждой группе (внутригрупповые дисперсии);

у²=У (y-y_i)²f/ Уf

у₁ ²=5 024 830,6/6=837 471,76 у₁ ²=51/6=8,5

у₂ ²=4 870 450,2/2=2 435 225,1 у₂ ²=4,62/2=2,31

у₃ ²=4 718 478,2/2=2 359 239,1 у₃ ²=2,5/2=1,25

у₄ ²=4 568 915,2/7=652 702,17 у₄ ²=8,2/5=1,64

у₅ ²=4 421 760,8/3=1 473 920,2 у₅ ²=35,9/5=7,18

2) среднее значение дисперсии по двум группам;

у₁₂ ²=118 022 220=5901,1 у₁₂ ²=102,2220=5,11

3) общую дисперсию по правилу сложения.

у²=5906,211/20=295,31

Для проверки результатов расчета рассчитываем общую дисперсию, без учета деления регионов на группы.

Задача 3

По группе регионов (см. исходные данные Задания № 1) необходимо:

1) найти линейное уравнение парной регрессии между результативным (ВРП) и факторным признаком (х_i), оценить полученные результаты;

х₁ — потребительские расходы;

х₂ — государственные расходы х₃ — валовые инвестиции х₄ — экспорт х₅ — средняя заработная плата

2) количественно оценить тесноту связи между результативным признаком и факторами.

3) по исходным данным постройте эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

4) проверить адекватность модели на основе критерия Фишера и значимость коэффициентов регрессии на основе критерия Стьюдента.

По результатам расчетов сделать вывод.

Таблица 7 Варианты заданий

РЕШЕНИЕ

Параметры уравнения парной линейной зависимости, а и b

могут быть определены методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:

Параметр b — это линейный коэффициент регрессии, характеризующий направление (+b — связь прямая; - b — связь обратная) и силу связи.

Он может быть рассчитан по формуле:

b=60,6 272

b=16 483,2 — 332,6/295,31=54,69

Коэффициент регрессии применяют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака у при изменении признака-фактора х на один процент. Для определения коэффициента эластичности используется формула:

Э=54,69*272/60,6=245,47

Подставляя эмпирические значения признака фактора х в уравнение регрессии, определим теоретические значения результативного признака у_x. попуществляется по формулеа, а значимость коэффициентов регрессии на основе критерия Стьюдента Тесноту связи так же необходимо охарактеризовать линейным коэффициентом корреляции.

или

Задача 4

По предприятию имеются следующие данные о реализованной продукции, определите:

— индивидуальные индексы цены, физического объема и товарооборота;

— агрегатный индекс товарооборота, цен и физического объема (показать их взаимосвязь)

— абсолютное изменение товарооборота за счет изменения ассортимента продукции и цены продажи;

— индекс структурных сдвигов, индексы фиксированного и переменного состава, показать их взаимосвязь.

По результатам расчетов сделать вывод.

Значение N определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. N=3

Таблица 9 Исходные данные

РЕШЕНИЕ

Значение N определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. N=3

Таблица 10 Исходные данные

Таблица 11 Исходные данные

Схема расчета индивидуального индекса:

где к₁ — индексируемый показатель в отчетном периоде, к_о— индексируемый показатель в базисном периоде.

Агрегатный индекс товарооборота:

Агрегатный индекс цены:

Агрегатный индекс физического объема:

Индекс переменного состава =

Индекс постоянного состава =

=0,047

Индекс структурных сдвигов =

Задача 5

Из общего количества рабочих предприятия была проведена Х %-я случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проезд к месту работы. Результаты выборки представлены в таблице 6 .

Таблица 10

Определите:

— доверительный интервал средних затрат времени на проезд к месту, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

— долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на проезд к месту работы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954

Таблица 11

РЕШЕНИЕ

Границы генеральной средней определяются как:

где — генеральная средняя,

— выборочная средняя, Дпредельная ошибка выборочной средней:

— при случайной бесповторной выборке:

где — коэффициент доверия, зависящий от того, с какой вероятностью определяется предельная ошибка:

при р=0,663 t=1,

при р=0,954 t=2,

при p= 0,997 t=3;

n — объем выборочной совокупности,

N — объем генеральной совокупности,

— дисперсия признака выборочной совокупности.

Дx=2

Границы генеральной доли находятся как:

где р — генеральная доля,

— выборочная доля (доля рабочих, обладающих указанным признаком):

где — число единиц, обладающих данным признаком,

n — объем выборочной совокупности.

— предельная ошибка доли:

.

=0,758

1. Ефимова М.Р., Ганченко О. И., Петрова Е. В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие.- 2-е изд. перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2003.-336с.

2. Елисеева И. И., Флуд Н. А., Юзбашев М. М. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие.- М.: Финансы и статистика, 2008. 512с.

3. Общая теория статистики: Учебник./ Под.ред. И. И. Елисеевой. — 5-е изд., перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2008. 656с.

4. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие/ Под.ред. Шмойловой Р. А. — 3-е изд.- М.: Финансы и статистика, 2008.-416с.

5. Салин В. Н., Чурилова Э. Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 480с.

6. Статистика: Учебник / И. И. Елисеева, И. И. Егорова и др.; Под ред. проф. И. И. Елисеевой. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004

7. Теория статистики: Учебник/ Под.ред. Шмойловой Р. А. — 5-е изд.- М.: Финансы и статистика, 2008. 656с.

8. Материалы сайта Государственного комитета РФ по статистике