Контрольная работа 3.

1. Прибор может работать в двух режимах нормальном и ненормальном. Нормальный режим встречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный в 20%. Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

Решение

Пусть гипотезы и состоят в том что прибор работает:

в нормальном режиме, вероятность

— в ненормальном режиме, вероятность

Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.

Пусть событие, А состоит в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления, А равна

При условии что режим работы ненормальный вероятность наступления А

По формуле полной вероятности вычислим вероятность того что прибор выйдет из строя за время t

Ответ: 0,22

2. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль. Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он:

а) не будет в проигрыше;

б) будет в выигрыше.

Решение

Вероятность выиграть по произвольному билету, по формуле классической вероятности равна p=0.1

Проводится n=10 испытаний c одинаковой вероятностью наступления события в каждом.

Для того чтобы игрок не был в проигрыше, должен выиграть хотя бы один билет то есть k>=1

Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выиграть как минимум два билета или k>1

По формуле Бернулли,

Теперь найдем вероятность противоположного события p (k>=1)=1-p (k<1)=1−0.349=0.651 — вероятность не оказаться в проигрыше

P (k>=1)=p (k>1)+p (k=1) — вероятность суммы несовместных событий

P (k>1)=p (k>=1)-p (k=1)=0.651−0.387=0.264 — вероятность выигрыша

Ответ: а)0,651 б)0,264

3. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает:

а) 1600 семян;

б) не менее 1600 семян.

Решение

Мы имеем дело с серией последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойти событие, А (семя прорастает)

Количество испытаний n=2000

Вероятность наступления события, А равна p (A)=0.8=p

q=1-p=1−0.8=0.2

Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что n достаточно велико, удобно применить для вычислений локальную теорему Муавра-Лапласа. Вероятность того, что событие, А наступит ровно k=1600раз, приблизительно равна

Здесь — локальная функция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.

Получим

Ответ :0,0223

4. В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины —- числа исправных батареек среди извлеченных.

Решение

Пусть Хдискретная случайная величиначисло неисправных батареек. Х может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х.

Вероятность для каждой батарейки быть неисправной определяем по формуле классической вероятности.

Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0.231, q=1-p=0.769

По формуле Бернулли

Проверка: p (X=0)+p (X=1)+p (X=2)+p (X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00

Получаем закон распределения случайной величины Х:

5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем P (X>2) = 0,5, а P (1

Решение

Для случайной величины X с нормальным распределeнием вероятность попадания в интервал равна

где Ф (х) — интегральная функция Лапласа,

значения которой табулированы.

По этой формуле

Отсюда следует что

Из таблиц определяем a=2 — математическое ожидание Х

Кроме того

Значит

из таблицы определяем чтосреднеквадратическое

отклонение

Дисперсия

Ответ: Математическое ожидание

Дисперсия