Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.

Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?

Р= число близких иходов = 15…14…- 6 = 15 ! -2

Число элемент. исходов 15*15*15…15 5 ! 1,88 * 1е

10 раз 50

15 _____________________________________

2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие

независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1 49 1 .

Найти вероятность того, что тока не будет? 50; 50; 4

— - ;

Аток есть Аi — i-й прибор не исправен Р (А) = 49 Р (А2)= 1 Р (А3) = 3

50; 50; 4

_

Р (А)=1-Р (А) = 1-Р (А1 А2 А3) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1— 3 = 9,753

50 50 4 10,000

____________________________________________________________________________________________

3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно 41 .

Найдите вер-ть попадания при одном выстреле? 50

Аi — успешный i — выстрел

_________

Р = 41 = 1-Р (А1 …А12) — не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =

__ __ _ 12 12

= 1 — Р (А1) …Р (А12) = 1 — Р (А1); 41 = 1-Р (А1)

Найти Р (А1)

_ 12

Р (А1) = 1- 41 = 9

50 50

_ 12__

Р (А1) = 9

_ 12__

Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 — 9 0,133

50 ___________________________________________

Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких

задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 — задачи по теории

вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность

того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.

Аiстуденту достанется задача по теории вероятности, А — всем достанется задача по теор. вероят.

А = А1 А2 А3

А — хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.

_

Р (А) = 1 — Р (А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 — Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3) * Р *

А1А2 А1А2 А1

*(А2)*Р (А1)= 1 — 15 * 14 * 13 = 0,265

28 27 26

В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе

и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19, 19 и 59

20 50 100

Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.

Н1 — деталь с 1-го завода Н2 — деталь со 2-го завода Н3 — деталь с 3-го завода.

Р (Н1) = 6 = 1; Р (Н2) = 2 = 1; Р (Н3) = 4 = 1

12 2 12 6 12 3

А — извлеченная деталь качественная

_ _ _ _

Р (А) = Р *(А) * Р (Н1) + Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1 + 59 *1=147=

Н1 _ Н2 Н3 20 2 50 6 100 3 200

Р (А) = 1 — Р (А) = 53/200

__________________________________________________________________________________________

Независимые вероятные величины Х, У представляют только целые значения

Х: от 1 до 16 с вер-ю 1

У: от 1 до 23 с вер-ю 1

Р (Х+У = 32)

Х У Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) = 1 * 1

9 23 16 23

10 22

P (X+y=32)=P (X=8, y=23) + P (X=10; y=12)+…+P (y=16,X=16)=

16 16 = 8* 1 * 1 = 1

23 46

_________________________________________________________________________________________

Независимые случайные величины Х, У принимает только целые значения.

Х: от 1 до 14 с вероятностью 1

У: от 1 до 7 с вероятностью 1

Найти вероятность того, что Р (Х У) Если У = 7, то 1 Х 6 1 * 6

Если У = 6 то 1 Х 5 1 * 5

7 14

Если У = 5 то 1 Х 4 1 * 4

Если У = 4 то 1 Х 3 1 * 3

Если У = 3 то 1 Х 2 1 * 2

Если У = 2 то 1 = Х 1 * 1

7 14

Р (ХУ) = 1 * 6 + 1 * 5 + 1 * 1 = 1+2+3+4+5+6 = 21 = 3

7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14

_________________________________________________________________________________________

Независимые величины Х1… Х7 принимают только целые значения от

0 до 10 с вероятностью 1

Найти вероятность того, что Р (Х1…Х7) = 0

Р (Х1…Х7 =0) = 1-Р (Х1…Х7 0) = 1- Р (Х10…Х7)=1-Р (Х10)*Р (Х20)

*…* Р (Х70) = 1 — 10 * 10 = 1 — 10

11… 11 11

7 раз Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения

Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1

У: от 1 до 12 _____/_____ 1

Z от 1 до 9 _____/_____ 1

Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?

Пусть «Z» приняло какое-то значение «а». Р (Уа) = 11

Пусть при этом У= в Р (Z a; Z в) = 11; Р = 11 * 11

13 12 13.

_______________________________________________________________________________________

10.

м = М (Х) —? М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2

Р (Х м) —? Р (Х 5,2) = Р (Х=1) + Р (Х=4) = 0,5

___________________________________________________________________________________________

11.

Д (Х) — ?

М (Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8

М (Х) = 0,8+2,7+12,5 = 16

2 2 2

Д (Х) = М (Х) — М (Х) = 16 — 3,8 = 1,56

______________________________________________________________________________________________________________

12. Независимые величины Х1,…, Х9 принимают целое значение — 8, — 7,…, 5,6

с вероятностью 1

15 9

Найти М (Х1,Х2,…, Х9) * М (Х2,…, Х9) = М (Х1) * М (Х2)*…* М (Х9) =М (Х9)

М (Х1) = 8 * 1 — 7 * 1 * 6 * 1 — … + 5 * 1 + 6 * 1 = 1 (-8−7-5…+5+6) = -1

15 15 15 15 15 15

9 9

= М (Х1) = (-1) = -1

13.

м= М (Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12

д (Х) -? 2 2

Р ((Х-м)) Д (Х) = М (Х — М (Х)) = М (Х-12)

М (Х-Р) = 8+1,6

_____

(Х) = (Х) 3,1

Р (Х -12 3,1) = Р (-3,1Х -12 3,1) = Р (8,9Х15,1) =

= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5

___________________________________________________________________________________________________________

14. Х, У — неизвестные случайные величины М (Х) = 3 8 2 2 2 2 2

М (У) =2 Д (ХУ) = М (ХУ) — М (ХУ) = М (Х) * М (У) — [ М (Х)*М (Х)] =

Д (Х) = 4 2 2 2 2

Д (У) = 8 Д (Х)=М (Х) — М (Х) = М (Х) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13

Д (Х У) 2 2

М (У) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12

= 12*13 — (2 * 3) = 156 — 36 = 120

__________________________________________________________________________

15. Х, У — независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.

Р (Х=0) = 0,3 2 2 2 2 2

Р (У=0) = 0,6 М (Х+У) + М (Х + 2ху +у) = М (Х) +2М (Х) * М (У) + М (У) =

М (Х+У)

М (Х) = 0,7 = М (Х)

М (У) = 0,4 = М (У)

= 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66

16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1.

(задание как в 15).

х — у

М (3) — ?

х-у ху ху

М (3) = М (3 * 3) =М (3) * М (3) = 2,4 * 2 = 1,6

Ху

М (3) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3) = 0,5 + 0,5 = 4 * 0,5 = 1

3 3 3

_____________________________________________________________________________________________________________

17. Производится 10 240 независимых испытаний, состоящих в том, что

подбрасываются 9 монет

Х — число испытаний, в которых выпало 3 герба

М (Х) -?

1-испт. — 9 монет

9 испытаний Р = 1

3 3 6 3 9

Р (Г = 3) = С9 * (1) * (1) = С9 * (1) = 84 * 1 — 21 = …

2 2 2 512 128

n = 10 240 испытаний

Р = 21; М (Х) = np = 21 * 10 240 = 1680

18. В серии независимых испытаний (одно испытание за ед. времени)

вероятность наступления, А равна 1

8.

Пусть Т-время ожидания наступления события, А 14 раз. Найти М (Т)1 Д (Т).

Х1 — время ожидания до первого наступления А

Х2 — время ожидания от первого наступления, А до 2-го

Т = Х1 + Х2 +Х3 + …Х14

Хi Р = 1

8 7/8

М (Хi) = 1 = 8; d = 7 Д (Хi) = d = = 56

8 8 2 2

p 1/8

М (Т) = 14 М * (Х1) 14 * 8 = 112

Д (Т) = Д (X1) = 14 * 56 = 784

19. Величины Х1… Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами

п =4, р = 3 Найти М (Х1 + Х2 + …+ Х320)=?

2 2 2

М (Х1 + …+Х 320) = 320 М (Х1) = Х1 — биноминальное

2 2 М (Х1) = пр = 3

= М (Х1) = Д (Х1) + М (Х1) = 2

2 Д (Х1) = nрq = 3 * 5 = 5

= 15 + 3 = 15 + 9 = 51 2 8 16

16 2 16 4 16

= 320 * 51 = 1020

_____________________________________________________________________________________________________________________

20. Величины Х1 …Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым

мат. ожиданиям равным 8.

2 2

Найти М (Х1 +…+ Х18) — ?

M (Х) = Д (Х) = = 8

2 2 2 2

М (Х1 +…+ Х18) = 18 М (Х1) = 18 (Д (Х1) + М (Хi))=18(8 + 64)=18 * 72=1296

_________________________________________________________________________________________________________

21. Х — равномерно распределён на отр. — 8,2

Р (1)5 = Р (0 Х 1) = (0 Х 0,5) =

Х 5

1 — 5 0; 1 — 5Х 0; Х —1/5 0 (0 Х 0,5)

Х Х Х

1 — 5Х 0; Х — 1/5 0

Х Х

х, в

0,Ха 0; Х а

f (Х)= 1; а Х в F (Х) = х — а; а Х, а 0 Х 1/5

во ва

0,Х в 1, Х B

F (Х) = Х + 8 = F (1/5) — F (0) =1/5 + 8 — 8 = 1

5 10 10 50

_______________________________________________________________________________________________________________________

22. Х — равномерно распределена на отр. -17; 10

2 2

Р (Х 64) = 1- Р (Х 64) = 1 — 16

Р (Х 64) = Р (-8 Х 8) =

0; Х -17

F (Х) = Х + 17, -17 Х 10

1, Х 10

= F (8) — F (-8) = 8 + 17 — -8 + 17 = 16

27 27 27

______________________________________________________________________________________________________________

23. Х — равномерно распределена на отр. -1; 1

8/9 X [a, b]; f (x)

М (Х) a 0; x <-1

M (x)=? x f (x) dx f (x)= -1

b 0; x>1

a

M ((x))=? (x) f (x) dx

b

8/9 1 8/9 17/9 1

M (X) =? Ѕ* X DX = Ѕ * X = 9/17

— 1 17/9 -1

24. Х — равномерно распределена на отр. 0.1

9/10 9/10

Д (19Х) = 361 (Х)

9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2

Д (Х) = М ( (Х)) — М (Х) = М (Х) — М (Х) Х

__________________________________________________________________________________________________________

25. Х — равномерно распределена на отр. 5; 8 * Д (24x+ 36) — ?

Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3 = 432

2 4

Д (Х) = (в — а)

Д (Х) = 8 — 5 = 9 = 3

12 12 4

_______________________________________________________________________________________________________________

26. Х1,…Х2 — Независимые и распределенные по показательному закону.

Найти М (Х1 + Х2 + …+ Х10), если М (Хi) = 4.

М (Х) = 1

Д (Х) = 1

M (Хi) = Д (Хi) = 16

2 2 2

М (Х1 +…+ Х10) =Д (Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +…+ Х10) =10Д (Х1)+ 10 М (Х1) =

= 160 + (10 * 4) = 1760

_________________________________________________________________________________________________________________

М (Х) =1/; Д (Х) = 1/

27. Х —распределен по показательному признаку

Найти М [ (Х + 8) ], если Д (Х) = 36 М (Х)=6

2 2 2 2

М (Х + 8) = M (Х + 16х + 64) = М (Х) + 16 М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +

+ 16 М (Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232

____________________________________________________________________________________________________________

28. Хпоказательное распределение; Х — показательный закон

0, Х < 0

F (Х) = -2х

1 — е, Х >0, Найти Ln (1 — Р (Х < 6)) = Ln (1 — F (6)) =

— 6/7 -6/7 -6/7

= F (6) = 1 — е = Ln (1 — (1 — е)) = Ln е = - 6/7

29. (Х) — случайная величина

0, Х < 10

ѓ (Х) = С; Х? 10

Х

С —?; М (Х) — ?

опр. B -5

? ѓ (Х)dх = 1 =? с dх = lim? = cdx = C lim? X dx =

10 10 5 b-> 10 5 b-> 10

Х X

b

-4 -4 4 4 4

= C * lim X = C lim — b + 10 = C * 10 = 1 = C 10 =

b-> -4 b-> 4 4 4 4

= C = 4 * 10

0; Х 10

ѓ (Х) = 4

4 * 10, Х 10

Х

М (Х) =? Х ѓ (Х) dx =? 4 * 10 dx

10 10 4

Х

_________________________________________________________________________________

30. Х — нормальная случайная величина М (Х) = 16

Д (Х) = 25

? — Р (Х10,5)

= 1 — 10,5 — 16 = 0,5 + (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864

________________________________________________________________________________________

Р (d X b) = b — m — d — m

2. P (X b) = 1 + b — m

3. P (X b) = 1 — b — m