Social and Complex Networks

2.1 и оценивание адекватности описания моделью реальной структуры. Проведяаппроксимацию «хвостов» распределенийстепенейвершин, которыепроиллюстрированынарис. 2.2, иопределившитемсамымпоказатели γ дляразныхлокальныхсоциальныхсетей, в частности γ = 2,4 длясети «Bw-star & FoxNet», γ = 1,5 длясети «Авеню» и γ = 2,1 длясети «Dss-group», осуществленомоделированияэтихсетейпо известнымp= k−γраспределениямвероятностейприсоединенияпользователейвсетьссоответствующими γ. На рис.

2.3 приведены примеры визуализации стохастическихграфов, которые отображают свойства исследуемых социальных сетей. Для осуществления процесса динамической визуализации использовался оригинальный алгоритм составления графа, какой, по нашему мнению, дает наиболее информативное отображение структуры и свойств социальных сетей. Рисунок2.

3 — Примерыграфов, которыеотвечаютсетямсразнымизаконамизависимостиp= k−γ :(а) γ = 2,4, N = 915; (б) γ = 2,1, N = 2023

Нарис. 2.3вершинысразнымистепенямиприсоединенияkизображеныразнымицветами, ихколичествовсгенирированнойсетивынесенынапанельслева, а количествосвязей, которыеотвечаюткаждойвершине, отображенныенапанелисправа.Изрис. 2.3видим, чтодлямалыхзначенийпараметрараспределения γ сетькластеризується водинбольшойсвязанныйкластер. Благодарятому, чтоосновнойвзносвсетьделаютпользователи, длякоторыхстепеньприсоединениявсетьk= 1, тосредняястепеньсети, найденная таким образом, является сравнительно малой величиной. Для сети «Bw-star & FoxNet» его значение = 1,997 .Следует отметить, что для подавляющего большинства компьютерных Интернет-Сетей средняя степеньпо мере тех же причин будет принимать малые значения. Относительно параметра γ показателя степени степенного распределения, то его значение может быть разным. Большим — вменееразветвленныхсистемахсосравнительномалымколичествомсерверов, соединенийсмногимисвязямиkинаоборот — большимколичествомпользователейсk= 1. Меньшим — вболееструктурированныхсетях, вструктурекоторыхестьдостаточноеколичествовершинсбольшимистепенямиk (рис. 2.3б), таких, как сеть Dss-group.Для обоснования результатов компьютерного эксперимента вычислены средние значения коэффициентов кластерности систем:

где ck- локальнаявеличинакоэффициентакластерности. Для сети «Bw-star & FoxNet» = 0,032, для сети «Авеню» = 0,081.Малое значениеуказывает на низкую корреляцию в локальных социальных сетях. Согласно результатам компьютерного эксперимента средняя степень узла и коэффициент кластерностиимеют тенденцию к медленному увеличению при разрастании сети. ПредложенныйалгоритмиегопрограммнаяреализацияпозволяютгенерациюкомплексныхсетейсестественнымколичествомсвязейвнихN ~ 103−105 .Необходимознатьиуметьмоделироватьнетолькоструктурусвязейвданныймоментвремени, ноидинамикусетисконкретнымраспределениемсвязейна достаточнобольшойпромежутоквремени. Предложенныйвработеалгоритмпозволяетосуществитьпрогнозированиеразвитиясети. Вкачестве примера, отслеживаядинамикустановлениясети"Bw-star & FoxNet" запоследниегоды, приведенную в табл.

2.1, осуществивпроцессмоделированиязаопределеннымдлянееинтегральнымзакономраспределениявероятностейpk= k−2,4иежегоднымприростомΔN≈ 110связейэтойсети, можновычислитьпрогнозируемоеколичествопользователей, сайтовидоменоввнейв2014году (табл. 2.2).Таблица 2.2 — Прогнозируемое количество связей в сетиN = 1245к12 345б789101112131415nk751271894526171286543з32Результаты, полученныеприизучениимодели, можнопереноситьнареальнуюструктуру, еслимодельееадекватноописывает. Вопрособадекватности, точностьидостоверностьсмоделированнойсистемыиисследуемыхреальныхкомплексныхсетейизучалосьпутемсопоставления, сравнениеиоцениваниеихчисловыххарактеристик (количестваузловсразнымистепенямиk, вероятностиобъединениявсеть). Замеруразбросаданныхвыбираласьдисперсияилисреднийквадратотклонения (σ 2), которыйхарактеризуетотклонениеслучайныхзначенийотсреднейвеличины в даннойвыборке. Вработевопрособадекватностимоделиустанавливаетсячерезсопоставлениеоценокусредненногоапроксимованогоиреальногораспределенийстепенейузловpkсогласноформуле:

Разбросданныхдлясети «Bw-star & FoxNet» вразныевременныепромежутки, приведенныхвтабл.

2.1, сравнительносусредненнымиапроксимованымиоцениваетсязначениями σ 2 = 0.0057дляданных2005года, σ 2 = 0.0013 — дляданных2008годаи σ 2 = 0.0012 — для данных 2012 года, что в процентном отношении составляет 7.5- 3.

5% вариационного ряда. На основе проведенных числовых расчетов можно приходить к выводу об адекватности описания моделью реальных сетей. Такие модели используются, в частности, для описания распространения эпидемий (например, таких, как грипп или ВИЧ) в социальных сетях [10]. Алгоритмы моделирования, предложенные в данной работе, должны стать средством для изготовления подходов к диагностике процессов распространения компьютерных вирусов в компьютерных сетях и исследование впечатлительности и стойкости последних к направленным атакам. Анализ реальных безмасштабных сетей WWW и Интернета [11, 12], метаболизма [13], сети питания [14] демонстрирует незаурядную их стойкость к изъятию узлов: то есть эти сети выявляют неожиданную степень стойкости при случайных поражениях. С другой стороны, при спланированных сценариях нанесения вреда или вирусных атаках, сеть становится чрезвычайно уязвимой. Выводы

Теория комплексных сетей играет важную роль в большом количестве дисциплин, начинаяот компьютерных наук, социологии, технических наук и физики, и заканчивая молекулярной и популяционной биологией. В теории комплексных сетей выделяют три основных направления:

исследование статистических свойств, которые характеризуют поведение сетей;

— создание моделей сетей;

— прогнозирование поведения при изменении структурных свойств сетей. Комплексные сети используются для моделирования объектов и систем, исследование которых другими способами (с помощью наблюдения или активного эксперимента) нецелесообразно или невозможно. Моделирование сетей с использованием аппарата теории графов является важным направлением исследований дискретной математики. В последнее времянаблюдается заинтересованность исследователей к сложным сетям с большим количеством узлов, в частности к социальным сетям, структура которых нерегулярная, сложная и динамично развивается во времени. Для таких сетей приходится генерировать стохастические графы с огромным количеством вершин. Для осуществления процесса моделирования экономической социальной Интернет-Сети использовались характеристики конкретных сетей, а именно, «Bw-star & Foxnet», «Dss-group» и «Авеню» в Пскове. Работа алгоритма моделирования, адекватность описания моделью реальной структуры проиллюстрирована путем генерации графа с использованием характеристик реальных компьютерных сетей Bw-star & FoxNet и Dss-group. По выборке определены распределения таких числовых характеристик для реальных сетей:

1) количество вершин в сети knс разными степенями их присоединения;

2) благоустроенный список степеней вершин в виде степенной последовательности для моделирования стохастического графа;

3) соответствующие вероятности присоединения вершин с разными степенями ki (i= 1, s) в сеть. Благодаряпроведенной работем изучен подход к моделированию динамики развития и становление компьютерных сетей с использованием аппарата сложных сетей. В рамках предложенной схемы разработано программное обеспечение в среде Processing для моделирования комплексных компьютерных сетей. В ходе работы проанализировано влияние статистических характеристик сетей на структуру и свойства модельных стохастических графов, которые их изображают. Сформулированный в работе подход к моделированию дает возможность сгенерировать случайные графы с известным заранее числом вершин и заданными вероятностными свойствами. Проведенные исследования, использованные алгоритмы моделирования и обоснованность применения математического аппарата позволяют сделать вывод о точности и адекватности предложенной модели к реальным структурам. Предложенные в работе алгоритмы моделирования могут быть использованы для решения задачи о стойкости безмасштабныхсоциальных экономических сетей к направленным хакерским атакам и распространению компьютерных вирусов в них. Список использованной литературы1. Нікольський, Ю. Дискретная математика [Текст] / Ю.В. Нікольський, В. В. Пасечник, Ю. М. Щербина.

Львов: «Магнолия-2006». — 2009. 432 с.

2.Newman, M.E.J.The Structure and Function of Complex Networks [Text] / M.E.J.Newman // SIAM Review.- 2003. Vol.

45. N.

2. P.167−256.

3.Erdős, P. On the evolution of random graphs [Text] / P. Erdős, A. Renyi // Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences.- 1960. Vol.

5. P.17−61.

4.Frank, O. Markov graphs [Text] / O. Frank, D. Strauss D // Journal of the American Statistical Association.- 1986. Vol.

81. P.832−842.

5.Watts, D.J.Collective dynamics of «small-world» networks [Text] / D.J.Watts, S.H.Strogatz // Nature.- 1998. Vol.

393. P.440−442.

6.Albert, R. Statistical mechanics of complex networks [Text] / R. Albert, A.-L.Barabasi // Reviews of Modern Physics.- 2002. P.47−97.

7.Barabasi, A-L.Emergence of scaling in random networks [Text] / A.-L.Barabasi, R. Albert // Science.- 1999. Vol.

286. P.509−512.

8.Price, D.J.de S. A general theory of bibliometric and other cumulative advantage processes [Text] / D.J.de S. Price // Journal of the American Society for Information Science.- 1976. Vol.

27. P.292−306.

9.Головач, Ю. Сложные сети [Текст] / Ю. Головач, О. Олемский, К. фон Фербер, Т. Головач, О. Мриглод, И. Олемской, В. Пальчиков // Журнал физических исследований.- 2006. Т.

10. № 4. С. 247 — 289.

10.Sloot, P.M.A.Stochastic simulation of HIV population dynamics through complex network modeling [Text] / SlootP.M.A., IvanovS.V., BoukhanovskyA.V., D.A.M.C.van de Vijver c and C.A.B.Boucherc // International Journal of Computer Mathematics.- 2008. Vol.

85. N.

8. P.1175−1187.

11.Albert, R. Error and attack tolerance of complex networks [Text] / R. Albert, H. Jeong, A.-L.Barabasi // Nature (London).- 2000. Vol.

406. P.378−381.

12.Tu, Y. How robust is the Internet?[Text] / Y. Tu // Nature (London).- 2000. Vol.

406. P.353−354.

13.Jeong, H. The large-scale organization of metabolic networks [Text] / H. Jeong, B. Tombor, R. Albert, Z.N.Oltvai, A.- L. Barabasi // Nature (London).- 2000. Vol.

407. P.651−654.

14.Sole, R.V.Complexity and fragility in ecological networks [Text] / R.V.Sole, J.M.Montoya // Proc.R.Soc.Lond.- 2001. B 268. P.2039;2045.