Средние величины и индексы, применение корреляционного анализа в статистике

Содержание Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Задача 1

Произвести группировку 48 рабочих цеха по тарифным разрядам на основании следующих данных об их уровне квалификации (тарифных разрядов):

3, 2,3,4,5,2,6,5,4,2,3,3,5,7,8,7,

4,2,3,6,7,8,5,4,3,6,5,4,3,3,2,2,

5,6,8,8,7,7,6,7,3,5,7,2,2,7,4,5

Расчленение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку, называется группировкой. В нашем случае в основании группировки лежит дискретный признак — разряд рабочего, нижняя граница i2 интервала равна верхней границе i1 интервала, увеличенного на единицу.

Для удобства группировки произведем сортировку исходных данных по возрастанию: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.

Группировка работников цеха по тарифным разрядам

Наибольшее количество работников 9 чел. имеют 3 разрад, наименьшее — 4чел. имеют 8 разряд.

Задача 2

Предприятию планом на отчетный год предусматривалось увеличение выпуска изделия «А» на 15%, изделия «Б» на 8%, изделия «В» на 50% по сравнению я предыдущим годом. Фактический объем производства изделия «А» в отчетном году был в 1,2 раза больше, чем в предыдущем, изделия «Б» — на 12%, а изделия «В» в 1,2 раза. Определите показатели степени выполнения плана по выпуску изделий «А», «Б», «В».

Решение.

Для вычисления показатель степени выплонения плана изделий используем следующую формулу — формулу вычисления относительной величины прироста (снижения):

Для изделия «А»:

— плановый объем — ожидается увеличение на 15%;

— фактический объем увеличился на 20%.

Для изделия «Б»:

— плановый объем — ожидается увеличение на 8%;

— фактический объем увеличился на 12%.

Для изделия «В»:

— плановый объем — ожидается увеличение на 50%;

— фактический объем увеличился на 20%.

Полученные данные занесем в таблицу:

Из таблицы видно, что план по изделиям, А и Б перевыполнен, а по изделию В не выполнен.

Задача 3

На двух предприятиях работники по уровню производительности труда распределяются следующим образом:

Определите средние уровни производительности труда по этим предприятиям и показатели вариации.

На каком из этих предприятий средняя является более типичной характеристикой?

Решение.

1) Определите средние уровни производительности труда по предприятиям и показатели вариации

Так как исходные данные задачи представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной

где х — значение признакаэто уровень выработки;

f — частота повторения соответствующего признака (веса) — количество работников.

Для 1-ого предприятия средний уровень производительности:

Для 2-ого предприятия средний уровень производительности:

Для измерения вариации в статистике используют различные показатели, важнейшими из них являются: среднее квадратическое отклонение (), дисперсия () и коэффициент вариации (V).

Дисперсия:

Для 1-ого предприятия:

Для 2-ого предприятия:

Среднее квадратичное отклонение:

Коэффициент вариации:

2) На каком из этих предприятий средняя является более типичной характеристикой?

Медианой называется численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое делит этот ряд на две равные по численности части. Медиана не зависит от значений признака на краях ранжированного ряда. Поэтому часто медиану используют как более надежный показатель типичного значения признака, нежели арифметическая средняя. Для определения, какая из средних является более типичной найдем медианы для двух предприятий и сравним их значения со средней.

Для 1-ого предприятия:

Место медианы в ряду: 150/2=75. Медианный уровень равен 4 млн руб./чел, но

Для 2-ого предприятия:

Место медианы в ряду: 130/2=65. Медианный уровень равен 5 млн руб./чел

Для определения медианы использовали накопленные частоты, которые получают последовательным суммированием частот (см таблицу ниже).

Более типичной является средняя второго предприятия, так как она по значению ближе к медиане второго предприятия

Задача 4

По данным задачи 3 (предприятие 1): 1) определите моду и медиану изучаемого признака; 2) постройте полигон; 3) оцените характер асимметрии.

Решение.

Мода — это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Медианой называется численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое делит этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы сначала находят ее место в ряду по формуле, где n — число членов ряда (). Если число единиц чётное, то место медианы в ряду определяется как .

1) Модальным является уровень выроботки равный 4 млн руб./чел., так как он обладает наибольшей частотой ().

Место медианы в ряду:

Медианным является уровень выроботки равный 4 млн руб./чел. Для определения медианы использовали накопленные частоты, которые получают последовательным суммированием частот (см таблицу ниже).

Накопленная частота для 3-ого уровня выработки равна его частоте, для 4-его уровня — это сумма частоты 3-его и накопленной частоте 4-ого уровня, то есть 30 + 60 = 90 и т. д.

2) Построение полигона.

Графически дискретный вариационный ряд можно изобразить, используя прямоугольную систему координат и строя точки с координатами (х1, f1,),(x2, f2), … (xn, fn). Если затем соединить последовательно полученные точки отрезками прямой, а из первой и последней точек опустить перпендикуляр на ось Х, получим фигуру, которая называется полигоном и графически представляет распределение единиц совокупности по признаку Х

Рисунок 1 — Полигон

3) Центральным значением на графике является уровень выработки равный 5 млн.р./чел. Так как частоты убывают слева и справа от центра распределения с разной скоростью, то такое распределения является асимметричным. В нашем случае Полигон распределяется с левосторонней асимметрией, так как максимальное значение функции находиться слева.

Задача 5

Имеются следующие данные о среднем размере товарных запасов в универмаге по месяцам года:

Произведите выравнивание ряда динамики по прямой. Сделайте вывод о характере общей тенденции изучаемого явления.

Решение

Методика выравнивания ряда динамики по прямой линии: уравнение прямой линии может быть выражено следующей формулой

.

Параметры а0 и а1 находятся по формулам:

и

Эта система может решаться и упрощенным способом: исходя из того, что в рядах динамики значения t являются показателями времени, то всегда им можно придать такое значение, чтобы их сумма была равна нулю, т. е. Применим это к нашей задаче, для этого заменим значения месяцев.

В этом случае система нормальных уравнений принимает вид

Откуда имеем:

= 20,7

=-0,11

Общую тенденцию развития явления (изменения среднего размера товарных запасов в универмаге) можно определить по параметру. Так как параметр, то уровни ряда динамики (размер товарных запасов) равномерно снижаются.

Задача 6

динамика индекс медиана полигон вариация

На предприятии имеются следующие данные об объемах производства и оптовых ценах на каждый вид продукции за два периода:

Исчислите:

1) индивидуальные индексы продукции по каждому виду;

2) агрегатные индексы физического объема продукции и отпускных цен по предприятиям в целом;

3) размер экономии от снижения цен.

Решение

Индекс — это относительная величина, характеризующая изменение сложных общественных явлений во времени, пространстве или по сравнению с планом.

Индивидуальным называется индекс, характеризующий изменение объема производства, объема продажи, уровня производительности труда и т. д. в отношении какого-нибудь одного продукта.

Единичкой отмечаются значения отчетного периода, нулем — базисного.

При решении задачи использовались следующие формулы

Индивидуальные индексы:

цен ,

физического объема продукции

где и — выпуск продукции данного вида соответственно в отчетном и базисном периоде; и — цена продукции соответственно в отчетном и базисном периоде.

Агрегатный индекс физического объема продукции:

Агрегатный индекс цен:

Экономия (перерасход) от изменения цен:

Э = .

1)

Продукция А:

Продукция Б:

Продукция В:

2)

Агрегатный индекс физического объема продукции

Агрегатный индекс цен:

3) Экономия от снижения цен: Э = = - = 38,5 млн руб.

Задача 7

Известно, что стоимость продукции отчетного периода равна 28 млрд руб. и что цены в отчетном периоде были на 8% выше, чем в базисном, а выпуск продукции снизился на 10%. Определите: а) общее абсолютное и относительное изменение стоимости продукции за счет воздействия изменения обоих факторов; б) абсолютное изменение стоимости продукции в результате изменения цен и физического объема продукции.

Решение.

Занесем исходные данные в таблицу

1) Составим уравнение и найдем товарооборот за базисный период

а) Общее относительное изменение стоимости продукции за счет воздействия изменения обоих факторов вычисляется по формуле

Т.е. товарооборот снизился на 2,8% в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Общее абсолютное изменение стоимости продукции за счет воздействия изменения обоих факторов.

Т.е. товарооборот снизился на 0,8 млрд. руб в отчетном периоде по сравнению с базисным.

б)Абсолютное изменение стоимости продукции в результате изменения цен найдем по формуле:

= 28-(28,8−0,1*28,8)=2,08 млрд руб.

За счет изменения цены товарооборот увеличился на 2,08 млрд руб.

Абсолютное изменение стоимости продукции в результате изменения объема выпуска найдем по формуле:

= 28-(28,8+0,08*28,8)=-3,1 млрд руб.

За счет изменения выпуска продукции товарооборот уменьшился на 3,1 млрд руб.

Задача 8

Изобразите графически данные задачи 5 и результаты выравнивания в виде столбиковых и линейных диаграмм. Какой из этих графиков наиболее наглядно отражает динамику изучаемого показателя?

Рисунок 2 — Линейная диаграмма

Рисунок 3 — Столбиковая диаграмма

Вывод: более наглядной является линейная диаграмма, так как на ней лучше виден процесс изменения товарных запасов по месяцам — объем запасов снижается — и разница между фактическим значением и значением выровненного ряда. На столбиковой диаграмме хорошо видно сравнения объёмов товарных запасок во времени (по месяцам).

Задача 9

Решение.

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части, организованной по принципу случайного отбора.

При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно набольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5−10%, реже до 15−20%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Возможны два способа отбора: повторный — когда зафиксированная в выборке единица возвращается в генеральную совокупность, и бесповоротный отбор — когда зафиксированная единица исключается из дальнейшего просмотра и может попасть в выборку только один раз.

В задаче необходимо найти предельную ошибку. Будем использовать следующие формулы для нахождения предельной ошибки при бесповторном отборе выборки:

— для средней ;

— для доли.

где t — заданный коэффициент доверия;

— число единиц в выборочной совокупности;

N - число единиц в генеральной совокупности;

— дисперсия.

w — доля признака в выборочной совокупности;

— дисперсия доли признака Предельная ошибка выборки позволяет определять предельные значения характеристик генеральной совокупности при заданной вероятности и их доверительные интервалы:

(для средней)

(для доли)

1) Расчет предельной ошибки выборки, среднего выборочного балла успеваемости.

а) Расчет среднего бала успеваемости по вузу

=3,75

б) расчет дисперсии

= 0,79

в) расчет предельной ошибки

t= 2, так как вероятность = 0,954

n = 20+50+90+40 = 200 чел.

N=n*100%/5%= 4000 чел.

= 0,12

2) Пределы, в которых находиться средний балл успеваемости в целом по вузу

3,75−0,123,753,75+0,12

3,633,753,87

3) Предельная абсолютная ошибка измерения сама по себе еще не дает достаточного представления о точности проведенного эксперимента. Поэтому для оценки целесообразности и точности вычислений предельной ошибки доли студентов, которые получили неудовлетворительную или отличную оценку найдем относительную ошибку.

Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к среднему арифметическому результату измерения. Относительную погрешность принято выражать в процентах:

Е = + (Дx/xср) 100%.

Чем меньше относительная ошибка, тем выше точность измерения.

Для студентов, получивших неудовл.:

w = 20/200=0,1 (10%)

Е = + (Д/wср)*100%=0,04/0,1*100%=41,4%

Для студентов, получивших отлично:

w = 40/200=0,2(20%)

Е = + (Д/wср)*100%=0,06/0,2*100%=27,6%

Величина относительной ошибки для обоих случаев (для доли студентов получивших неудовлетворительно и получивших отлично) слишком велика, поэтому производиться расчет предельной ошибки и пределов, в которых будет находиться искомое значение не целесообразно — результат будет не точный.

Задача 10

Решение.

Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями и процессами. Регрессия — это частный случай корреляции. В то время, как в корреляционном анализе оценивается сила стохастической связи, в регрессионном анализе исследуется ее форма, т. е. находится уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии).

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Для нахождения параметров используют способ наименьших квадратов:

.

Находятся частные производные данного выражения по и и приравниваются к нулю. После преобразований получим систему нормальных уравнений:

.

Решение этой системы в общем виде дает следующие значения параметров:

.

График корреляционной связи, построенный по групповым средним называется эмпирической линией связи (или эмпирической линией регрессии).Теоретической линией регрессии называется та линия, которая указывает основное направление (тенденцию) связи между рассматриваемыми признаками в «чистом виде», т. е. изменение средних величин результативного признака у в зависимости от изменения величины факторного признака х при условии полного взаимопогашения всех прочих причин.

1. Уравнение линейной регрессии.

Параметры и вычислили с помощью excel:

= 0,38

= 0,15

y = 0,38+0,15x

2. Построение эмпирической и теоретической кривых

Рисунок 4 — Теоретическая и эмпирическая кривые

1. Г. Т. Максимов. Статистика: Методическое пособие по выполнению контрольной работы для студентов экономических специальностей БГУИР заочной формы обучения. — Мн.: БГУИР, 2003. — 52 с.

2. Г. Т. Максимов. Статистика: Электронный учебно-методический комплекс для специальностей I -26 02 03 Маркетинг, I-27 01 01−11 Экономика и организация производства (радиоэлектроника и информационные услуги), I-40 01 02−02 Информационные системы и технологии (в экономике)/Сост. Г. Т. Максимов. — Мн.:

3. Г. Т. Максимов Конспект лекций по дисциплине «Статистика» для студентов экономических специальностей дистанционной формы обучения.

4. Манцерова Т. Ф. Статистика.: Курс лекций _ Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2003. — 196 с.