Статика, кинематика, динамика

СТАТИКА, КИНЕМАТИКА, ДИНАМИКА

Задача 1

Жёсткая пластина АВСD (рис.1) имеет в точке, А неподвижную шарнирную опору, а в точке B — прикреплена к невесомому стержню с шарнирами на концах. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано:

точка приложения силы F₂=20кН под углом ₂= 60⁰ в точке К;

точка приложения силы F₃=30кН под углом ₃= 30⁰ в точке Н;

Р=25кН, М=100кН· м; а=0,5 м Определить:

реакции опор в точках, А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение.

Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на пластину силы: F₂; F₃; Y_a; X_a; Т=Р; R_B, пару сил с моментом М Реакцию неподвижной опоры, А изображаем двумя ее составляющими, реакцию стержня направляем вдоль стержня.

Для получения плоской системы сил составляем три уравнения равновесия. При вычислении моментов сил F воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силы F на составляющие F_x и F_y.

Получим:

Ответ:, силы X_a и Y_a направленa противоположно указанному на рисунке направлению.

Задача 2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке Свободно опираются друг о друга. Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке, А жесткая заделка; в точке В — шарнир. На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М=60кН· м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=20 кН· м и еще две силы. Определить реакции связей в точках А, В, С, вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0.2м

F₂=20кН, б₂=30⁰; F₄=40кН, б₄=60⁰; нагруженный участок СL.

Решение Схематически изобразим все силы и моменты сил, действующие на конструкцию.

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня ВС. Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на стержень силы.

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

2. Теперь рассмотрим равновесие треугольника Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

Определим реакции связей в точках, А и В:

Ответ: ;; ;

Задача 3

Точка В движется в плоскости Oxy. Закон движения точки задан уравнениями:, (x, y — в сантиметрах, t — в секундах). Найти уравнение траектории точки; для момента времени t=1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точки траектории. Также для момента времени t=1с на траектории показать точку и изобразить все полученные векторы скоростей и ускорений.

Решение.

1. Для определения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t.

— окончательное уравнение траектории точки Скорость точки найдем по ее проекции на координатные оси:

При t=1c

Аналогично найдем ускорение точки:

При t=1c

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство: .

Получим:

;

При t=1c

Нормальное ускорение точки. Подставляя сюда найденные числовые значения а, а_t, получим, что при t=1c

Радиус кривизны траектории

Для заданного момента времени точка имеет координаты x₁, y₁. Покажем ее на траектории и изобразим все полученные векторы в масштабе.

Ответ:

;;; ;

Задача 4

Механизм состоит из ступенчатых колес 1−3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы колес равны соответственно: у колеса 1 — r₁=2см, R₁=4см, у колеса 2 — r₂=6см, R₂=8см, у колеса 3 — r₃=12см, R₃=16см. На ободах колес расположены точки А, В, С. Закон изменения угловой скорости ведущего колеса 2:. Найти в момент времени t=2c: v₅, щ₃, е₂, а_А, а₄.

Решение Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R) через V, а точек на внутренних ободах колес (радиуса r)-через v.

Угловое ускорение колеса 2 определим по формуле:

При t=2c:

Зная угловую скорость колеса 2, определим скорости :

При t=2c:

Определим угловую скорость колеса 1 по формуле:

Зная угловую скорость колеса 1, определим скорость точки А:

Т.к. v₅=V_A, то

При t=2c:

Ускорение тела 5 определим по формуле:

При t=2c:

Для определения угловой скорости 3-го колеса определим скорости точек ремня по формуле:

Угловая скорость 3-го колеса равна:

При t=2c:

Определим. Для точки, А, где численно При t=2c:

При t=2c:

Общее ускорение a:

Ускорение а₄ определим по формуле:

При t=2c:

Ответ:

;; ;;.

Задача 5

Плоский механизм из стержней 1−4 и ползуна В соединены друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами. Длины стержней l₁=0.4м, l₂=1.2м, l₃=1.4м, l₄=0.8м. Положение механизма определяется углами б=90⁰, в=120⁰, г=90⁰, ц=90⁰, и=60⁰, щ₁=3с^-1. Точки D и К в середине соответствующего стержня. Определить v_B, v_E, щ₂.

Решение Для определения скорости v_B определим скорость точки v_A:

Теперь воспользуемся теоремой о проекции скоростей двух точек на прямую, соединяющей эти точки (прямая АВ):

Для определения скорости v_Е определим скорость точки v_К:

Теперь воспользуемся теоремой о проекции скоростей двух точек на прямую, соединяющей эти точки (прямая КЕ):

Для определения угловой скорости стержня 2 находим мгновенный центр скоростей — точка С.

Из треугольника АВС определим ВС:

Угловая скорость стержня 2 определяется по формуле:

Ответ:

; ;

Задача 6

Круглая пластина радиусом R=60 см вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью щ=-4с^-1. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По ободу пластины движется точка М. Закон ее относительного движения выражается уравнением. При этом s=AM и отсчитывается по дуге окружности,. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁=1c

Решение Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины — переносным движением. Тогда абсолютная скорость V_абс:

1. Относительное движение происходит по закону:

Сначала установим, где будет находиться точке М на дуге окружности в момент времени t₁=1c. Полагая в уравнении t₁=1c, получим:

Тогда угол АСМ равен:

Знак минус свидетельствует о том, что точка М в момент времени t₁=1c находится справа от точки А.

Теперь находим числовое значение V_отн:

Для момента t₁=1c получим:

Знак минус показывает, что вектор V_отн направлен в сторону, противоположную положительному отсчету расстояния.

2. Переносное движение.

Угловая скорость равна щ=-4с^-1, угловое ускорение — е=0 — по условию.

Для определения V_пер находим сначала расстояние МР:

Тогда в момент времени t₁=1c:

Вектор V_пер с учетом направления щ перпендикулярен МР.

3. Определяем V_абс. Проведем координатные оси oxy и спроецируем почленно обе части равенства: на эти оси. Получим для момента времени t₁=1c:

4. Абсолютное ускорение точки определим по формуле:

где а_а — абсолютное ускорение см/с²; а_е — переносное ускорение, разложенное на нормальное и касательное

Модули этих ускорений:

Вектор направлен к точке РБ, а_r — относительное ускорение см/с²

Относительное ускорение точки М:

— вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, пройденного точкой М от точки А.

Кориолисово ускорение а_к определяется по формуле:

Спроектируем на оси координат oxy:

Ответ:

;

Задача 7

Вертикальный вал АК, вращающийся с постоянной угловой скоростью щ=10с^-1, закреплен подпятником в точке, А и цилиндрическим подшипником в точке К (АВ=ВD=DE=EK=b=0.4м). К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длиной l₁=0.4м с точечной массой m₁=6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l₂=0.6м, имеющий массу m₂=4 кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точка крепления стержня 1 в точке D, точка крепления стержня 2 в точке Е, а углы б=75⁰, в=30⁰.

Решение Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси Axy так, чтобы стержни лежали в плоскости xy и изобразим действующие на систему силы: силы тяжести, составляющие реакции подпятника и реакцию подшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения, направленные к оси вращения, численно, где — расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения и численно, где — масса элемента стержня 2. Т.к. все пропорциональны, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей, линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника, т. е. на расстоянии Н₁ от вершины Е, где равновесие сила ускорение траектория Равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, численно главный вектор сил инерции стержня, где — ускорение центра масс стержня; при этом, как и для любого элемента стержня 2,

В результате получим Аналогично для силы инерции груза найдем, что она тоже направлена от оси вращения, а численно

Т.к. все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости xy, то реакции подпятника, А и подшипника К тоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении.

По принципу Даламбера приложенные силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляем для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:

Знак указывает, что сила направлена в противоположную сторону, показанной на рисунке. Ответ:

Задача 8

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R₄=0.3 м, r₄=0.1 м, R₅=0.2 м, r₅=0.1м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

m₁=0

m₂=2 кг

m₃=4 кг

m₄=0

m₅=10 кг

M₄=0.3 Н· м

M₅=0

Под действием силы Н, зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно M₄=0.3 Н· м M₅=0

Определить значение v₂ в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно s₁=0.6м.

Решение

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 2,3,4,5, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные, момент сопротивления М₄, реакции и силы трения

Для определения v₂ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

2. Определяем. Т.к. в начальный момент времени система находилась в покое, то. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

Учитывая, что тело 2 движется поступательно, тело 3 — плоскопараллельно, а тела 4 и 5 — вращаются вокруг неподвижной оси, получим:

Все входящие скорости необходимо выразить через искомую v₂. Приняв во внимание, что точка К — мгновенный центр скоростей катка 3 и обозначив радиус катка через r₃, получим:

Кроме того, входящие в уравнения моменты инерции имеют значения Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда под действием силы F произойдет ее перемещение на расстояние s, для этого учтем что зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями:. В результате получим:

Работа остальных сил равна нулю, т.к. точка К, где приложены — мгновенный центр скоростей, точки О₅ и О₄ — неподвижны, а реакция N₂ — перпендикулярна перемещению груза 2. Тогда окончательно:

Ответ:

1. Прикладная механика: Учеб. пособие/ А. Т. Скойбеда, П75 А. А. Миклашевич, Е. Н. Левковский и др.; Под общ. ред. А. Т. Скойбеды. — Мн.: Выш.шк., 1997.-522с.