Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = (х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

(х) = ln x

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1. На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

_x = {x_i / x_i = x_{i -1} + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f (x_i) в узлах сетки x_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^* (a, b).

2. Положить a_i = y_j, i = 0, 1, 2, …, n.

3. Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n.

4. Определить значения коэффициентов d_i и b_i, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

d_i = (c_i — c_i - ₁) / h_i, i = 1, 2, …

5. Определить значение индекса 0 < k n из условия x^* [x_{k — 1}, x_k].

6. Вычислить по формуле

S (x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* — x_k) + (c_k / 2)(x^* — x_k)² + (d_k / 6)(x^* — x_k)³.

7. Процесс завершен: S (x^*) — результат интерполяции табличных данных в точку x^* (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Значение функции в точке находится по формуле:

S (x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* — x_k) + (c_k / 2)(x^* — x_k)² + (d_k / 6)(x^* — x_k)³

2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, 0 х 1

Решение. Метод Эйлера

— разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода. Метод Рунге-Кутта дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблиц:

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутта

3. Найти решение задачи безусловной минимизации (х) min, х R². Установить множество глобального решения

(х) =

Решение Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.

Метод сопряженных направлений

1 Начать с точки x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, …, x_n⁽⁰⁾)^т и n-линейно независимых направлений s⁽ⁱ⁾,

i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.

2 Начиная с точки x⁽⁰⁾ осуществить одномерный поиск для функции f (x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽¹⁾.

3 Начиная с точки z⁽¹⁾ осуществить последовательно n — 1 одномерный поиск для f (x) сначала в направлении s⁽¹⁾, а затем из полученной точки в направлении s⁽²⁾ и т. д. до одномерного поиска в направлении s^{(n — 1)} включительно. В результате этих действий будет определена точка x⁽²⁾.

4 Начиная с точки x⁽²⁾ осуществить одномерный поиск для f (x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽²⁾.

Согласно обобщенному свойству «параллельного подпространства» направление

s^{(n + 1)} = z⁽²⁾ — z⁽¹⁾

будет сопряженным по отношению к направлениям s⁽ⁿ⁾, s^{(n — 1)}, …, s⁽ⁿ - ^{k + 1)} (для k = 1 — только к направлению s⁽ⁿ⁾).

5 Начиная с точки z⁽²⁾ осуществить поиск в направлении s^{(n + 1)} и определить x^*.

6 Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.

7 Положить z⁽¹⁾: = x^* и s⁽ⁱ⁾: = s^{(i + 1)}, i = 1, 2, …, n. и перейти к выполнению п. 2.

8 Процесс вычислений завершен: x^* — точка минимума функции f (x).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Таблица результатов

Точка (2,-2) — точка минимума функции. В этой точке функция принимает значение .