Совместность и решение системы линейных уравнений

Задача

Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.

Решение:

Согласно правила Крамера система m линейных уравнений с n неизвестными совместна, если m=n и det|A|? 0.

Вычислим определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестной:

Следовательно система уравнений совместна. Найдем ее решение:

1. Методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу, содержащую также столбец свободных членов

и приведем ее к треугольному виду путем равносильных преобразований.

Из последней строки получаем. Подставим полученное значение во второе уравнение:. Откуда. Из первого уравнения. Следовательно, .

• Решение системы:
• 2. Средствами матричного исчисления.
• Исходная система уравнений в матричной форме имеет вид: AX=B. Ее решение можно записать в виде X=A^-1B, где A^-1 — обратная матрица к матрице коэффициентов системы.
• Для решения системы необходимо вычислить обратную матрицу. Вычислим определитель исходной матрицы:
• матрица уравнение гаус крамер
• Вычислим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:
• Составим матрицу из полученных дополнений:
• И запишем обратную матрицу:
• Найдем решение матричного уравнения:
• Решение системы:
• 3. По правилу Крамера.
• Вычислим главный определитель
• Для вычисления переменных найдем определители:
• Найдем переменные
• Решение системы: