Свойства многогранников

СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ

Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера

В школьных учебниках геометрии многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.

На рисунке 1 приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Доказательство. Пусть F — какая-нибудь грань многогранника M, и A, B — точки, принадлежащие грани F (рис. 2). Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т. е. F — выпуклый многоугольник.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Доказательство. Пусть M — выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 3). Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство. Предположим противное, т. е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 4). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В — число вершин, Р — ребер и Г — граней данного многогранника:

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В — Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В — Р + Г = 2,

где В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней данного многогранника.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник (образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится.

Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

(*) В — Р + Г ' = 1,

где В — общее число вершин, Р — общее число ребер и Г ' - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г '= Г — 1, где Г — число граней данного многогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 5, а). Действительно, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем В — (Р + 1) + (Г '+1) = В — Р + Г '.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входящие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*) (рис. 5, б). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в нашем случае AB и BC;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В — 1 вершин, Р — 2 ребер и Г ' - 1 многоугольника:

(В — 1) — (Р + 2) + (Г ' - 1) = В — Р + Г '.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г ' = 1 и, следовательно, B — Р + Г ' = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство В — Р + Г = 2.

Пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера, показан на рисунке 6. Этот многогранник имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней. Таким образом, для этого многогранника выполняется равенство В — Р + Г = 0.

Используя соотношение Эйлера, докажем, следующее свойство выпуклых многогранников.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Действительно, в каждой вершине многогранника сходится, по крайней мере, три ребра. Если количество вершин равно В и в каждой из них сходится три ребра, то общее число ребер будет больше или равно 3В: 2. Делить на два нужно потому, что при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды — один раз, как ребро выходящее из одной его вершины, а второй раз, как ребро, выходящее из второй его вершины. Таким образом, для любого многогранника имеет место неравенство 3 В 2Р.

Обозначим через Гn число граней с n ребрами. Тогда Г = Г3 + Г4 + Г5 + Г6 + …. Каждая треугольная грань имеет три ребра и число треугольных граней равно Г3. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно 3Г3. Аналогично, общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4Г4 и т. д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер, мы каждое ребро посчитаем дважды и, следовательно, будет иметь место равенство 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6 + …

Воспользуемся равенством 6В — 6Р + 6 Г = 12, получающимся умножением обеих частей сооотношения Эйлера на 6. По доказанному выше, имеет место неравенство 6 В 4Р и, следовательно, неравенство 6 Г — 2Р 12. С другой стороны, 6 Г = 6Г3 + 6Г4 + 6Г5 + 6Г6 + …, 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6 + …. Подставляя эти выражения в неравенство, получим неравенство 3Г3 + 2Г4 + Г5 + 0Г6 — Г7 — … 12. В левой части, начиная с Г7 стоят отрицательные числа. Поэтому для того, чтобы вся сумма была больше или равна 12 нужно, чтобы хотя бы одно из чисел Г3 или Г4 или Г5 было отлично от нуля, т. е. в многограннике существовала грань с соответствующим числом ребер.

Упражнения

1. На рисунке 1 укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

Ответ: Выпуклые — б), д); невыпуклые — а), в), г).

2. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Ответ: Рисунок 1, а).

3. Верно ли, что объединение выпуклых многогранников является выпуклым многогранником?

Ответ: Нет.

4. Может ли число вершин многогранника равняться числу его граней?

Ответ: Да, у тетраэдра.

5. Установите связь между числом плоских углов П многогранника и числом его ребер Р.

Ответ: П = 2Р.

6. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин В и граней Г, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Приведите примеры таких многогранников.

Ответ: а) В = 6, Г = 8, октаэдр; б) В = 7, Г = 10, пятиугольная бипирамида.

7. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если у него: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.

Ответ: а) В = 8, Г = 6, куб; б) В = 10, Г = 7, пятиугольная призма.

8. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если число ребер равно 12? Нарисуйте эти многогранники.

Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

9. Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходится три ребра.

10. Подумайте, где в рассуждениях, показывающих справедливость соотношения Эйлера, использовалась выпуклость многогранника.

11. Чему равно В — Р + Г для многогранника, изображенного на рисунке 6?

Ответ: 0.

Правильные многогранники Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны.

Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 7). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также правильным тетраэдром, или просто тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 8. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 9. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 10), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 11. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.

Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии науки, изучающей свойсва фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.

Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.

В определении правильного многогранника количество сторон и количество граней являются топологически устойчивыми, т. е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Не являются топологически правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.

Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n — угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трех. Обозначим, как и раньше, В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В — Р + Г = 2 и, следовательно, Откуда Р = .

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m — nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n — 2)(m — 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n — 2)(m — 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n — 2)(m — 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Самостоятельно проверьте остальные случаи.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники, перечисленные выше, и многогранники, им эквивалентные.

Упражнения

1. Сколько вершин, ребер и граней имеют: а) тетраэдр; б) октаэдр; в) куб; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 6, Р = 12, Г = 8; в) В = 8, Р = 12, Г = 6; г) В = 12, Р = 30, Г = 20; д) В = 20, Р = 30, Г = 12.

2. Чему равны плоские углы додекаэдра?

Ответ: 108

3. Представьте многогранник — бипирамиду, сложенную из двух правильных тетраэдров совмещением их оснований. Будет ли он правильным многогранником?

Ответ: Нет

4. Является ли пространственный крест (фигура, составленная из семи равных кубов, рисунок 12) правильным многогранником? Сколько квадратов ограничивает его поверхность? Сколько у него вершин В и ребер Р?

Ответ: Нет, 30 квадратов, В = 32, Р = 60.

5. Ребро октаэдра равно 1. Определите расстояние между его противоположными вершинами.

Ответ: .

6. Докажите, что в октаэдре противоположные ребра параллельны.

7. Сколько красок потребуется для раскраски граней правильных многогранников, так, чтобы соседние грани были окрашены в разные цвета?

Ответ: Тетраэдр — 4, куб — 3, октаэдр — 2, икосаэдр — 4, додекаэдр — 4.

8. В многограннике вырезали одну грань и оставшиеся грани растянули на плоскости. Нарисуйте соответствующие графы для правильных многогранников. Какому многограннику соответствует граф на рисунке 13?

Ответ: Октаэдр.

Полуправильные многогранники многогранник эйлер куб выпуклый В предыдущем параграфе мы рассмотрели правильные многогранники, т. е. такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными (равноугольно полуправильными).

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма на рисунке 14 имеет своими гранями два правильных пятиугольника — основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. На рисунке 15 мы видим пятиугольную антипризму, полученную из пятиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 36. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников которые впервые открыл и описал Архимед — это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 16). Из них четыре — правильные шестиугольники и четыре — правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 17) и усеченный икосаэдр (рис. 18). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 19) и усеченный додекаэдр (рис. 20).

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 21). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название — кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 22). У него двадцать граней — правильные треугольники и двенадцать граней — правильные пятиугольники, т. е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 23) и усеченный икосододекаэдр (рис. 24).

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся — многогранники более сложного типа.

На рисунке 25 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

На рисунке 26 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 27, 28 представлены соответственно так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит из двух или трех типов граней: квадраты, треугольники, пятиугольники и треугольники, квадраты, пятиугольники и треугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

Упражнения

1. Какие грани имеют усеченный тетраэдр и усеченный куб?

Ответ: 4 треугольника и 4 шестиугольника, 8 треугольников и 6 восьмиугольников.

2. Поверхность какого полуправильного многогранника напоминает поверхность футбольного мяча?

Ответ: Усеченный икосаэдр.

3. Докажите, что правильная n-угольная призма (n=3, 4, 5…) с квадратными боковыми гранями является полуправильным многогранником.

4. Какую часть ребер тетраэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в результате усеченный тетраэдр был полуправильным многогранником?

Ответ: 1/3.

5. Какую часть ребер куба, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в результате усеченный куб был полуправильным многогранником?

Ответ: .

6. Какую часть ребер октаэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в результате усеченный октаэдр был полуправильным многогранником?

Ответ: 1/3.

7. Какую часть ребер правильного додекаэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в результате усеченный додекаэдр был полуправильным многогранником?

Ответ: .

8. Подсчитайте число вершин В, ребер Р и граней Г: а) усеченного октаэдра; б) усеченного додекаэдра.

Ответ: а) В = 24, Р = 36, Г = 14; б) В = 60, Р = 90, Г = 32.

9. На рисунке 29 изображены пять многогранников. Многогранники, расположенные в углах рисунка, получены из куба одной и той же операцией. Что это за операция? Как называются все изображенные многогранники?

Ответ: Операция усечения; а) усеченный куб; б) кубооктаэдр; в) октаэдр; г) усеченный октаэдр.

10. Кубооктаэдр получен усечением куба. Найдите его ребро, если ребро куба равно 1.

Ответ: .

11. Икосододекаэдр получен усечением додекаэдра. Найдите его ребро, если ребро додекаэдра равно 1.

Ответ: .

12. Приведите пример многогранника, не являющегося полуправильным, гранями которого являются правильные многоугольники.

Ответ: Например, пространственный крест.

Звездчатые многогранники Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером (1571−1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777−1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789−1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 30, а), и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 30, б).

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр (рис. 31). Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 32).

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 33).

Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники (рис 34). С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Упражнения

1. На рисунке 35 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им «Stella octangula» — звезда восьмиугольная. Является ли этот многогранник правильным звездчатым?

Ответ: Нет.

2. Как можно получить звездчатый октаэдр из куба?

Ответ: Вершины звездчатого октаэдра являются вершинами куба.

3. Звездчатый октаэдр является объединением двух правильных тетраэдров. Подумайте, какой фигурой является пересечение указанных тетраэдров?

Ответ: Октаэдром.

4. Звездчатый октаэдр может быть получен добавлением правильных треугольных пирамид к граням октаэдра. Какими при этом должны быть боковые ребра пирамид, если ребра октаэдра равны 1.

Ответ: 1.

5. Сколько вершин, ребер и граней имеет малый звездчатый додекаэдр?

Ответ: 12 вершин выпуклых пятигранных углов; 30 ребер; 12 звездчатых пятиугольных граней.

6. Малый звездчатый додекаэдр может быть получен добавлением правильных пятиугольных пирамид к граням додекаэдра. Какими при этом должны быть боковые ребра пирамид, если ребра додекаэдра равны 1?

Ответ: .

7. Большой додекаэдр может быть получен удалением из икосаэдра правильных треугольных пирамид, основаниями которых являются грани икосаэдра, а вершины лежат внутри икосаэдра. Какими при этом должны быть боковые ребра пирамид, если ребра икосаэдра равны 1?

Ответ: .