Теория вероятности и математическая статистика

Задание № 1

Задана непрерывная случайная величина Х своей плотностью распределения f (x). Требуется:

определить коэффициент А;

найти функцию распределения F (x);

схематично построить графики функций f (x) и F (x);

вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (а, b).

a = b = .

Решение. 1) Найдем неизвестное значение параметра, используя основное свойство плотности распределения .

В нашем случае, Поэтому .

Следовательно, плотность распределения имеет вид

2) Найдем функцию распределения по формуле

Пусть, тогда .

Пусть, тогда

Пусть, тогда Следовательно, функция распределения имеет вид Найдем математическое ожидание случайной величины по формуле Тогда

Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала :

Задание №2

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [2.8]. Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания в интервал [4.6]. дисперсия корреляция пирсон вероятность Решение. Найдем математическое ожидание случайной величины

.

Найдем дисперсию случайной величины

.

Найдем вероятность попадания в интервал (4,6)

.

Задание №3

Построить гистограмму, выдвинуть гипотезу о законе распределения исследуемой случайной величины и с помощью критерия согласия Пирсона при заданном уровне значимости проверить данную гипотезу.

Решение. Построим гистограмму частот (числа деталей) Построим соответствующий вариационный ряд, взяв в качестве вариант середины соответствующих интервалов

Найдем выборочное среднее и выборочную дисперсию. Для этого составим расчетную таблицу

,

Приняв в качестве нулевой гипотезу: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверим ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости .

Так как предполагается, что случайная величина имеет нормальное распределение, то для расчета попадания случайной величины в интервал используем функцию Лапласа в соответствии со свойствами нормального распределения:

.

Для определения выборочной статистики

составим расчетную таблицу

Таким образом, получено

2,998.

Так как число интервалов и нормальный закон распределения определяется параметрами то находим число степеней свободы:

Соответствующее критическое значение статистики:

.

(2,998)< ,

следовательно, гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения с параметрами и согласуется с опытными данными, т. е. гипотеза принимается на заданном уровне значимости .

Задание №4

При обследовании детей четырехлетнего возраста получено распределение их по росту (см) и весу (кг):

Требуется:

а) Найти условные средние и построить эмпирическую линию регрессии на .

б) Вычислить выборочный коэффициент корреляции, проверить его значимость и сделать вывод о связи случайных величин и .

в) Определить линейную модель регрессии и построить ее график.

Решение. Составим корреляционную таблицу, где в качестве вариант возьмем середины соответствующих интервалов

Для каждого значения вычислим групповые средние

,

,

.

Изобразим эмпирическую линию регрессии — ломаную, вершинами которой являются точки

Вычислим

Вычислим коэффициент корреляции по формуле

.

Проверим значимость полученного уравнения корреляции. Для этого рассчитаем статистику

.

Далее .

Так как расчетное значение статистики больше соответствующего табличного значении, то делаем вывод о том, что полученный коэффициент корреляции значим на уровне значимости .

Уравнение регрессии будем искать в виде

.

В нашем случае

.