Теория вероятности и математическая статистика

Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.

Таблица 1

1) Находим, что Тогда длина интервала группирования

— число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При ,

2) Находим границы величины

3) Находим значение представителей

— середина i-того интервала.

4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2)

а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной, основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь i-того прямоугольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в i-тый интервал.

Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала i, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала, числами значений в i-том интервале, накопленной частоты, относительной частоты, накопленной относительной частоты. Число строк таблицы равно числу интервалов r.

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:

Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки, причём при, и при

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения

5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений и. Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам

6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:

7) Определяем коэффициент вариаций

8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам При заданной доверительной вероятности по таблицам распределения Стьюдента, поэтому имеем

9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Х равно

10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н₀ о подчинении случайной величины Х нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции и составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины, определяем функцию Лапласа, значения функции распределения на концах отрезков и вероятность попадания в i-тый интервал по формуле

11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F (x), значения которой найдены на концах интервалов.

Рис. 3. Эмпирическая, теоретическая функция распределения.

12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность попадания опытных данных в i-тый интервал от до на основе полученных значений функции на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.

Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности .

13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова:

Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями (см. рис. 3) наблюдается в точке, близкой к представителю. Тогда

Вычисляем величину где r — объём выборки из представителей интервалов

следовательно. Так как, поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.

б) Для вычисления таблицу 3 дополняем промежуточными результатами,. Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда. Получаем, что Для нормального закона распределения. Тогда число степеней свободы. При имеем. Поэтому гипотеза по критерию Пирсона принимается.

14) Составляем точечную диаграмму в декартовой (рис. 5) системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение, а по оси ординат —. Пары значений представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми — длину интервала по оси ординат.

15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции

16) Находим Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:

На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.

Таблица 2

Таблица 3

Министерство образования и науки Российской Федерации.

Федеральное агентство по образованию.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

Самарский государственный технический университет.

Кафедра высшей математике

Типовой расчёт № 2

студент II — ХТ — 2 Самаров А.А.

руководитель: Корнфельд С.Г.

ассистент: Стрелкова Н.Н.

Самара

2004 г.

Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.

Таблица 1

1) Находим, что

Тогда длина интервала группирования

— число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При ,

2) Находим границы величины

3) Находим значение представителей

— середина j-того интервала.

4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2)

а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной, основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь j-того прямоугольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в j-тый интервал.

Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала j, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала, числами значений в j-том интервале, накопленной частоты, относительной частоты, накопленной относительной частоты. Число строк таблицы равно числу интервалов r.

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:

Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки, причём при, и при

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения

5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений и. Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам

6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:

7) Определяем коэффициент вариаций

8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам

При заданной доверительной вероятности по таблицам распределения Стьюдента, поэтому имеем

9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Y равно

10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н₀ о подчинении случайной величины нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции и составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины, определяем функцию Лапласа, значения функции распределения на концах отрезков и вероятность попадания в i-тый интервал по формуле

11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F (y), значения которой найдены на концах интервалов.

Рис. 3. Эмпирическая, теоретическая функция распределения.

12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность попадания опытных данных в j-тый интервал от до на основе полученных значений функции на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.

Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности .

13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова

Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями (см. рис. 2) наблюдается в точке, близкой к представителю. Тогда

Вычисляем величину

где r — объём выборки из представителей интервалов

следовательно. Так как, поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.

б) Для вычисления таблицу 3 дополняем промежуточными результатами,. Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда. Получаем, что

Для нормального закона распределения. Тогда число степеней свободы. При имеем. Поэтому гипотеза по критерию Пирсона принимается.

14) Составляем точечную диаграмму в декартовой системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение, а по оси ординат —. Пары значений представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми — длину интервала по оси ординат.

15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции

16) Находим

Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:

На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.

Таблица 2

Таблица 3