Аппроксимативные свойства сумм Фурье и их средних типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках

Актуальность темы

Работа посвящена приближению непрерывных функций суммами Фурье и их средними типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках. Теория ортогональных многочленов в последнее время получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. В частности, в теоретических и прикладных исследованиях применяются разложения в ряды по ортогональным многочленам. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(?) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {<�рп = <�рп (Ь)} требуется оценить отклонение частичной суммы ?" «(/) = 5'п (/, ?) ряда Фурье функции / по системе {<�рп} от самой функции /. Эта последняя задача, в свою очередь, приводит к вопросу об оценке функции Лебега для соответствующей системы ор-тонормированных многочленов. На практике в качестве базисов часто применяются классические многочлены, ортогональные на дискретных сеткахименно идея применения разложений по многочленам, ортогональным на сетках для обработки дискретной информации привела П. Л. Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов. Однако до недавнего времени вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами сумм Фурье по многочленам Чебышева, ортогональным на сетках и, особенно, их средних типа Валле-Пуссена оставались малоисследованными. Это, в первую очередь, было связано с отсутствием исследований по изучению асимптотических свойств самих многочленов Чебышева, ортогональных на дискретных сетках. Целенаправленное изучение асимптотических свойств указанных многочленов было начато в работах Шарапудинова И. И., в которых в отдельных случаях получены окончательные результаты и, как следствие, в этих частных случаях решена задача о поведении функции Лебега соответствующих сумм Фурье-Чебышева и их средних типа Валле-Пуссена.

Дель работы.

1. Оценить функцию Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева. 2. Исследовать вопрос об ограниченности норм операторов БаллеПуссена для сумм Фурье-Чебышева.

Научная новизна. Исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по многочленам Чебышева, образующим ортонормированную систему на конечной равномерной сетке. Получены оценки функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулуч-шаемый характер (по порядку). С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева равномерно ограничены в пространстве С[-1,1].

Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: -на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ) — -на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.) — -на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.) — -на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ.

Краткое содержание диссертации. Нам понадобятся некоторые определения и факты, связанные с многочленами Чебышева Л/-) образующими ортогональную систему на сетке Пдг = {0,1,.,./V — 1} с весом.

2003 г.) х (аг) = ¿-¿-(ж, а,/?, ТУ) = р Г (-/У — а: + а) Г (ж + /? + !) Г (]У — х) Г (я + 1) то есть.

1) хбПлг где.

3 (АГ + п + а + Р)[п] Г (п + а + 1) Г (п + (3 + п’м (ТУ — 1) Н п! Г (п + а + (3 + 1)(2п + а + /? + 1) * и.

Эти многочлены представляют собой дискретный аналог классических многочленов Якоби Р^{х) в том смысле, что формула Родрига для этих многочленов ТУ) определяется следующим образом: пусть N-натуральное число, а, (3-произвольные комплексные числа,.

П <�р (х-к) = {*{ к=о ^ А" р (х)<�р (х — 1). .. ip (x — 71 + 1), при п ^ 1 при п = О, r (N — X + а) Г (а: + 0 + 1) Пх> ~ T (N — Ж) Г (® + 1) р (х) = х{х — N — а), Ап-конечная разность n-ого порядка, тогда формула ¿-^уД" |e («) nV («-. (з) определяет при каждом п многочлен степени не выше п. Пользуясь обозначениями.

2[о] = lf z[n] = ф — 1). n + i) f (4) формулу (3) можно представить в следующем виде:

N) = -^уД" [q (x){xNa)WxW}, (5) где кп = l/(n!(JVl)N).

Обозначим через (0 ^ п ^ N — 1) многочлены, образующие ортонормированную систему на Плг = {0,1,., N — 1} с весом fi (x), то есть.

Введем в рассмотрение суммы Фурье.

М = (*,/) =? hr^ (*. N) (6) k=0 порядка n функции / = f (x) по системе {т^'13{x,, где.

7) jen коэффициенты Фурье для /. Из (б) и (7) получим Е юш? tf'ovN)t^(X, N) = jen к—о Еш) Е{"г1Я" 1з?'ож'(«. '0. (8) jefi fc=o.

При помощи линейной замены переменной получим систему многочленов.

•?(*) ^(^(l + z)-^), ортонормированных на системе точек Xj = — 1+^-j, j = 0,1,., N—1, то есть.

N—1 Р{Хз)Тп1Ы (ХЗ)ТШ%(ХЗ) =.

Пусть /? C[iti], где С[хд]-пространство непрерывных функций /(а-), заданных на [—1,1], для которых норма определена следующим образом ||/|j = max |/(ar)|, Pn{f) = Р"(/, ж)-алгеброический l^x^l полином наилучшего приближения к функции / € C[i, i], En (f) = |[/ — Pn (f, x)||, тогда, если п ^ N — 1, то имеем:

1/М — *)| < En (f) [1+ 0*)] • (9) где.

О*) = !>(*-).

3=0.

— функция Лебега для дискретных сумм Фурье-Чебышева х) по системе {т^Шк^о.

Отсюда возникает задача об оценке функции Лебега ?>n', N (x) ПРИ х Е [—1,1]. Поведение функции Лебега для различных ортогональных систем исследовалась в работах многих авторов. В частности, задача об оценке функции Лебега L^(x) сумм ряда Фурье по ортогональным многочленам Якоби являлась предметом исследования целого ряда авторов.

Известно [14], что функция L^(x) на интервале (-1,1) имеет порядок роста 0(1пп) при п -> оо, то есть (х) х. Inn (—1 < х ^ 1), причем равномерно относительно — 1 + e^x^l — е для произвольного б > 0. В работе Г. И. Натансона и С. А. Агаханова [3] получен следующий результат: при a,? > — равномерно относительно ж 6 [—1,1] справедливо соотношение.

L^(x) ~ 1п[п (1 — хУ^(1 + х)'&trade- + 1] + + |PnYi WO,.

Г 0, а = где е (а) = <. Поведение функции Лебега для дискрет.

Н" ных сумм Фурье-Чебышева S^'jy (/, х) по системе в случае, когда, а =? = 0, 0 ^ п ^ afN, а > 0, JV — 2,3,. было исследовано в работе [29] .

В первой главе данной работы мы исследовали поведение функции? ti', n (x) при a,? > —, п = 0(N1/3). Нам удалось получить в определенном смысле неулучшаемую по порядку оценку сверху для функции п к=0.

10) х) при и, N —У оо, п = OiN1'*).

Во второй главе в качестве аппарата приближения непрерывных функций рассматриваются средние типа Валле-Пуссена vZ-lN (f, x) = -i-j [s°'?(/,*) + • • • + (/,*)] (li) для сумм Фурье S%'?(f, x) по многочленам r??(x). Равенство (11) можно переписать в следующем виде.

N—1. n+m.

V&U,*) = Е ftoM’A^+i Ё (12) j=О к=п где ^ oakfN (x, y) = ?т^(х)тД?(г/). /=0.

Так как из (5) и (7) следует, что V"?(Pn (f), x) = Pn (f, x)1 то нетрудно показать.

М — vz?(f, x) ^ ЕМ) + K?(Pn (f) -/,*)| • (13).

С другой’стороны, из (12) находим.

1 N—1 п+ттг.

— /,*)| < En (f)-~7 Е p (*i) Е • тп -± 1 '. I j=0 к=п.

Сопоставляя (12), (13) и (14) получим.

W — v^i (f, x) I < ?-«(/) [1 + 1Ю*)11] • (14).

Таким образом задача об оценке отклонения средних типа Валле-Пуссена для сумм Фурье Sfr’x (/, ж) функции / по системе {r? О от самой функции / G C[-i, i] > в случае когда х G [—1,1]. сводится к задаче об оценке величины. Эта задача для случая, а =? — О рассматривалась в работе [29].

Во второй главе нами показано, что при определенных условиях на параметры, задающие весовую функцию, средние Валле-Пуссена для сумм Фурье равномерно ограничены на [—1,1] как семейство линейных операторов действующих в пространстве С[1д]. Для общих линейных методов суммирования аналогичные вопросы были исследованы в работе [12], из которой следует ограниченность средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби при — | ^ (3 ^ а < Ограниченность норм операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби при — 1 < а,(3 ^ 0 исследована в работе [30].

Результаты работы. В первой главе получены оценки сверху функции Лебега ?>п'х (х) указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулучшаемый характер. В § 1.3 этой главы получены некоторые вспомогательные результаты.

Для весовой функции р (х) = ?1 (^§-^(1 + хдоказана.

Лемма 1.3.1. Пусть а, ?3 > —1 —произвольные действительные числа и — 1 ^ х ^ 1. Тогда справедливо неравенство.

1 (2 а / 9 р (х)^с (а, 0)—— 1-®+—— 1 + х +.

N-1 N — 1 N — 1.

Также доказано неравенство.

ТУ — 2)^2″ °-^ Г (п + 2) Г (п + а+ (3 + 2) с (а,/?, а) п,.

ТУ + п + а + (3)Н (2п + а + /3 + 2) Г (п + а + 1) Г (п + (3 + 1) где а,/? > — 1 — действительные числа, п ^ а > 0.

Лемма 1.3.3. [1] Пусть неотрицательная функция Р (х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], Н = (Ь — а)/га. Тогда:

1) еслиР (я) монотонно возрастает на [а, 6], то.

1 Г ^ -у Т (х)с1х + ^(6);

А:=0.

2) если F (x) монотонно убывает на [а, Ь], то™ 6.

1 Г.

Y^F{a + kh) ^ - / F{x)dx + F (a). fc=o h{.

В § 1.4 получена оценка функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулучшаемый по порядку характер. Основным результатом первой главы является следующая.

Теорема 1.4.1. Пусть a,(3 > — i a > 0, п ^ aN2, х = cosy?, е (а) = 0, если a = ½, е (а) = ½, если, а ф ½, с = с (а,/?, а). Тогда справедлива следующая оценка функции Лебега сумм.

ФурьеЧебышева. сЦИ^Ц ЦИ^И pn (V, e) +1) +1]+.

СП2 где.

J?ll2, a+ X 1 ^ ' 2.

1 а+§n УЛ*) = max № +1) M VT^i + ГТТ x.

1 /"+i jfe + i.

В случае, когда n ^ a TV 5 из теоремы выводится.

Следствие 1.4.1. Пусть а,(3 > — — 1 < ® < 1, 0 <�п< а//з. Тогда найдется постоянная с = с (а, /3, а), для которой $(*) < с (в, Д'о) [(?п (п^И + 1) + 1)+п4 (|3^(«)| + |75?11А,(«)|)] .

Во второй главе рассматриваются средние типа Валле-Пуссена для сумм Фурье х) по многочленам Чебышева, образующим.

Г, 2з ортонормированную систему на равномерной сетке < х^ = — 1 + —->

N — 1) j0.

В начале главы устанавливается, вспомогательный результат, представляющий собой аналог формулы Кристоффеля-Дарбу для сумм вида.

V" (]У-1)М к + 1 та+1,0, ута,(3+1(у.

2^(М + к + а + 0+1)Я 2 Хк>" {У)1к>" а именно, доказана.

Лемма 2.2.1. Пусть а, Р > — 1, тогда у-х) V44(АГ — 1) МН1 ЛОГ0'^1!^ АО.

К —и {и + 1){У + а + р + 2)(АГ — I/ - 1)(дг — 1) М, а + ^ + + + а +.

И — 1) Ю 1)(2Л? + а + /? + 2) + а + [ (2А + а +? + 1)(2Л + а + Р + 3) а + Р){у-х).

2 к (к + а + р + 2){2к + а + Р + 2) (2* + а + Р + 1)(2* + а + Р + 3) х.

N — 1) W (2k + a + {3 + l){N + k + a + Z?)^" 1!

К —-U x.

Основным результатом этой главы является доказанная в § 2.3.

Теорема 2.3.1. Пусть — 1 < а, ?3 ^ 0, a, b, d —положительные числа, а ^ 6), 1 ^ n ^ dN$. Тогда средние Валле-Пуссена = rn ^ равномерно относительно, а ^ — ^ о ограничены как линейные операп торы, действующие в пространстве С[— 1,1].

Выводятся следствия.

Следствие 2.3.1. Пусть — 1 < ^ 0, а, 6, d — положительные числа, 1 ^ n ^ d-^N, En (f) — наилучшее приближение функции f <�Е С[-1,1], тогда.

Следствие 2.3.2. Пусть 1 ^ n ^ d/~N, с = c (d), где с? > 0, тогда.

1 ^ i/(n, AT) ^ с.

Здесь v{n, N) = sup JjP*).^ > где верхняя грань берется по всем ал.

Qnjiо llVnllJV гебраическим многочленам Qn степени n ^ N — I, не равным нулю тождественно.

Следствие 2.3.3. Пусть / 6 С[—1,1], Еп (/) —наименьшее уклонение функции / от алгебраических многочленов степени п, Рп — произвольный многочлен степени п. Тогда, если п^, то найдется такая постоянная с (с1), что — Рп|| < (1 + с) Еп (/) + с||/ - Рп||&bdquo-, где 11/11 = тах /(х), а ||/||лг = тах хз + ^ = {0,1,.,^-!}.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестник Ленинградского ун-та. В. 1, 1968, с. 11−13.

3. Ахмед Н., Рао К. Г. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1987.

4. Вагабов И. А. О приближении функций средними Валле-Пуссена // Межвузовский научно-тематический сборник. Махачкала. Вып. 3, 1997, с. 73−77.

5. Бадков В. М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. Мат. Ж. Т. 9 Вып. 6, 1968, с. 1263−1283.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ТТ. 1, 2. М.: Наука, 1973, 1974.

7. Бернштейн С. Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке Полн. собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1954.

8. Гелъфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

9. Gronwall. Uber die Laplacisehe Reine. Math. Ann., 74, 1913. C. 213 270.

10. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. M.: Наука, 1984.

11. Касумов Н. М. Дискретный аналог полиномов Лежандра // Известия АН Аз. ССР. Сер. физ.- техн. и матем. наук, Вып. 2, 1980, с. 9−25.

12. Кальней С. Г. Об аналоге теоремы С. М. Никольского для рядов Яко-би // Укр. матем. Ж. Т. 41, № 4, 1991, с. 503−513.

13. Натансон Г. И. Двусторонняя оценка функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа с узлами Якоби // Изв. вузов, математика. № 11, 19 672, с. 67−74.

14. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз, 1962. 500 с.

15. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

16. Rau H. Uber die Lebesguesehen Konstanten der Reihentwicklungen nach jacobisehen Polynomen. Journ. fur Math., 161, 1929. 237−254.

17. Чебышев П. Л. Об интерполировании (1864). Полн. собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР. 1947. С. 357−374.

18. Чебышев П. Л. Об интерполировании величин равноотстоящих (1875). Полн. собр. соч. Т.З. М.: Изд. АН СССР. 1948. С. 66−87.

19. Шарапудинов И. И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного // М.: Деп. ВИНТИ. Вып. 3137−80. 1980, с. 1−44.

20. Шарапудинов И. И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала. Изд. Даг.гос. ун-та 1982, с. 132−144.

21. Шарапудинов И. И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1983, с. 85−88.

22. Шарапудинов И. И. Весовые оценки многочленов Хана // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы (24 января-5 февраля 1982.

23. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1985, с. 7880.

24. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Матем. сборник. Т. 180. Вып. 9, 1989, с. 1259−1277.

25. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье // Дискретная математика. Т. 2. Вып. 2, 1990, с. 33−44.

26. Шарапудинов И. И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной // Матем. заметки. Т. 48. Вып. 6, 1990, с. 150−152.

27. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем Докторская диссертация. М.: МИАН им. В. А. Стеклова. 1991.

28. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана // Матем.сборник. Т.182.Вып.3.с.408 420. 1991.

29. Шарапудинов И. И. Многочлены ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала.1997.

30. Шарапудинов И. И., Вагабов И. А. О сходимости средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби // Матем. заметки. Т. 60. № 4, 1996, с. 569−586.

31. Шарапудинов И. И. О топологии пространства 1.) // Матем. заметки. Т. 26. № 4, 1979, с. 613−632.

32. Шихшинатова М. М. Оценка функции Лебега для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Вестник Дагестанского научного центра РАН. № 12, 2002, с. 17−24.

33. Шихшинатова М. М. Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева // Тез. докл. 11-ой Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов: изд-во СГУ, 2002, с. 230−231.

34. Шихшинатова М. М. Об ограниченности средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева // Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов: изд-во СГУ, 2004, с. 207−208.