Статистические методы обработки выборочных данных наблюдений или экспериментов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт транспортной техники и организации производства

(ИТТОП)

Кафедра: «Локомотивы и локомотивное хозяйство»

Курсовой проект

на тему:

«Статистические методы обработки выборочных данных наблюдений или экспериментов»

Выполнил: студент Краснов М.А.

группы ТЛТ-451

Принял: Пузанков А.Д.

Москва 2009

1. ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

2. ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ АНАЛИЗИРУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ И РАСЧЕТ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИК

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И РАСЧЕТ ЕГО ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА МОМЕНТОВ

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Первичный анализ экспериментальных данных

Запишем полученные значения в вариационный ряд в возрастающем порядке:

Таблица 1.

x_max = 943,4; x_min = 16,4

Результат последних двух измерений вызывает сомнения. Поэтому выполняем проверку:

Величину выборочного среднего находим из соотношения:

(1)

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется среднеквадратическим отклонением и рассчитывается по формуле:

(2)

Упрощённая проверка сомнительного результата на брак выполняется из условия:

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являются последнее одно значение, отбрасываем их и пересчитываем и :

Проверяем по упрощённой проверки:

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являются последние два значения, отбрасываем их и пересчитываем и :

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являются последнее одно значение, отбрасываем их и пересчитываем и :

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения не является браком.

Так же выполним подобную проверку с помощью критерия Ирвина:

Таким образом, по расчётам обеих проверок результат последнего сомнительного измерения не является браком.

Из этого следует, что нужно произвести повторный расчёт, но уже без данного измерения:

2. Построение эмпирической плотности распределения случайной анализируемой величины и расчёт её характеристик

Определяем размах имеющихся данных, т. е. разности между наибольшим и наименьшим выборочным значениями (R = Xmax — Xmin):

Выбор числа интервалов группировки k при числе наблюдений n<100 — ориентировочное значение интервалов можно рассчитать с использованием формулы Хайнхольда и Гаеде:

Тогда ширина интервала:

Результат подсчёта частот и характеристик эмпирического распределения Таблица 2.

Принимаем «ложный нуль» x₀=83,77 и обозначаем нулем тот интервал, которому соответствует максимальная частота (f=26). Далее, для интервалов, следующих к наименьшему наблюдаемому значению вписываем -1, -2 … и 1, 2, … для интервалов, следующих к наибольшему значению наблюдаемой величины.

Выборочное среднее х и среднеквадратическое отклонение Sx рассчитываем, используя следующие выражения:

(3)

Для построения гистограммы, приведённой на рис. 1, по оси абсцисс в выбранном масштабе отмечаем границы интервалов. Левая ось размечается масштабом частот, а на правую, в случае необходимости, можно нанести шкалу относительных частот. На чистом поле гистограммы указываются значения: числа данных; среднего арифметического; среднеквадратического отклонения.

Рис.1

Помимо гистограммы эмпирические данные измерений случайной величины могут быть представлены в виде кумулятивной кривой функции распределения вероятностей. Для этого данные, представленные в табл.1., должны быть дополнены частостями (см. табл.2.).

Частость находим из соотношения:

Таблица частот f и частостей щ.

Таблица 3.

Рис. 2

3. Определение вида закона распределения случайной величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов

Экспоненциальный (нормальный) закон распределения Параметр закона распределения:

Таблица 4

Рис. 4

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы х = 7 и = 14,067.

Так как ч² > ч_0,05², то гипотеза о принадлежности эмпирической выборки значений, экспоненциальному закону распределения отвергается Распределение Вейбулла — Гнеденко Величина выборочного коэффициента вариации:

По данным приложения таблица П1,2:

Таблица 5

Рис. 5

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы х = 6 и = 12,592.

Так как ч² > ч_0,05², то эмпирическая выборка значений пренадлежит закону распределения Вейбулла — Гнеденко Нормальный (Гауссовский) закон распределения Таблица 6

Рис. 6

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы х = 6 и = 12.592.

Так как ч² > ч_0,05², то гипотеза о принадлежности эмпирической выборки значений, нормальному (Гауссовскому) закону распределения отвергается Логарифмически — нормальный закон распределения Значения средне-выборочное и средне-квадратичное:

Таблица 7

Рис. 7

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы х = 6 и = 12.592.

Так как ч² < ч_0,05², то эмпирическая выборка значений принадлежит логарифмически-нормальному закону распределения

4. Определение вида теоретического закона распределения случайной величины графическими методами

Расчёт координат эмпирических точек заданной выборки

Таблица 8.

Используя полученные в табл.4. данные, строим вероятностную сетку и выполняем проверку согласованности.

Выбор масштаба построения вероятностной сетки:

ширина графика (ось абсцисс) А = 140 мм ;

высота графика (ось ординат) Н = 180 мм .

Нормальный закон распределения Масштаб значений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:

Таблица 9

Лгарифмически — нормальный закон распределения Масштаб значений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:

Таблица 10

Экспоненциальный (нормальный) закон распределения Таблица 11

Распределение Вейбулла — Гнеденко Таблица 12