Моделирование транспортной задачи

Так как все частные производные представляют собой либо постоянные матрицы, либо матрицы, зависящие только от времени, то полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Aj (t) = aj = const, Bj (t) = bj = const), либо система с переменными коэффициентами, в зависимости от номинальной траектории. В случае постоянных коэффициентов система называется стационарной. Как правило, входные и выходные величины объекта — скалярные функции, при этом уравнение принимает вид: a0y (n) + a1y (n-1) +…+ any = b0u (m) + b1y (m-1) +…+ bmu. где.

aj, bj — постоянные коэффициенты (параметры) модели, a0 > 0, b0 > 0, n — порядок модели, 0 ≤ m < n. Решение уравнений таких стационарных объектов относительно y (t) является главным объектом исследований в классической теории автоматического управления. Система, для которой u (t)== 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением видаa0y (n) + a1y (n-1) +…+ any = 0. Передаточная функция системы. Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами — преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида, получаем: L[a0y (n) + a1y (n-1) +…+ any] = L[b0u (m) + b1y (m-1) +…+ bmu]. (.

a0p (n) + a1p (n-1) +…+ an) Y (p) = (b0p (m) + b1p (m-1) +…+ bm) U (p).Y (p) = L[y (t)] =exp (-pt) y (t) dt, U (p) = L[u (t)] =exp (-pt) u (t) dt. Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного сигнала Y (p) к входному сигналу U (p) при нулевых начальных условиях не зависит от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W (p).Y (p) = U (p) (b0p (m) + b1p (m-1) +…+ bm) /(a0p (n) + a1p (n-1) +…+ an), W (p) = (b0p (m) + b1p (m-1) +…+ bm) /(a0p (n) + a1p (n-1) +…+ an), Y (p) = W (p) U (p).Передаточная функция W (p) зависит только от самих дифференциальных уравнений и обладает свойством линейности: Если Y (p) = Y1(p) + Y2(p), то U (p) = W (p)Y1(p) + W (p)Y2(p) = U1(p)+U2(p).ЕслиY (p) = сY (p), тоU (p) = W (p) Y (p) = сW (p) Y (p). В общем случае замкнутая система регулирования с обратной связью рассматривается в структурной форме, приведенной на рис. 1, где используются следующие обозначения сигналов: Y (p) = W (p)e (p); W (p) = W1(p)W2(p);Yос (p) = Wос (p)Y (p); e (p)=U (p)-Yoc (p).Рис. 1. Выражение выходного сигнала состояния системы через входной сигнал управления: Y (p)=W (p)(U (p)-Wос (p)Y (p);Y (p)(1± W (p)Wос (p))=W (p)U (p).Отсюда главная передаточная функция замкнутой системы: Wзс (p) = Y (p)/U (p) = W (p)/[1 ± W (p) Woc (p)].

Знак плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f (t), который суммируется с правой частью выражения: Y (p)=Wзс (p)U (p) + Wf (p)f (p), где Wf (p) — передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы. Wf (p) = Y (p)/f (p) = W2(p)/[1+Woc (p)W (p)]. Передаточнаяфункцияпоошибке: We (p) = e (p)/U (p) = 1/[1 + W (p) Woc (p)]. Передаточная функция по ошибке — основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:

e (p)=We (p)U (p) + Wef (p)f (p), где Wef (p) — передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):Wef (p) = e (p)/f (p) = -W2(p)Woc (p)/[1 + W (p) Woc (p)]. Передаточная функция по обратной связи: WYoc (p) = Yoc (p)/U (p) = W (p) Woc (p)/[1 + W (p) Woc (p)]. Типовые звенья САУ. Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции можно разложить на простейшие множители по их корням: W (p) = N (p)/P (p) = П [(p-p1ч)…(p-pmч)] / [(p-p1з)…(p-pnз)], где μ = b0 /a0 — константа, piч — множество корней числителя N (p)=0, piз — множество корней знаменателя P (p)=0. Корни числителя передаточной функции называют нулями, корни знаменателя — полюсами. Комплексно сопряженные корни объединяются в квадратурные полиномы с вещественными коэффициентами: (p-α+jβ)(p-α-jβ) = p2−2αp+β2+α2. После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого и второго порядка с вещественными числовыми коэффициентами, каждую из которых можно рассматривать, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов.

Если вынести из всех скобок свободные члены и объединить их произведение в общий множитель К, то получим уравнение: W (p) = K [W1(p)…Wz (p)], где z=n+m, если все корни вещественные, z < n+m, если есть комплексные корни. Коэффициент К принято называть коэффициентом усиления системы. Заметим, что W (0) = К = bm/an, т. е. его числовое значение равно коэффициенту усиления на нулевой частоте («постоянном токе»). Классификация звеньев производится по виду их передаточных функций, независимо от исполнения (механические, гидравлические, электрические и пр.). Передаточные функции типовых звеньев, из которых синтезируются системы, обычно имеют числитель или знаменатель, равный единице. Ниже приводятся выражения передаточных функций основных типовых звеньев систем:

1. К — Усилительное звено. 2. p — Дифференцирующее звено. 3.

1/p — Интегрирующее звено (интегратор). 4. K/(T p+1) — Инерционное (апериодическое) звено. 5. K/(T 2p+2dTp+1) — Колебательное звено. 6.

K (T p+1) — Форсирующее звено. 7. K (T 2p+2dTp+1) — Форсирующее звено 2-го порядка. Здесь Т — определенный временной коэффициент (постоянная времени). Звенья 2, 6 и 7 не реализуются в строгом теоретическом смысле, существуют только их приближения. Типовые входные воздействия.

Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u (t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ui (t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y (t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих. Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t≥0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u1(t) на рис.). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени t (сигнал u (t) на рис.).Преобразование.

Лапласадляединичной ступеньки:

1(p) =exp (-pt) dt = 1/p. Линейно нарастающее воздействие (t (t)=t при t≥0, t (t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки: t (t) =1(t) dt, 1(t) = d t (t) /dt.Преобразование.

Лапласа:t (p) =t exp (-pt) dt = 1/p2. (3.

2.9)Экспоненциальнаяфункция exp (t). Преобразование.

Лапласа:L[exp (t)] =exp (t) exp (-pt) dt = 1/(p-1). (3.

2.10)Выражениесправедливо и при любом комплексном α.Гармонические воздействияsin ωt и соs ωt. На основе формулы Эйлера exp (jωt) = cosωt + jsinωt соответственно имеем cosωt = Reexp (jωt), sinωt = Imexp (jωt). Преобразования Лапласа: L[sin ωt] = L[Im ejωt] = Im L[ejωt] = Im (1/(p-jω)) = Im ((p+jω)/(p2+ω2)) == Im (p/(p2+ω2)+jω/(p2+ω2)) = ω/(p2+ω2).L[cos ωt] = Re L (ejωt) = Re (1/(p-jω)) = Re ((p+jω)/(p2+ω2)) = p/(p2+ω2).Дельта — функция δ(t) — математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение δ(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x (t): δ (t-t0) x (t) dt = x (t0).Отсюда, при x (t)=1: δ (t) dt = 1, δ (t) exp (-pt) dt = 1, L[(t)] = 1. Единичныйимпульсфизическипредставляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота — к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта — функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:δ (t) = d1(t) /dt = d2 t (t) /dt2.

Список литературы

1. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. ;

СПб.: Питер, 2005. — 336 с. 7. Туманов М. П. Теория автоматического управления: Лекции8. Туманов М. П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие.

— МГИЭМ. М., 2005, 82 с. URL:

http://window.edu.ru/window_catalog/files/r24738/5.pdf.

9. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1975.

14. Желтиков О. М. Основы теории управления. Конспект лекций. — Самара, СГТУ, 2008. — URL:

http://www.jelomak.ru/pager.htm.