Системы счисления

Системы счисления

Система счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали ранее и существуют теперь, можно разделить на позиционные и непозиционные. Знаки, которые используются при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI=5+1=6, а IV=5−1=4

Пример 3.

MCMXCVIII =1000+ (1000−100) + (-10+100) +5+1+1+1=1998

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять при наличии любого многозначного числа. Например, в числе 333первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, а третья — три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0,1,…, q-1. запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формулой записи числа называется запись в виде

Здесь — само число, q — основание системы счисления, — цифры данной системы счисления, n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Пример 4. получить развернутую форму десятичных чисел 32 478; 26,387.

Пример 5. получит развернутую форму чисел

, ,

Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

Задачи

№ 1

Какие числа записаны с помощью римских цифр:

MMMD, IV, XIX, MCXCIVII?

№ 2

Запишите год, месяц и число вашего рождения с помощью римских цифр.

№ 3

В старину на Руси широко применялась система счисления, отдаленно напоминающая римскую. С ее помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате податей. Для записи чисел употреблялись следующие знаки:

Звезда — тысяча рублей, колесо — сто рублей, квадрат — десять рублей,

Х — один рубль, I I I I I I I I I I — десять копеек, I — копейка.

Запишите при помощи старинной русской системы счисления сумму 3452 рубля 43 копейки.

№ 4

Какая сумма записана при помощи старинной русской системы счисления

Х Х Х I I I I I I I I I I I I I

№ 5

Придумайте свою непозиционную систему счисления и запишите в ней числа 45, 769, 1001.

№ 6

В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометрических фигур. На рисунке приведены некоторые числа, записанные этой системе счисления:

— 4

— 190

— 6

— 1900

— 19

Какому числу соответствует следующая запись:

№ 7

Выполните действия и запишите результат римскими цифрами:

XXII-V; CV-LII; IC+XIX; MCM+VIII;

XX/V; X*IV; LXVI/XI; XXIV*VII.

№ 8

Какое количество обозначает цифра 8 в десятичных числах

6538, 8356, 87 и 831?

№ 9

Что вы можете сказать о числах 111 и I I I?

№ 10

Выпишите алфавит в 5-ричной, 7-ричной и 12-ричной системах счисления.

№ 11

Запишите первые 20 чисел натурального числового ряда в двоичной, 5-ричной, 8-ричной, 16-ричной системах счисления.

№ 12

Запишите в развернутом виде числа:

1); 2)

№ 13

Запишите в развернутом виде числа:

1); 2)

№ 14

Запишите в развернутой форме числа:

1); 2)

№ 15

Запишите десятичной системе счисления числа:

1); 2)

№ 16

Запишите в десятичной системе счисления числа:

1); 2)

№ 17

Запишите десятичный эквивалент числа 110 101, если считать его написанным во всех системах счисления — от двоичной до девятеричной включительно.

№ 18

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201, 1201?

№ 19

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 403, 561, 666, 125?

№ 20

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 22, 964, 1010, А219?

№ 21

В каких системах счисления 10 — число нечетное?

№ 21

В каких системах счисления справедливы неравенства:

2*2=10, 2*3=11, 3*3=13?

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.

Перевод целых чисел

1. основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частых на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1. Перевести число в двоичную систему. Для обозначения цифр используем символику:

Перевод дробных чисел.

1. основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. последовательно умножать данное число и полученные дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3. полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 4. Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Из рассмотренных выше примеров следует:

.

Задачи

№ 23

Перевести целые числа из десятичной системы счисления в троичную:

1. 523; 65; 7000; 2307; 325

2. 12; 524; 76; 121; 56.

№ 24

Перевести целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

1. 856; 664; 5012; 6435; 78;

2. 214; 89; 998; 653; 111.

№ 25

Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить шесть знаков.

1. 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876;

2. 0,55; 0,333; 0,1213; 0,453.

№ 26

Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. В новой записи дроби сохранить шесть знаков

1. 0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451;

2. 0,8455; 0,225; 1 234; 0,455

№ 27

Перевести смешанные десятичные числа в троичную и пятеричную системы счисления, оставить пять знаков в дробной части нового числа:

1. 40,5; 34,25; 124,44;

2. 78,333; 225,52; 90,99.

№ 28

Перевести смешанные десятичные числа в двоичную и восьмеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа:

1. 21,5; 432,54; 678,333;

2. 12,25; 97,444; 7896,2.

№ 29

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 345 —, 0,125 —, 45,65 — ;

2. 675 —, 0,333 —, 23,15.

№ 30

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 1,25 —, 675 —, 0,355 — ;

2. 890 —, 0,675 —, 12,35 ;

№ 31

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 425 —, 0,425 —, 98,45 — ;

2. 0,55 —, 765 —, 765,75 — .

№ 32

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 98 —, 0,545 —, 87,325 — ;

2. 0,775 —, 907 —, 566,225 ;

Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием)

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием (4,8,16 и т. д.), нужно:

1. данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2. если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием .

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием, нужно:

1. данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2. если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием .

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием, нужно:

1. данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2. если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их нужно дополнить нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием .

Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы счисления с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная).

Пример 5. Перевести число в двоичную систему.

Для решения задачи воспользуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.

Двоично-шестнадцатеричная таблица

В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные цифры, напротив, в соседнем столбце — равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде (там, где знаков меньше четырех, слева добавлены нули).

А теперь проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в таблице четверку двоичных знаков. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:

0001 0101 1111 1100

Если отбросить нули слева (в любой системе счисления они не влияют на значения числа), то получим искомое двоичное число. Таким образом:

В справедливости этого равенства можно убедиться, производя тот же перевод через десятичную систему.

Пример 6. Перевести двоичное число 110 111 101 011 101 104 в шестнадцатеричную систему.

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.

0011 0111 1010 1110 1111

А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру.

3 7 А E F

Следовательно:

Пример 7. Перевести смешанное число в шестнадцатеричную систему.

Решение

Перевод дробных чисел производится аналогично. Группы по четыре двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо. Поэтому:

= 0101 1101, 1011 1000 = .

Связь между двоичной и восьмеричной системами устанавливается аналогично. В этом случае используется двоично-восьмеричная таблица, приведенная ниже. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных цифр.

Двоично-восьмеричная таблица

Пример 8. Перевести смешанное число в восьмеричную систему.

Решение Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо. Затем производится перекодировка по таблице:

= 001 011 101, 101 110 = .

Задачи

№ 33

Перевести двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

1. 110 000 110 101; 1 010 101; 0,1 010 011 100 100; 0,1 111 110 001;

2. 0,1 001 111 100 000; 0,1 100 010; 11 100 001 011 001; 1 000 010 101.

№ 34

Перевести двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

1. 11 011 010 001; 111 111 111 000 001; 0,110 101; 0,11 100 110 101;

2. 10 001 111 010; 100 011 111 011; 0,101 010 101; 1 100 110 011.

№ 35

Перевести смешанные двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

1. 100 010,011101; 1 111 000 000,101; 101 010,111001; 100 011,111;

2. 101 111,01100; 100 000 111,001110; 101 010,0010; 1 100 011,11.

№ 36

Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления:

1. 256; 0,345; 24,025; 0,25;

2. 657; 76,025; 0,344; 345,77.

№ 37

Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

1. 1АС7; 0,2D1; 2 °F, D8C; F0C, FF;

2. FACC; 0, FFD; FDA,12 °F; DDFF, A/

№ 38

Перевести числа из шестнадцатеричной системы в восьмеричную:

1. A45; 24A,9 °F; 0, FDD5; F12,0457 $

2. A24, F9; 54A; 0, DFD3; 12D, 567/

№ 39

Перевести числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:

1. 774; 765,25; 0,5432; 654,763;

2. 665; 546,76; 0,7654; 432,347.

№ 40

Перевести следующие числа:

1.; ;; ;

2.;; ;

№ 41

Перевести следующие числа:

1.; ;

;

2.; ;

;

№ 42

Перевести следующие числа:

1.; ;

2.; ;

3.; ;

4.; ;

№ 43

Опишите четверичную систему. Постройте двоично-четверичную таблицу.

№ 44

Перевести следующие числа:

1.; ;; ;

2.; ;; .

№ 45

Перевести следующие числа:

1.; ;; ;

2.; ;; .

Арифметика в позиционных системах счисления.

Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел. Например, таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления выглядят так:

Пятеричная таблица сложения пятеричная таблица умножения