Точка экстремума и точка перегиба. 
Расчет области функции

ГОУ ВПО «ВСГАО»

Кафедра математики и методики обучения математике Контрольная работа по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

Выполнила:

Шепчугова Наталья Викторовна

Курс: 1 (2010;2011 уч. годы) Проверил: ст. пр. Курьякова Т.С.

Иркутск — 2010

Задание 1. Исследование функции Элементарное исследование:

Область определения функции очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства.

Пересечение с осью ОХ: График не пересекает ось ОХ Пересечение с осью ОУ:. В точке .

При любых значениях x, следовательно, график функции располагается выше оси ОХ на всей числовой прямой.

Исследование функции на непрерывность:

Следуя из области определения -, график не имеет точек разрыва, т. е. является непрерывным Асимптоты Наклонные асимптоты:

Наклонная асимптота или ось ОХ.

Исследование функции на четность-нечетность и периодичность:

;;

Функция является четной, так как, следовательно, ее грфик симметричен относительно оси ОХ.

Функция не является периодической, так как равенство будет верно только в случае, если T=0

Исследование функции по первой производной ()

Определить точки экстремума

— точка максимума

Экстремум . .

Определить промежутки монотонности Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Исследование функции по второй производной ()

Найдем вторую производную:

Точки перегиба

— точки перегиба.

Получаем точки:

Определим характер выпуклости Функция выпукла вниз при Функция выпукла вверх при

Дополнительные точки:

Задание 2. Найти область определения функций, заданных аналитически

координата экстремум функция непрерывность Уравнение не имеет корней Уравнение не имеет корней.

Найдём вершину параболы:

Вершина параболы -, ветви направлены вниз, т. е. парабола расположена ниже оси OX

Задание 3

m)

n) Функция возрастает:

o) Функция убывает:

p) Экстремумы: т. максимума

т. минимума

r)

s) Точка минимума x=0

t) Функция ни четная, ни нечетная (общего вида), т.к. её график не симметричен ни относительно оси OX, ни начала координат.

u) Нули функции,

v)

w)

x)

Задание 4

Так как функция имеет период, то отсчитывая от начала координат через 5 периодов будет соответствовать, и иметь значение

Задание 5

График функции расположен ниже оси OX на промежутке, следовательно, на этом промежутке принимает отрицательные значения, точка является нулём графика функции и точкой экстремума исходной функции.

Следовательно, функция убывает на промежутке. Длина промежутка убывания равна: