Аппроксимативные свойства весовых классов Соболева

Изучение аппроксимативных свойств различных классов функций является постоянно развивающейся областью современной математики, которой посвящено большое число монографий и статей. В этой области возникают новые перспективные задачи и объекты исследования.

Диссертация продолжает исследования в этом направлении. В ней изучаются аппроксимативные свойства множеств функций, заданных на отрезке или полуоси, с различного вида ограничениями на производные. При этом, основной целью является исследование поведения колмогоровских поперечников весовых классов Соболева в зависимости от веса. В случае равномерной метрики изучаются свойства класса, возникающего в некоторых задачах с фазовыми ограничениями.

Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть X — линейное пространство над полем М, Сп{Х) — совокупность всех линейных подпространств X размерности не выше п G Z+. Для множества W С X обозначим через convW выпуклую оболочку W, через spanW линейную оболочку W. Под полунормой || • ||: X —> R+ на линейном пространстве X будем понимать функционал Минковского некоторого его выпуклого центрально-симметричного подмножества.

Для линейных нормированных пространств X, Y над полем R будем обозначать L (X, Y) множество линейных непрерывных операторов, А: X —> Упри этом ker, А — ядро, ткА — размерность образа оператора А.

Пусть (X, d) — метрическое пространство, А с X. Обозначим через, А замыкание A, intv4 — внутренность А. Для непустых множеств А, С С X и х € X расстояние от х до множества, А обозначим dist^ (х, А) — infyg.4у), расстояние между С и, А — distx (С, А) = inf distx (х, А) = inf d (x, у), хеС же С, уеА уклонение множества С от множества, А —.

ЕХ{С, А) = supdistx {х, А). хеС.

В первой главе изучается поведение колмогоровских поперечников dn весовых классов Соболева и поведение аппроксимативных чисел Ап операторов вложения этих классов в пространства Lp>v в зависимости от весов и от числа п. В частности, для достаточно широкого класса весов получены порядковые оценки рассматриваемых величин.

Пусть Jet — измеримое подмножество, Lq (J) — пространство измеримых действительнозначных функций на J. Если / G Lq (J), Е С J — измеримое подмножество, h G Lq (E), /(?) = h (t) для почти всех t G Е, то будем писать /е = /iДля произвольного множества Act положим.

Л) = {/ е Lq (J) -.WteJ f (t) g А}. Каждой функции / Е Lq (J) (0 < р ^ оо) поставим в соответствие величину.

1/р

М-Л yf f (x)pdxj, если р < оо, ess sup^j | f (x)I, если p = оо.

При этом, если ||/||lp (J) < оо, то будем писать / е LP (J). Пусть / G Lo{J), Py G L0(J, М+), 1 ^ р < оо, ll/IU = II/I|Lp,"(J) llv/IUP (J);

Lp, v{J) — пространство функций / G L0(J) таких, что ||/||p, u < оо, L0jPtV = LqlP, v{J) — пространство Lq (J) с полунормой || • ||PjU.

Для отрезка или полуоси J обозначим через AC (J) множество функций, абсолютно непрерывных на J (в случае полуоси это означает, что ограничение функции на любой отрезок, содержащийся в J, абсолютно непрерывно).

Определим весовой класс Соболева на отрезке или полуоси J для некоторого веса д G Lq (J, М+), положив.

WJ,(J)= /: J-R f{r~1] G AC (J), fir) 9 1 lq{j) и считая по определению, что если д (х) = 0 на множестве Е С J положительной меры, то для любой функции / G Wqg (J) выполнено f^rx) = 0 при почти всех х G Е и.

В частности, fir).

9 lq{j) ~ 9 Lq{JE) т11) G AC{J), |fM (t)^g (t) п.в.}. 9 называется.

Пространство span WJ}g (J) с полунормой весовым пространством Соболева.

Весовые пространства Соболева на отрезке (и на области в многомерном случае) появились при изучении линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, а также при решении задач продолжения гладких функций с многообразия М С на некоторую окрестность М или на все к € N. Различные свойства этих пространств изложены в книгах [69], [91], [108] и в обзорной статье [33].

Одно из направлений исследования весовых пространств Соболева связано с теоремами вложения этих пространств. Так, в ряде работ рассматривалась задача об ограниченности (компактности) оператора вложения класса {/ € W* [а, Ь): /^(а) = 0, к — 0, ., г — 1} (—оо < а < b ^ +оо) в пространство LPiV[a, b) или класса {/ G Wqg (a, b]: fW (b) = 0, & = 0, ., г — 1} (—оо ^ а < b < +оо) в пространство I/PiW (a, b], эквивалентная задаче об ограниченности (компактности) двухвесового оператора Римана-Лиувилля Ф) л* - ty-WWt) dt = v (x)V®I$(gf)(x) или a.

Ir, g, v, bf){x) = v{x) f (t — xy-igWW dt = v{x)V{r)l?!{gf)(x) x соответственно из пространства Lq[a, b] в Lp[a, Ь]. Здесь Г (-) — гамма-функция, I^l — (невесовые) операторы Римана-Лиувилля. Свойства оператора Римана-Лиувилля и других операторов дробного интегрирования, а также обзор этой тематики подробно изложены в книге С. Г. Самко, А. А. Килбаса и О. И. Маричева [53].

При г = 1 критерий ограниченности операторов (1) был получен в работах Г. Таленти [106], Г. Томазелли [107], Б. Макенхаупта [98] (случай р = q), Дж.С. Брэдли [78], В. Г. Мазья [43] и В. М. Кокилашвили [25]. Для произвольных г ^ 1 (включая нецелые) критерий ограниченности и компактности оператора Ir, g, v, a был получен В. Д. Степановым [6, 54,104]. При 0 < г < 1 достаточные условия ограниченности были получены Х. П. Хейнигом, К. Ф. Андерсеном и Э. Т. Сойером [75,76,89].

В случае многомерных областей достаточные условия ограниченности вложения весовых пространств Соболева в весовое пространство Lp были получены В. И. Кондрашовым [28], Л. Д. Кудрявцевым [32], А. Куфнером [91] и X. Трибелем [69], а достаточные условия компактности — X. Трибелем [69], П. И. Лизоркиным и М. О. Отелбаевым [36], П. Гуркой и Б. Опичем [87], Ф. Анточи [77], В. Гольдштейном и А. Ухловым [86] и другими авторами.

Далее нам понадобятся определения колмогоровских и линейных поперечников подмножества в банаховом пространстве [65], а также аппроксимативных чисел линейного оператора [52], являющихся числовыми характеристиками вложения.

Пусть X — линейное пространство с полунормой (возможно, принимающей бесконечные значения), М С X, п 6 Z+. Колмогоровским п-поперечни.

1) ком множества М в пространстве X называется величина dn (M, X) = inf sup inf ||ж — y\x, LeCn{x) хемусь линейным n-поперечником (для нормированного пространства) — величина.

АП (М, X) = inf sup ||rc — Ах\х. AeL{X, X), ткЛ^п хем.

Аппроксимативные числа оператора, А? L (X, Y) определяются как.

Ап (А) = inf{P — Ап\х^у ¦ rk Ап ^ n}.

Заметим, что если dimF < oo и ker A = {0}, то An (A) = n (ABx)i гДе.

Bx = {xeX: \x\x ^ 1}.

Поперечники dn (M, X) были введены A.H. Колмогоровым в [26]. В 60−70-е годы XX века изучались задачи о значениях поперечников функциональных классов в Ьр и конечномерных шаров В&tradeв I™, где (1 ^ р ^ оо) — пространство Rn с нормой.

IIГ®-, ж)|| = ||(Ж1 ж) ll, n = / + «» + если Р < °°> хп)\р ., хп)\in — | 5 ^ если р = 00).

Вц — единичный шар в I™.

Оценками колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел оператора вложения конечномерных множеств и функциональных классов занимались многие математики, в частности, А. Н. Колмогоров, У. Рудин, С. Б. Стечкин, К. И. Бабенко, В. М. Тихомиров, М. Ш. Бирман, М.З. Соло-мяк, Ю. Н. Субботин, Ю. И. Маковоз, Р. С. Исмагилов, А. Пич, М. И. Стесин, Б. С. Кашин, В. Е. Майоров, Е. Д. Глускин, Н. П. Корнейчук, X. Трибель, П. И. Лизоркин, М. О. Отелбаев, В. Н. Темляков, Э. М. Галеев, Е.Д. Ку-ланин, К. Хеллиг, А. П. Буслаев, Г. Г. Магарил-Ильяев, В. Т. Шевалдин, С. И. Новиков, Д. Левиатан, В. Н. Коновалов, Я. Ланг, В. Д. Степанов, Е. Н. Ломакина, Д.Дж. Харрис, Д. Э. Эдмунде. Различные свойства поперечников изложены в монографиях [31,65,97,101], а также в обзорной статье В. М. Тихомирова [68].

При q ^ р Пичем [100] и М. И. Стесиным [55] были найдены точные значения dp?(В&trade-, I (доказательство изложено также в [65]) — значения линейных поперечников совпадают в этом случае с колмогоровскими поперечниками. При р > q вычисление поперечников I™) представляет значительные трудности. В работах А. Н. Колмогорова, А. А. Петрова и Ю. М. Смирнова [27] и С. Б. Стечкина [56] была доказана формула d^{Bi, Щ) — (l — (см. также [65]). Отсюда, в частности, следует, что при N ^ р ^ 2 выполнено Щ) х 1. Для других значений параметров р ^ q первые нетривиальные оценки колмогоровских поперечников множеств В" принадлежат Р. С. Исмагилову и Б. С. Кашину. Работы.

Б.С. Кашина [21−23] усилили интерес к задаче получения порядковых оценок поперечников IВ частности, в работе [23] им была получена оценка с^С^, ~ (l + ln-j^)5, с помощью которой были найдены порядковые оценки dx (BqN, при 2 < р < оо, q < р. Окончательный в порядковом смысле ответ в конечномерной проблематике (кроме интервала р = оо, q < 2) получен в работах [15,16] Е. Д. Глускиным и [14] А.Ю. Гарнае-вым и Е. Д. Глускиным. При р = со, q < 2 Б. С. Кашиным в работах [21], [22] были получены оценки, точные в степенной шкале.

При 1 ^ q < р ^ 2 или I<<7<2.

< 1 из формулы двойственности для линейных поперечников, доказанной Р. С. Исмагиловым [19], вытекает порядковое равенство AЩ) ж dN (Bfi, /?), где ± + ^ = 1, ± + ^ = 1.

При qr > 1 для невесовых классов Соболева на отрезке известны следующие порядковые оценки колмогоровских и линейных поперечников: п~г, если р < q или 2 < q < р,.

I+I. п, n 2 9, если g < 2 < р, п-7*, если р ^ q, п~г~р+ч, если g < р < 2 или 2 ^ g ^ р, если 9 < 2 < р, ± + ± ^ 1, ч 7Tr+W, если q < 2 < р, ± + ± < 1.

При р < q порядки найдены в работах В. М. Тихомирова, С. Б. Бабаджанова и Ю. И. Маковоза [2,46,67]. Для г = 1 в [46] получено точное значение dn (Wq[О, 1], Lp[О, 1]). При р > q первый результат был получен У. Рудиным [103] (р = 2, q = 1, г = 1) и затем обобщен С. Б. Стечкиным [56] на классы W[[a, Ь]. При q < р < 2 порядки поперечников соболевских классов найдены Р. С. Исмагиловым [18, 19]. В 1975 г. В. Е. Майоровым был разработан метод дискретизации, позволяющий свести задачу об оценке поперечников соболевских классов в Lp к задаче об оценке поперечников конечномерных шаров (первые идеи этого метода появились в работах Р.С. Исмагилова). Порядки убывания колмогоровских поперечников соболевских классов при р > max{g, 2} получены Б. С. Кашиным в работе [23], порядки линейных поперечников получены В. Е. Майоровым [45]. xn (w-[o, 1], lp[о, 1]) х.

1 p, q, r.

1 Точнее, там были получены порядковые оценки для линейных поперечников соболевских классов в метрике Lpс их помощью методом дискретизации получаются верхние оценки для линейных поперечников конечномерных шаров, которые оказываются равными по порядку колмогоровским поперечникам.

Точные значения колмогоровских поперечников соболевских классов с периодическими краевыми условиями на отрезке [0, 2тг] были найдены.

A.Н. Колмогоровым [26] (случай р = q — 2), В. М. Тихомировым [67] (случай р = q — оо, нечетные п), Ю. Н. Субботиным [57, 58] (случай р = q = 1, нечетные п), Ю. И. Маковозом [47] (случаи q — оо, 1 ^ р ^ оо, четные п и 1 < q ^ оо, р = 1). В работе А. П. Буслаева и В. М. Тихомирова [10] было рассмотрено несколько видов краевых условий и для них найдены точные значения dn (Wq[0, 1], Lp[0, 1]), 1 < р ^ q < оо, в терминах спектров нелинейных уравнений специального вида.

В случае нескольких переменных рассматривались в основном классы функций на торе. Первый результат о значениях колмогоровских поперечников таких классов был получен К. И. Бабенко [5] для р = q = 2. Позже.

B.C. Митягиным [48] были найдены порядки убывания поперечников при р = q. Общий случай (в том числе для анизотропных классов) рассмотрен В. Н. Темляковым [62−64], Э. М. Галеевым [12,13] и многими другими авторами. Ряд работ о порядках убывания колмогоровских поперечников соболевских классов посвящен исследованию феномена «малой гладкости», открытого B.C. Кашиным [24]. Дальнейшим изучением этой задачи занимался Е. Д. Куланин [34].

В ряде работ рассматривались различные обобщения задачи о вычислении колмогоровских поперечников соболевских классов. В частности, С. И. Новиковым [50], [99] и В. Т. Шевалдиным [73] были найдены поперечники класса, определяемого линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами. В. Т. Шевалдиным [72], [74] рассматривались классы сверток с различными ядрами, а Нгуен Тхи Тхьеу Хоа [49] — комплексно сопряженные к ним классы. Помимо колмогоровских поперечников, изучались их различные обобщения. В работах В. Ф. Бабенко [3], [4], В. Н. Коновалова [29], [30], Ю. Н. Субботина и С. А. Теляковского [59], [60] были получены оценки относительных поперечников соболевских классов. Для изучения приближений функций из некомпактных классов В. М. Тихомировым [66] было введено понятие средней размерности. Позже Г. Г. Магарил-Ильяев дал определение усредненных поперечников, различные свойства которых им были изучены в работах [39−42] (в частности, были получены порядковые оценки усредненных поперечников для соболевских классов на оси, в некоторых случаях были найдены их точные значения).

Аппроксимативные числа операторов типа Харди.

Ii, g, v, a ¦ Lq{a, Ъ) —> Lp (a, Ъ) и колмогоровские поперечники образа единичного шара при этом отображении в случае р = q изучались в работах Я. Ланга, Д. Э. Эдмундса, Р. Кермана, В. Д. Эванса, Д.Дж. Харриса [79−81,83,92,93]. В [81], [92,93] Р. Керманом,.

Д.Э. Эдмундсом и Я. Лангом была получена асимптотика lim npn (IhgtVta) = аР|М!ъ (3) п.—" оо где рп — колмогоровские, аппроксимативные, гельфандовские или берн-штейновские числа оператора Ii, g, v, a, 9? Ь], w € Lp[a, Ь]- при дополнительных предположениях на регулярность функций д и v был найдена верхняя оценка следующего члена асимптотического разложения. В работе В. Д. Эванса, Д.Дж. Харриса и Я. Ланга [83] при q = р = оо была получена оценка (3) при более слабых ограничениях на функции д и v. Случай р < q рассматривался Д. Э. Эдмундсом и Я. Лангом в [79], где было получено обобщение равенства (3) для колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел. При р > q в работе Я. Ланга, О. Мендеза и А. Неквинды [94] для достаточно широкого класса весов установлены оценки j®-, Щим ~ IMU^M!> lim П +r> 4An{h, g, v, a) < 1MU г la, b}.

Из этих оценок и (2) следует, что порядок убывания при р > q вычислен в случае р<2ив случае q ^ 2, а при l^q<2.

В [84,88] В. Д. Эвансом, Д.Дж. Харрисом и Я. Лангом были получены оценки аппроксимативных чисел операторов типа Харди на деревьях.

В случае г > 1 задачи о порядках колмогоровских поперечников соболевских классов с весами и аппроксимативных чисел операторов вложения исследовались не столь подробно. Известны порядки убывания колмогоровских поперечников для степенных весов на отрезке (Д. Левиатан, В. Н. Коновалов [95]), установлены оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана-Лиувилля на полуоси для д = 1 или v = 1 (В.Д. Степанов, Е. Н. Ломакина [38]), найдены точные асимптотики значений dn (Wqg[a, b], LPiV[a, b]) в случае р ^ q для кусочно-непрерывных весов guv (А.П. Буслаев [8]).

С помощью адаптивной аппроксимации функций сплайнами М. Ш. Бирманом и М. З. Соломяком в [7] была получена верхняя оценка для колмогоровских поперечников соболевских классов на области в весовом пространстве Lp (при р > шах{^, 2} эта оценка не точна по порядку). В [82] А. Эль Колли были найдены порядки величин dn{W^g{p)^.

LpjV (?l)), где веса guv равны степени расстояния до границы области Q,] с помощью методов интерполяции банаховых пространств X. Трибель [69] распространил верхние оценки на поперечники LPiV (Q,)). Для общих весов задача оценки колмогоровских и аппроксимативных чисел оператора вложения классов Соболева в Lp рассматривалась П. И. Лизоркиным, М.О. Отелбае-вым, М. С. Айтеновой и Л. К. Кусаиновой [1,37,51].

В диссертации продолжено изучение зависимости величин колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел весовых классов Соболева в пространствах LP) V{J) от весов д и v и номера поперечника п G N.

В § 1.1 получены точные значения величин dn (W^g[a, Ъ], Ьр[а, 6]) в терминах наилучшего приближения первообразной G функции д в метрике Lp[a, b] сплайнами нулевой степени с нефиксированными узлами.

Предложение 1.1.1. Пусть существуют точки a <�••• < tm~ < Ь такие, что для любого j = 1, ., m — 1 и любого S > 0 функция д не интегрируема на отрезке [tj — 6, tj + J], и 1 ^ р < оо. Тогда при всех п ^ т — 1 выполнено равенство ^"(W^Ja, Ь], Lp[a, b]) = оо.

Пусть —оо < а < Ъ < -foo, Т = {i/г}^1 — множество всех точек из интервала (а, 6), в любой окрестности которых функция д не интегрируема, tQ = a, tm = b) tk-i < tk, к = 1, ., m. Выберем a>k e tk+1) произвольным образом и положим t.

G{t) = J g (s)ds, t? (tk, tk+1). ak.

Пусть n ^ m, Sn = 5n[a, b] = Sn ([a> Ь], T) — множество кусочно-постоянных функций ip: [a, b] —"¦ R, для которых существует набор точек, а = tq < т < • • • < тп 1 < тп = 6, содержащий {^j^Lo и удовлетворяющий условию <�р (Tj-UTJ) = const.

Следующее утверждение дает точное значение колмогоровских поперечников класса И^^а, b] через наилучшее приближение первообразной G веса д множеством Sn.

Теорема 1.1.1. Пусть п ^ m, 1 < р < оо. Тогда dn (W^g[a, Ь], Lp[a, b]) = inf \G — ip\p.

В дальнейшем нам понадобится понятие порядкового неравенства. Пусть.

Х: У — множества, /i, /2: X х Y —> М+. Скажем, что /i (a-, у) < /2(^7, ?/), у если существует положительная функция с: У —> R такая, что f (x, у) ^ сЫ/2(ж, у) для любого х е Х /х (ж, у) > /2(ж, у), если /2(ж, у) < ЛО, у);

У У fi (x, у) х /2(ж, ?/), если fi (x, у) < /2(ж, г/) < ft (x, у). Наряду с символами у У У > и х (означающими, что константа с в порядковом неравенстве может у у у зависеть только от у), нам будет удобно использовать эквивалентные им хх х символы <, > и х (означающие, что константа не зависит от х). Для /1,.

2: X —> R+ будем обозначать fi (x) < /2(ж), если существует число с G (О, оо) такое, что fi (x) < cf2(x) для любого х G X- /1(2-) > /г (^), если /2(®)? Л (я) — х /2 (ж), если /г{х) < f2{x) < fi (x). Положим.

LpC[a, b) = {f е L0[a, 6]: Vc < b / G Lp[a, c]} ,.

Lp>, b] = {f e L0[a, b]: Vc > a / G Lp[c, 6]}.

В § 1.2 получен критерий существования непрерывного оператора вложения весового соболевского класса в пространство LP) V. Как говорилось выше, если оператор Римана-Лиувилля ограничен, то с ним естественным образом связано непрерывное вложение класса W*g в пространство LPiV. В случае, когда оператор Р им ан а-Л иу в и л л я неограничен, возникает новая ситуация, требующая формально определить, что будет пониматься под непрерывным или компактным вложением Wqg в Lp< 00, а под компактностью — убывание колмогоровских поперечников к нулю. Кроме того, возможны такие веса д и v, что класс Wqg не содержится полностью в LPjV как множество, и в этом случае под непрерывностью вложения мы будем понимать конечность величины dn{Wrq-, Lqpv) = inf sup inf ||/ ;

BLP}V (Wqg, L) — sup inf II/ - ip\L < 00. fewia veL.

Компактность вложения понимается как стремление к нулю последовательности dn{Wlg, L0|Plt").

Оказывается, что если dn (W^g, Lq: P, v) < оо для некоторого п, то существует естественный способ определения оператора непрерывного или компактного вложения, состоящий в замене класса приведенным.

Л /V соболевским классом Wfhg и определении такого оператора на Wgg. Для этого нам понадобятся две теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть lcg^oo, 1 ^ р < оо, г? N, д, v? Ь0([а, &], М+) и dn (Wqg[a1 &], Lo) P)V[(2, &]) < оо для некоторого п? N. Тогда существует разбиение {[с^, A]Kli отрезка [a, b], го < п, такое что для каждого г = г.

1, ., г’о выполнено одно из следующих условий:

1- sIka] = 0;

2- v\ 0.

Для формулировки второй теоремы потребуются дополнительные обозначения. Пусть g, v? Lo ([a, b], R+), Cg — {/? Z^o[a, b]: fg? L[a, 6]}, r ^ 2. Зададим отображения Ir, g, v, a и: —> Lo[a, 6] формулой (1).

ПОЛОЖИМ = О Ir-k, g, l, a>^v = Jk, l, v, a ° fr-k, g, l, b, k = I, Г — 1, ra, 6,0 fa, b, r т та, Ъ, г fa, b,0 r.

-'r^w ~ ¦Lr, g, v, ai ±r, g, v r, g, v ¦Lr, g, v, b.

Теорема 1.2.2. Предположим, что г € N, 1 < g ^ оо, l^p^oo.

1. Пусть J = [a, 6], g? L]of [a, b), v? L’oc[a, 6). Тогда для существования.

7−1 ^ n? N такого, что Ь], LojPiV[a, 6]) < оо, необходимо и достаточно существования к? {0, ., г} такого, что Щд§\ьч[а, ь)->ьр[а, ъ] < оо.

2. Пусть J = [a, 6], д? Llog (a, 6], i>? Ll°c (a, Ь]. Тогда для существования q-l ^ n? N такого, что Ь], Lo, plt-[a, &]) < оо, необходимо и достаточно существования к? {0, ., г} такого, что < оо.

Теперь перейдем к построению приведенного соболевского класса. Пусть dn (Wqg, LqjP) V) < оо. Из теорем 1.2.1 и 1.2.2 следует, что существует разбиение Т* = {[at, (3i)Yi=1 отрезка [a, b] такое, что i0 < к, {1, ., г0} = UJ=1/", г i? Ji, если v|[ai>A] = 0, г? /2, если = 0 и i $ h, i? /3, если д? ХЙЦа*, A), v? L^K и г .

7−1 ^ г? /4, если д? Д], г-? Ll°c (ai} А] и г? 1 г UI2 U /3. q-1 ^.

При этом, если % G /3, то \1%$, 131\ьч[а{, рг]->ьр[сц,&] < оо для некоторого h G.

О, ., г}- если г G /4, то || I^^h^p^L^Pi] < оо для некоторого к G {О, ., г}.

Пространство сплайнов, по которому будет проводиться факторизация, определим как.

S (r — 1, [а, 6], Г*) = {s G Lo[а, 6]: s{a.iPi) G Vr-i{ah А), г = 1, ., г0}, где Vr-i (A) — множество полиномов степени не выше г — 1 на интервале А. Скажем, что функция /: [a, b] —> R принадлежит классу [а, 6]. если существует функция ip такая, что \(p\Lq[a, b] < 1 и ^ = при г е h, /(аи&-1= 0 при г G /2, /|(аг1д) = |(а<, А)) при г G /3, при г? /4, где с^ = - 1)!(г — к — 1)!.

Тогда любая функция h? W^g[a, b] представима в виде суммы h = / + s, где / G &] и S G S (r — 1, [а, Ь], Г,).

Пусть J С R — отрезок или полуось, М С LPtV (J) — выпуклое центрально-симметричное множество, Хм ~ линейная оболочка М, || • \хм — функционал Минковского множества М, Xm-+lpv оператор тождественного вложения линейной оболочки множества М в пространство LPjV (J), т. е.

Хм Э х M^p'v х G LP>V (J). гМ где х^ — производная.

В частности, если М = WgJa, b], то \х\м =.

— q r-го порядка в классическом смысле, определенная п.в. на J.

В предложении 1.2.1 установлена связь между колмогоровскими поперечниками dn (W^g[a, b], L0^v[a, b]) и dn{W^ga, b], LPtV[a, b]). Из этого предложения вытекает эквивалентность следующих утверждений:

C (g, v) < lMnpdn (WrqJa, b], L0tPjV[a, b})^ p, q, r n—"оо nPdn (W-!g[a, b], L0, p>v[a, 6]) < C (g, v) n>0° P, q, T.

C (g, v) < lim n’dnCfirja, &], LPtV[a, Ь]) ^ p, q, r n—"oo Ш n4n{Wlg[a, 6], Lp>, 6]) < C (g, v), p, q, r где p > 0, C (g, v) G (0, +oo) (то есть если для одного из поперечников при больших п выполнены порядковые неравенства, то для второго выполнены такие же порядковые неравенстваболее того, тогда порядковые неравенства не зависят от выбора приведенного класса W* [а, 6]). Также эквивалентными являются следующие утверждения: lim npdn (WI [а, Ь], L0, p>v[a, 6]) = C (r, р, q, д, v) и lim npdn{Wr [а, 6], LPtV[a, 6]) = C (r, p, q, g, v), где p > 0, C (r, p, q, g, v) G (0, +oo) (то есть если для одного из поперечников выполнено асимптотическое равенство, то для другого выполнено такое же асимптотическое равенство, и асимптотики поперечников приведенных соболевских классов не зависят от способа их построения). Также можно показать, что порядковые неравенства и асимптотики аппроксимативных чисел оператора вложения не зависят от способа построения приведенного соболевского класса. л.

В § 1.3 получена верхняя оценка поперечников dn (Wgg{J), LP) V{J)) и аппроксимативных чисел оператора Twrg-^Lpv в случае регулярных весов. Здесь J — отрезок [а, Ь] или полуось [а, +оо) — если J = [а, +оо), то полагаем.

Wq, g (J) = {(^ГЦ!Ir, g, v, a4> • IMI? ^ Введем некоторые обозначения.

Пусть —оо < а < Ъ < +оо, l^pcoo, lcg^ оо, д G Ь1оч [а, Ь),.

9−1.

X д v G Ьрс (а, Ь] — неотрицательные функции2. Положим G{x) — f g<>-l (t)dt, а b.

V{x) = JvP (t)dt. x.

Всюду далее будем полагать к :=^г + ^ — 0, >с —^г + ^ — ,.

— нг1.

Пусть рд > 1, pv > 1. Для каждого k G Z выберем и щ так, чтобы д. q д /fy'" 1 (если G (ar) < рдч~х для любого х, то := 6) и F^) = pjp (если < pvP для любого х, то щ := а).

Положим, а = lim b = lim щ. Рассмотрим множество Z концов к—*—оо к—>—оо непустых интервалов? j+i) П (??/+ь гц). Для любого конечного отрезка Д С (a, b) множество ЯП, А конечно. Значит, множество Z можно упорядочить: Z = {OJfcez, Cfc < Gfe+iЧисла jk и lk зададим равенством [Cb C/c+i] = Так как &+i)n (fi'> = 0 при j ф / и (77/4−1, 77/)П (т7//+1, 77/') = 0 при Z ф то числа и 4 определены однозначно.

Теорема 1.3.1. Пусть rG N, 1 ^ р < 00, 1 < <7 ^ 00, <7, г> Е Lq (J, ®ч-)-Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

1. функция д возрастает, функция v убывает и gv G LX (J);

2. г = 1 или функция губываетсуществует такое рд > 1, что fceZ.

2Если 6 = оо, то и е Ь] означает, что v 6 Lp[с, +оо) для любого с> а.

3. г — 1 или функция д возрастаетсуществует такое pv > 1, что fcez.

4. г ^ 2 и существуют рд, pv > 1 такие, что? |Cfc+i ~ Cfc|(r < kez оо.

Тогда.

ТГ- ^(J)) hm л Ш/гГп 11 T rn in ~ MU (4) lim m/rrn iT г7n in ~ M*' n—"схз A"(vvjl0, IJ, Lp[0, lj) w.

Условие 2 в случае г = 1 совпадает с условием теоремы о верхней оценке аппроксимативных чисел в работе Я. Ланга, О. Мендеза и А. Неквинды [94]. При этом, если 1.