Решение типовых задач управления

1. Задача № 1. Линейное программирование

1.1 Условие

1.2 Решение

1.3 Ответ

2. Задача № 2. Транспортная задача

2.1 Условие

2.2 Решение

2.3 Ответ

3. Задача № 3. Прогнозирование

3.1 Условие

3.2 Решение

3.3 Ответ Заключение Источники и литература управленческий линейный транспортный планирование

1. Задача № 1. Линейное программирование

1.1 Условие Для производства двух видов изделий, А и В предприятие использует три вида сырья (I, II, III). Условия задачи приведены в таблице. Необходимо составить такой план продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной.

1.2 Решение

1. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим:

x1 — число единиц изделий вида А, планируемых к производству;

x2 — число единиц изделий вида В, планируемых к производству.

Х = (х1;х2) -план выпуска продукции.

Цель — достичь максимальной прибыли.

Целевая функция:

F (x) = 9×1+7×2 >max

Система ограничений на использование сырья будет иметь следующий вид:

Естественные ограничения:

х1? 0, х2? 0

2. Решим задачу графическим методом:

Построим область допустимых решений:

1) 5×1 + 7×2 = 256

2) 6×1 + 6×2 = 288

3) 7×1 + х2 = 363

OABC — область допустимых решений. Строим вектор n (9;7) и перпендикулярно ему линию уровня F=0. Переместим линию уровня по направлению вектора n и находим последнюю точку касания линии уровня с областью допустимых решений. Из графика видно, что этой точкой является точка В, найдем ее координаты:

5(48 — х2) + 7×2 = 256

х2 = 8

х1 = 40

Решив систему, получаем координаты точки В (40;8), в которой и будет оптимальное решение, т. е.:

Хопт = (40;8),

при этом

Fmax = 9*40 + 7*8 = 416

1.3 Ответ Управленческое решение разработано. Данному предприятию выгоднее всего выпускать 40 изделий вида, А и 8 изделий вида В, при таком производстве прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной и составит 416 д.ед.

2. Задача № 2. Транспортная задача

2.1 Условие Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенные в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с четырех складов (1, 2, 3, 4). Найти оптимальное распределение поставок, при котором суммарные затраты на перевозку были бы минимальными.

2.2 Решение

1. Определяем тип задачи (открытая или закрытая):

?А4 = 30+25+15+30 = 100

?В3 = 40+20+40 = 100

?А4 = ?В3

Задача является открытой.

2. Обозначим xij — количество продукции, доставляемой с i-го склада в j-й магазин.

xij (i = v4; j = v3)

х = (xij)

4Ч3

Тогда модель будет иметь следующий вид:

F (x) = 5×11+3×12+х13+3×21+4×22+5×23+4×31+2×32+3×33+2×41+4×42+5×43 > min

При ограничениях:

xij? 0

3. Определим исходный план перевозок при помощи метода минимальной стоимости тарифа:

Метод потенциалов: число загруженных клеток определяется по формуле

m+n-1,

где m — число поставщиков, n — число потребителей.

3+4−1=6,

таким образом, нужно заполнить 6 клеток.

Потенциалы рассчитываются по загруженным клеткам, исходя из условия:

ui + vj = cij,

где ui — потенциал поставщика, vj — потенциал поставщика, cij — затраты.

Общая сумма транспортных расходов:

F (x1) = 30*5+5*4+20*5+15*2+10*2+20*5 = 420 (ден. ед.)

Рассчитаем потенциалы:

Присвоим первому поставщику потенциал U1=0. Значения потенциалов заносим в таблицу.

U1+v1 = 5

U2+v2 = 4

U2+v3 = 5

U3+v2 = 2

U4+v1 = 2

U4+v3 = 5

Если план перевозки продукции является оптимальным, то для всех свободных клеток должно выполняться условие:

?ij = ui + vj — cij? 0

Осуществим проверку первоначального плана:

?12 = 0 + 7 — 3 = 4? 0

?13 = 0 + 8 — 1 = 7? 0

?21 = -3 + 5 — 3 = -1? 0

?31 = -5 + 5 — 4 = -4? 0

?33 = -5 + 8 — 3 = 0

?42 = -3 + 7 — 4 = 0

Условие оптимальности не выполняется.

Для улучшения плана необходимо переместить перевозку в ячейку, где условие оптимальности нарушено больше всего, т. е. разность vj-(ui+cij) максимальна. Такой клеткой является ячейка 1;3.

Перемещение производится так, чтобы по отношению к выбранной ячейке образовать связку. Для этого необходимо провести замкнутую ломаную линию, состоящую из горизонтальных и вертикальных линий, в которой одной из вершин полученного многоугольника является свободная ячейка, а остальные вершины должны находиться в занятых ячейках. Далее каждой ячейке в связке поочередно присваиваются знаки плюс и минус, начиная со свободной. Из ячеек со знаком минус перемещаем перевозки в ячейки со знаком плюс. Чтобы не получить отрицательных перевозок, перемещаем наименьшее количество продукта, которое находится в ячейках связки со знаком минус.

Минимальная поставка — 20.

Общая сумма транспортных расходов:

F (x2) = 10*5+20+5*4+20*5+15*2+30*2 = 280 (ден. ед.)

Рассчитаем потенциалы:

Присвоим первому поставщику потенциал U1=0. Значения потенциалов заносим в таблицу.

U1+v1 = 5

U1+v3 = 1

U2+v2 = 4

U2+v3 = 5

U3+v2 = 2

U4+v1 = 2

Если план перевозки продукции является оптимальным, то для всех свободных клеток должно выполняться условие:

?ij = ui + vj — cij? 0

Осуществим проверку первоначального плана:

?12 = 0 + 0 — 3 = -3? 0

?21 = 4 + 5 — 3 = 6? 0

?31 = 2 + 5 — 4 = 3? 0

?33 = 2 + 1 — 3 = 0

?42 = -3 + 0 — 4 = -7? 0

?43 = -3 + 1 — 5 = -7? 0

Условие оптимальности не выполняется.

Для улучшения плана необходимо переместить перевозку в ячейку, где условие оптимальности нарушено больше всего, т. е. разность vj-(ui+cij) максимальна. Такой клеткой является ячейка 2;1.

Минимальная поставка — 10.

Общая сумма транспортных расходов:

F (x3) = 30+10*3+5*4+10*5+15*2+30*2= 220 (ден. ед.)

Рассчитаем потенциалы:

Присвоим первому поставщику потенциал U1=0. Значения потенциалов заносим в таблицу.

U1+v3 = 1

U2+v1 = 3

U2+v2 = 4

U2+v3 = 5

U3+v2 = 2

U4+v1 = 2

Если план перевозки продукции является оптимальным, то для всех свободных клеток должно выполняться условие:

?ij = ui + vj — cij? 0

Осуществим проверку первоначального плана:

?11 = 0 + (-1) — 5 = -6? 0

?12 = 0 + 0 — 3 = -3? 0

?31 = 2 + (-1) — 4 = -3? 0

?33 = 2 + 1 — 3 = 0

?42 = 3 + 0 — 4 = -4? 0

?43 = 3 + 1 — 5 = -1? 0

Условие оптимальности выполняется.

Xопт. =

Fmin = 220 ден. ед.

2.3 Ответ Управленческое решение разработано. Оптимальное распределение поставок содержит 6 перевозок: от магазина, А — 10 ед. продукции ко второму складу и 30 ед. к четвертому; от магазина В — 5 ед. продукции ко второму складу и 15 ед. к третьему; от магазина С — 30 ед. к первому складу и 20 ед. ко второму. При таком плане перевозки продукции суммарные затраты будут минимальны и составят 220 ден.ед.

3. Задача № 3. Прогнозирование

3.1 Условие Построить прогнозную функцию x (t) = ao + a1*t полиномиальным методом и методом наименьших квадратов. Сделать прогноз на 2003 год.

3.2 Решение

1. Полиномиальный метод.

x (t) = ao + a1*t — линейная функция, поэтому для решения достаточно использовать два последних результата наблюдений (за 2001 и 2002 год).

Составим систему уравнений:

ao + a1 — (ao + 2a1) = 13,5 — 12,9

— a1 = 0,6

a1 = -0,6

a0 = 13,5 + 0,6 = 14,1

a0 = 14,1

Таким образом, прогнозная функция имеет следующий вид:

x (t) = 14,1- 0,6*t

х (2003) = 14,1 — 0,6*3 = 12,3

х (2003) = 12,3 — прогноз на 2003 год.

2. Метод наименьших квадратов.

Составим вспомогательную таблицу для удобства вычислений:

Составим систему уравнений:

Таким образом, прогнозная функция имеет следующий вид:

x (t) = 12,81+ 0,05*t

х (2003) = 12,81+ 0,05*6 = 13,11

х (2003) = 13,11 — прогноз на 2003 год.

3.3 Ответ Управленческое решение разработано.

Прогнозная функция, построенная полиномиальным методом, имеет вид x (t) = 14,1- 0,6*t. Прогноз на 2003 год — х (2003) = 12,3. Прогнозная функция, построенная методом наименьших квадратов методом, имеет вид x (t) = 12,81+ 0,05*t. Прогноз на 2003 год — х (2003) = 13,11.

Заключение

Управленческое решение — это творческий акт субъекта управления, результат анализа, прогнозирования, оптимизации, экономического обоснования и выбора альтернативы из множества вариантов, направленный на устранение проблем, которые возникли в объекте управления.

В данной курсовой работе были рассмотрены решения задач по принятию решений в условиях полной определенности (линейное программирование, транспортная задача) и по планированию и прогнозированию.

Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания экстремальных значений линейной функции, но неизвестные которой наложены линейные ограничения. На практике задачи линейного программирования применяются при решении проблем использования ресурсов, распределении земельных участков и др.

Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Алгоритм решения транспортной задачи может использоваться при решении некоторых экономических задач, не связанных с транспортировкой продукции, например оптимальное распределение за работниками организации каких-либо функций, что позволит определить, сколько времени и какую функцию должен выполнять каждый работник, чтобы выполнить максимально возможный объем работ.

Прогнозирование является одним из основных этапов управленческого процесса и позволяет предвидеть возможные последствия принимаемых решений, тенденции развития проблемных ситуаций. На практике такие задачи могут применяться при принятии инвестиционных решений на финансовом рынке (например, если инвестор предполагает, что цена акции вырастет, он покупает акции, надеясь продать их позже по более высокой цене, и, наоборот, прогнозируя падение цен, инвестор продаёт акции, чтобы впоследствии выкупить их обратно по более низкой цене), для оценивания кредитоспособности заёмщиков, при прогнозировании потребительского спроса и др.

Источники и литература

1. Ломакина Л. С., Прохорова Е. С. Разработка управленческих решений. Методические указания к решению типовых задач: Учебное пособие. — Нижний Новгород, Издательство Волго-Вятской академии государственной службы, 2006. — 26 с.