Доказательства теорем Вейерштрасса (с несколькими примерами на каждую теорему)

Поэтому достаточные признаки можно использовать для нахождения оптимального решения из совокупности допустимых точек, удовлетворяющих необходимым признакам. Признаки оптимальности приведем в случае, когда в (3.1). В этом случае задачи (3.1) принимают вид: иназываютсязадачамибезусловной оптимизации. Для того, чтобы точка была точкой локального экстремума в задачах (3.2) необходимо, чтобы Этоестьнеобходимыйпризнак оптимизации I порядка. Все точки x0, удовлетворяющие условию (3.3), называются стационарными точками (точки подозрительные на экстремум).Средистационарныхмогутбыть точки, не являющиеся точками экстремума. Пример Уравнение (3.3) имеетвид: 3×2=0. Отсюда получим стационарную точку x0=0 .Построив график функций f можно убедится, что точка x0=0 не является точкой экстремума (это есть точка перегиба графика f).Следующие примеры показывают, что с помощью условия (3.3) можно показать и отсутствие решения в задачах (3.2) .Пример.Уравнение (3.3) имеетвид: Эта система несовместна, то есть нет ни одной стационарной точки и наша задача не имеет решения. Пример

Стационарной является единственная точка. Однако она не является точкой минимума, так как, например для точки имеем: .Условия (3.3) выполняется как для точки максимума, так и для точки минимума. Поэтомудлявыясненияхарактера экстремума стационарных точек применяют к ним более сложные необходимые признаки оптимальности II порядка. Пусть в (3.2) функция дважды дифференцируема в точке x0. Для того, чтобы x0 была точкой локального максимума (минимума) в задаче (3.2) необходимо, чтобы длявсех.

Здесь матрица Гессе функции f в точке x0, а — скалярное произведение. Однако при выполнении условий (3.4) x0 не обязано быть точкой локального экстремума. Дляэтогонужно, чтобы она удовлетворяла и достаточным признакам. Для того, чтобы x0 была точкой локального максимума (минимума) в задаче (3.2) достаточно, чтобы длявсех. Условие (3.4) и (3.5) связаны с вогнутостью и выпуклостью функции f.

Известно, что дважды дифференцируемая на выпуклом множестве Х функция f вогнута (выпукла) тогда и только тогда, когда для любых векторов и справедливо условие (3.4). В случае же выполнения условия (3.5) говорят о строгой вогнутости (выпуклости) функции f. Заключение

Значительное место в работах Вейерштрасса занимает теория аналитических функций. Ему принадлежат: теорема о том, что функцию, аналитическую в круговом кольце, можно разложить в степенной ряд по целым положительным и отрицательным степеням переменной (эту теорему независимо от Вейерштрасса доказал французский математик П. Лоран, его именем она и названа); построение теорем об аналитическом продолжении, теорема об аналитичности суммы равномерно сходящегося в некоторой области ряда аналитических функций, разложение целых функций в бесконечные произведения (обобщение разложения многочленов на множители), новое построение теории эллиптических функций, создание основ теории аналитических функций многих переменных, работы по теории алгебр, функций и абелевых интегралов. К вариационному исчислению относятся: исследование достаточных условий экстремума интеграла (условие Вейерштрасса), построение вариационного исчисления, для случая параметрического задания функций, когда все формулы приобретают особенно симметричный вид и вместе с тем достигают наибольшей общности, изучение «разрывных» решений в задачах вариационного исчисления и др.

В дифференциальной геометрии Вейерштрасс изучал геодезические линии и минимальные поверхности. В линейной алгебре Вейерштрассу принадлежит построение теории элементарных делителей, относящейся к приведению матриц к каноническому виду и имеющей большое значение для теории систем линейных, в том числе дифференциальных, уравнений. Вейерштрасс доказал теорему о том, что комплексные числа образуют над полем действительных чисел единственную коммутативную алгебру без делителей нуля (1872г.). Вейерштрасс занимался приложениями математики к механике и физике и поощрял своих многочисленных учеников работать в этом направлении. Учениками Вейерштрасса были: С. В. Ковалевская, Г. Миттаг-Леффлер, К. Шварц, И. Фукс, Ф.

Шоттки, Л. Кенигсбергер и другие.

Список литературы

Высшая математика для экономистов / Под ред. Кремера Н. Ш. и др. — М.: ЮНИТИ, 1998;1999,2000,2003,2004.- 471с. Гусак А. А. Высшая математика: в двух томах: том1: Учебник для студентов вузов.- Минск: Тетра Системс, 2000.-544с.Гусак А. А. Высшая математика: в двух томах: том2: Учебник для студентов вузов.- Минск: Тетра Системс, 2000.- 484с. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.

В 2-ух частях. Часть 1.-М.: ОНИКС, 2005.-304с.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух частях. Часть 2.-М.: ОНИКС, 2005.-416с.Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов.-М.: Астрель, 2004.- 654с. Зимина О. В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебный комплекс.- М.: МЭИ, 2000.- 328с. Кустов Ю. А.

и др. Математика: основы математического анализа: теория, примеры, задачи.- М.: Айрис Пресс, Рольф, 1998.- 272с. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник /Под ред. Ермакова В. И. и др. — М.: ИНФРА-М, 2001, 2003, 2004.-656с.Сборник задач по высшей математике для экономистов /Под ред. Ермакова В. И. и др.- М.: ИНФРА-М, 2003, 2004.- 575с. Щипачев В. С. Математический анализ.- М.: Высшая школа, 2001.-176с.