Достаточные условия оптимальности в задачах управления

В работе построен аналог теории Якоби достаточных условий оптимальности управляемых процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Теория сопряженных точек по Якоби обобщается на задачи оптимального управления, в которых не выполняются классические предположения этой теории.

В настоящее время можно выделить 3 основных подхода к построению достаточных условий оптимальности в теории оптимального управления: обобщение метода Beйерштрасса [l6,I7], основанного на использовании поля экстремалей, метод динамического программирования [l3-I5,29,39] и основанный на нем метод регулярного синтеза [14,15] и достаточные условия 2-го порядка, полученные в рамках принципа Лагранжа [30,36,lJ. В данной работе предлагается новый геометрический подход, основанньй на привлечении теории лагранжевых многообразий и симплектической геометрии. Для иллюстрации предлагаемого метода и его связи с методами поля экстремалей и динамического программирования рассмотрим два примера.

I. Рассмотрим задачу минимизации функционала.

ФОН!№ о в классе Скривых J/г [4, У lf К с фиксированными концами /ft>)=*o, = функция Jtofa&j), fc е принадлежит классу С f ^^ фиксированы. Для простоты будем предполагать, что выпукла по Ш при фиксированных (x7i) и матрица вторых частных производных д fto/dtidci положительно определена при всех (х, i) t.

Теория Якоби достаточных условий минимума функционала (4-) основывается.

1,11,11, 22] на привлечении понятия поля экстремалей. Поле экстремалей определяется как семейство решений задачи.

Коши х = i/(X, 4r)? x (i0) = (*)' для некоторой окрестности W0 с (p* точки xv и некоторой.

С ^—функции V: W^ Й?" ', где множество W с IE*** $ открыто и)(/0 K-J-toJcl^. На функцию V накладывается дополнительное требование, состоящее в том, что интеграл Гильберта (ft (x,*J)-(?•*) Л (3) X зависит тсяько от концов Х (1')? X{i") кривой X • [¦?', i" J —If?*- (X Ш} i) е [Л/ «]. Условие Вейерптрасса.

-?>(*>">*)-a-v) выполняется в рассматриваемом случае автоматически, поскольку функция $ 0 foe, и., У выпукла по и, .

Если гладкую кривую J/: Ь0> У ^ можно включить в поле экстремалей (2.), т. е. ft (Ь) -V (ft ft), то кривая ft доставляет локальный минимум функционалу (1) [*f0, ki. Достаточные условия Якоби есть не что иное, как условия, при которых кривая ft может быть включена в поле экстремалей. В данной работе мы поступаем аналогично, но в качестве исходного объекта, вместо поля экстремалей, мы используем лагранжевы многообразия. Фактически лагранжевы многообразия уже использовались неявно Л. Янгом [^о]. Необходимые сведения о лагранжевых многообразиях и связанных с ниш понятиях содержатся в [3,1/, 2 33, Некоторые из них мы будем приводить по ходу изложения в удобной для' нас форме.

Пользуясь терминологией механики, будем называть кокасатель-ное расслоение T^fR*1 фазовым пространством. Через у будем обозначать координаты в Т*, двойственные к координатам х. в /в этих координатах значение и/i/ кокасательного вектора W е Т* If?*1 с координатами у*) на касательном векторе есть + Выбором этих координат пространство отождествляется с ^ =.

Z=(i, x)7 y = ГТ обозначим проекцию, ЗГ- «-> *. На пространстве Т* ^ определены каноническая I-форма 00i= %dx и симплектическая структура со2- = ctw1 = dy л dx .

Определим гамильтониан Н: (^P^xlR и{+во}.

Будем предполагать, что функция Н конечна на Т*. Тогда Н принадлежит классу. Пусть С^{-кривая} у: удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа р/0]. Определим поднятие ff: [i0fijт Т* fK5^ кривой ^ форьделой.

Тоща, как хорошо известно [" fyO], кривая ff удовлетворяет уравнениям Гамильтона и обратно, если С^{-кривая} является решением уравнений Гамильтона (*/), то ее проекция Jfj' • ^ удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа.

Будем для простоты считать, что произвольное решение системы (к) может быть продолжено на всю вещественную ось. Обозначим через <�р*: T^JR^—" J*R*1 двупараметрическое семейство диффеоморфизмов, порожденное системой Of), т. е. при произвольных фиксированных ге 7*11?^ кривая ij (Ц = уt? есть решение задачи Коти для системы (Ь) с начальным условием у (s) = 2. В]. Отметим, что отображения ^ симплектические, т. е. сохраняют симплектическую структуру [3], (fs)*003″ =.

Предположим теперь, что кривую ft можно включить в поле экстремалей (I) для некоторого поля направлений Определим подмногообразие L ^ Г*IR*1 * Р формулой = И ы (х> I е •.

Мы будем рассматривать L также, как семейство подмногообразий Lt=L (с т*^, ie (R. Подинтегральное выражение в (3) есть не что иное, как значение I-формы = у dx — Ai на векторе jtL {b) +^, где Я: [Г, I «J -> ~ поднятие кривой X в L, т. е. {XL (-lr)L ^ •?» ], и.

7fX± - X. Из инвариантности интеграла (3) нетрудно тогда вывести, что где L * IR — вложение, и следовательно, подмногообразия с Г*!!?*1 лагранжевы и, если (в, s)6 L, то при i близких к s сfj 2 е t^ [3], Обратно, предположим, что существует Ol-^-мерное С^{-подмногообразие} /, cT^IRN fR? такое, что 1) сужение.

— диффеоморфизм на некоторое открытое множество Л^хИ?, A) для всех и В) -0. Тогда кривая ft включается в поле экстремалей, задаваемое полем направлений 1) = (^ji^) * зс^)е^, где Hi — ^l^ips^-t} «СУ®-61 216 W на слой t =.

Теперь рассмотрим, как интерпретируется условие Якоби /отсутствие сопряженных к ic точек в интервале / и как из. него можно вывести существование требуемого семейства лагранжевых многообразий. Предположим, что мы уже построили подмногообразие удовлетворяющее условиям и 3). Подмногообразия L±c, а 1}лагранжевы. Обозначим через ^ касательное пространство к в точке } Тогда -^лагранжева плоскость линейного симплектического пространства Т^щ = Обозначим через p=dy, координаты в этом пространстве, проекцию (р?^)^ обозначим тем же символом f: fR If?'1'. Для произвольной лагранжевой плоскости Л iP^**" положим глл^ Л dim (ГХ). Поскольку f (H — №>) ' (fs^ > g то = Заметим теперь, что, если для всех ie.

ГСиьк — то для некоторой окрестности ]/<^T*IR xlR множества Г (?) | ^Рч>А]| многообразие Lf) V будет удовлетворять условиям i), 2), з). Следовательно, достаточно доказать существование семейства лагранжевых плоскостей J[^ с, такого, что h — % h и faJnk Xi =п для всех е У, гДе f^ = (^Д,. | Tfa) ' В ЭТ0М случае можно по~ л ожить i где? >0? L° — гиперплоскость в T ^Р'г= /J?" 21^ проходящая через точку tf (i0) и параллельная. j ^^.

Семейство линейных симплектических диффеоморфизмов i llv —* —:>fi?2'Vv, как легко убедиться, порождено гамильтоновой системой с квадратичным гамильтонианом К ($ 7i) — |)7 f — (P>l)< Уравнения (5) — это дифференциальные уравнения Якоби для I" [4о]|, и из определения сопряженной точки следует, что сопряженные к i0 точки — это те точки ie R, для которых fЪлк ^ n-i, где / = Таким обРазом> условие Якоби означает, что гсоък ^ /г для всех.

Поскольку отображения vi/^ - линейные симплектические, то.

1ч > J поток ^ - (р jp порождает поток vps: У М, А (|г) на лагранжевом грассманиале Л fr-) М 7 fs -'ЛА е.

6 Л Си), лагранжеву плоскость Л ^ И? п мы рассматриваем одновременно как подпространство в ft? К и как точку многообразия Л (*-)/. Траектория: i ^ ^ Г € Л Gt) ie [i0? ,.

— ю потока ^ пересекает замкнутое множество rtutк Д < в единственной точке X при 4= i0. Из положительной определенности при всех i матрицы Ъ^К/дрдр можно тоща вывести, используя технику работы, что существует близкая к J° траектория, А: , потока^, не пересекающая JlOrb), т. е. fOfck = Kt для всех i ?

2. В качестве следующего примера рассмотрим задачу оптимального быстродействия с фиксированными концами для управляемой системы i = P (x, tb), хеЪ M.6U, (е) где 17 с [R^ отображение непрерывно вместе с частными производными ^/Зх «допустимые управления суть измеримые отображения CC']i07iJU. Траекторию Ih^ системы (б) без самопересечений вместе с соответствующим ей управлением будем называть локально оптимальной, если для некоторой окрестности W множества ^([0,Т]) и для всякой траектории^: [07 7]] IV системы из равенств ^ (0) = jf (0), jfl {Tj следует ^ Т.

Положи = | U eU}? IR>U {^J.

Достаточным условием оптимальности пары U-) согласно методу динамического программирования [15-iS] является существование ^ -функции.

S ¦¦ IR определенной на некоторой окрестности W множества ^ ([07 Tj) и такой, что для почти всех? е[о, Г]. Предположим, что функция /V конечна и принадлежит классу С, и пусть кривая^- [ОД] Г*/??11, удовлетворяет уравнениям Гамильтона (Ь) и //= i. Тогда, как и выше, можно определить потоки ср" 1: IP*1, (j²* = и Л ности //fy,*) по у, здесь 1Шк ffl 4 п.-i для всех? e[0,TJ. Оказывается, однако, если функция = nwdc^- неубывающая на [07 Г], то существует семейство лагранжевых плоскостей? е[07Г]? такое, что ГаИ^Л^^/г и TdU{f (b)).

Отсюда же нетрудно вывести, что существует лагранжево многообразие.

L <= Гтакое, что //(2~)=i], #) • Из Условия ^ следует, что L П V хорошо проектируется на fi^ ^ для некоторой окрестности ]/ множества ^([0,Т])и, следовательно, задается производящей функцией.

Функция и будет требуемой в методе динамического программирования. Условие, что — неубьвающая функция, равносильно тому, что для всякого решения J ^ zfefO, 7~3, уравнений из условий = = О следует ^^.

Интерпретация поля экстремалей в примере I как семейства лагранжевых многообразий и решения? уравнения Беллмаяа (?¦) в примере 2 как лагранжева многообразия не является новой /см., например, [i], § 4.4/. Однако, накладывая дополнительные требования гладкости на эти многообразия, мы получаем возможность ограничиться рассмотрением касательных пространств к этим многообразиям /лагранжевых плоскостей/ в точках поднятия рассматриваемой экстремали в 11 Производящие квадратичные формы этих лагранжевых плоскостей удовлетворяют некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению, коэффициенты которого определены рассматриваемой экстремалью, и для проверки оптимальности рассматриваемой экстремали нужно проверить выполнение некоторых условий для одного фиксированного решения этого уравнения*.

В работе получены следующие основные результаты. I. Построен аналог теории сопряженных точек по Якоби в терминах свойств некоторого потока на лагранжевом грассманиане для задач оптимального управления, в которых не выполняются классические предположения этой теории, и на этой основе получены достаточные условия оптимальности в задаче Лагранжа и в задаче оптимального быстродействия.

2. Получены необходимые условия Якоби в задаче Лагранжа с фиксированными концами незакрепленным! временем для неавтономных управляемых процессов.

3. Найдены достаточные условия локальной единственности решения двухточечной задачи управления.

4. Выделен один класс скользящих режимов и получены достаточные условия оптимальности экстремалей, содержащих участки скользящих режимов этого класса.

При дополнительных предположениях на управляемый процесс полученные достаточные и необходимые условия оптимальности превращаются в классические условия Якоби вариационного исчисления. В случае отсутствия переключений построенные в главе II достаточные условия согласуются с условиями, полученными в работе [ю] в рамках принципа Лагранжа.

Проверка полученных в работе достаточных условий представляется более простой, чем условий регулярного синтеза [*I4,I5]. Кроме того условия регулярного синтеза не выполняются для рассматриваемых в главе III особых экстремалей. В случае же локальной единственности /и следовательно, оптимальности/ решения двухточечной задачи управления названные вше методы не работают.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

2. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. М.: Наука, 1979. — 207 с.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1974. 432 с.

4. Арнольд В. И. О характеристическом классе, входящем в условия квантования. Функц. анализ, 1967, т. I, вып. I, с. I-I4.

5. Арнольд В. И. Контактные многообразия, лежандровы отображения и особенности волновых фронтов. УМН, 1974, т. 29, вып. 4, с. 153−154.

6. Арнольд В. И. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы. Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 3, с. I-I3, вып. 4, с. 8−17.

7. Арнольд В. И. Особенности систем лучей. УМН, 1983, т. 38, выи. 2, с. 77−147.

8. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1976. — 240 с.

9. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982. — 304 с.

10. Арутюнов А. В., Тынянский Н. Т. Условия первого и второго порядка в задачах оптимального быстродействия. УМН, 1981, т. 36, вып. 6, с. 199−200.

11. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гос-техиздат, 1955. — 248 с.

12. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950. — 348 с.

13. Болтянский В. Г. Достаточные условия оптимальности. ДАН СССР, т. 140, Я 5, 1961, с. 994−997.

14. Болтянский В. Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования. Изв. АН СССР, сер. матем., 1964, т. 28, № 3, с. 481−514.

15. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. — 408 с.

16. Величенко В. В. К обобщению метода Вейерштрасса на неклассические задачи. ДАН СССР, 1972, т. 207, tf 4, с. 769−772.

17. Величенко В. В. О методе поля экстремалей в достаточных условиях оптимальности. ЖВМ и МФ, 1974, т. 14, № I, с. 45−67.

18. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. — 507 с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. -М.: Наука, 1973. 25S с.

20. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимального управления. -Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.Т. 6. М., 1976, с. 133−20©.

21. Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах. ДАН СССР, 1962, т. 143, $ 6, с. 1243−1245.

22. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. — 228 с.

23. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981. — 504 с.

24. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1977. — 188 с.

25. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. — 296 с.

26. Закашокин В. М. О лагранжевых и лежандровых особенностях. -Функц. анализ, 1976, т. 10, вып. I, с. 26−36.

27. Зубов В. И. Лекции по теории управления, Л.: Изд-во ЛГУ, 1972, — 204 с.

28. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. — 49 В с.

29. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. — 44S с.

30. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями. -УМН, 1978, т. 33, вып. 6, с. 85−148.

31. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1972. 576 с.

32. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления. -В кн.: Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979, с. 134−173.

33. Мищенко А. С., СтернинБ.Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978. -352 с.

34. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. — 528 с.

35. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. — 392 с.

36. Сарычев А. А. Индекс второй вариации управляемой системы. -Матем. сб., 1980, т. ИЗ, $ 3, с. 464−486.

37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 720 с.

38. Хирш М. Дифференциальная топология.-М.: Мир, 1979. 280 с.

39. Хрустал ев М. М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнений Беллмана. ДАН СССР, 1978, т. 242,5, с. 2023;2026.

40. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. — 488 с.- 149.

41. C&rctiWodo г/ С. VWiodionsrccfin^Kg. uW p&rlitile dcffere-^itA-tyPbLtkusng&b e, rsie-r Orc/yiuny. cfiUp г effort yl ! Teudner f 1335 — bOl s,.

42. Web stun, Symp&ciic тапС^оЫз cuidtheirЬц rctyi^ULY) StA&nWll^oUs. Ло (/, 6>t IUdik.7 iSli, v. G, p.

43. Л. .

44. Ананьев В. В. О распространении теоремы Якоби на неклассические задачи. Л., 1981, деп. ВИНИТИ, № 4524−81, с. 1−30.

45. Ананьев В. В. Лагранжевы многообразия и достаточные условия оптимальности. -Вестн. ЛГУ, сер. матем., механ., астроном., 1982, JP 13, с. 57−62.

46. Ананьев В. В. Оптимальность траекторий в задаче быстродействия с подвижными концами. Л., 1982, деп. ВИНИТИ, 6176−82, с. 1−33.