Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Оптимальные регуляризирующие операторы К-го порядка

Диссертация: Оптимальные регуляризирующие операторы К-го порядка
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Показана эффективность использования предложенных Рк-операторов для численного решения некоторых обратных задач математической физики, нахождения приближенных решений интегральных уравнений I рода и их конструктивность для программной реализации на ЭВМ. Б работе предложены и исследованы новые регуляризируто-щие операторы к-го порядка для некорректно поставленных задач (1−3), изучены их свойства… Читать ещё >

Содержание

  • Глава I. Рк-операторы и влияние процедуры регуляризации для интегральных уравнений I рода типа свертки
    • I. О некоторых обратных задачах математической физики
    • 2. Регуляризирущие операторы для уравнений типа свертки
    • 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризовэнного решения от точного
  • Глава II. Оптимальные Рк-алгоритмы поиска приближенных решений
    • I. (С,|)-оптимальный выбор параметра регуляризации
    • 2. Оптимальные регуляризованные решения и фильтры, определяемые интегральными операторами свертки
    • 3. Определение вероятностных характеристик сигнала и шума для оптимальных
  • Рк-решений
    • 4. Последовательное оценивание решений и статистическая регуляризация
  • Глава III. Рй-операторы в обратной задаче гравиметрии для нескольких контактов
    • I. Оценка числа контактных поверхностей
    • 2. Определение параметров геометрически подобных контактных поверхностей

Оптимальные регуляризирующие операторы К-го порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Диссертация посвящена разработке численных методов решения обратных задач математической физики, сводящихся к линейным интегральным уравнениям I рода, и созданию эффективных алгоритмов решения таких уравнений.

Актуальность исследования обусловлена тем, что рассматриваемые задачи возникают цри моделировании важных для научно-технического прогресса проблем восстановления сигналов, искаженных приборами или окружающей средой, идентификации линейных систем, интерпретации геофизических наблюдений и зд.

Функциональная связь между характеристиками изучаемого объекта ^ и результатами наблюдений и* задается оператором, А таким образом, что математическая модель обратной задачи описывается уравнением I рода Я, (I) где решение j и правая часть ^ принадлежат заданным метрическим пространствам: J е г Sr Y- (t*l/<= VА: Y —> V.

Во многих случаях задача решения уравнения (I) является некорректно поставленной. Основы общей теории и методов решения некорректных задач были заложены в трудах А. Н. Тихонова 18 ], развиты в работах М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и многих других советских ученых. Подробная библиография приводится в монографиях tt, 19, тЛ, rs-, щ Ц fo, Щ.

В частности, упомянутые задачи сводятся к линейным интегральным уравнениям Фредгольма I рода.

Г*.

А} = (2) и их важному подклассу — линейным интегральным уравнениям I рода типа свертки.

ОО.

3).

Аг н г ю (1).

V — ©-О.

Поиск решения J уравнения (I) в случае, когда цравая часть и известна приближенно, связан с рядом трудностей. Так, приближение к J, найденное по U> классическими численными методами (типа наименьших квадратов), может как угодно сильно отличаться в заданной метрике пространства У от точного решения, вследствие чего возникает проблема устойчивости приближенного решения относительно малых изменений исходных данных. Отсутствие в реальных задачах большой априорной информации для построения приближенных решений с оптимальными характеристиками (необходимой, например, для метода винеровской фильтрации) требует исследования возможностей уменьшения, а также наиболее полного использования такой информации. Наконец, программная реализация автоматической обработки результатов наблюдений в условиях большого объема данных и многократного повторения процедуры вычислений при разных значениях параметров вызывает необходимость создания регуляризирующих алгоритмов для уравнений (1−3), эффективных по использованию вычислительних ресурсов — памяти ЭВМ и времени счета.

Научная новизна и структура диссертационной работы.

Б работе предложены и исследованы новые регуляризируто-щие операторы к-го порядка для некорректно поставленных задач (1−3), изучены их свойства и построены эффективные устойчивые алгоритмы, реализованные в виде программ для ЭВМ .

Заключение

.

За последние годы значительно расширился круг проблем, решаемых с помощью метода регуляризации. В связи с этим разрабатываются как общие, так и конкретные, приспособленные к специальным классам задач, регуляризирующие алгоритмы. Они являются необходимой составной частью автоматизации обработки данных эксперимента, и создание таких алгоритмов представляет многообещающую область исследований.

В диссертации построены регуляризирующие операторы к-го порядка и применены для численного решения некорректно поставленных задач. Основные выводы работы заключаются в следующем:

1. Показана эффективность использования предложенных Рк-операторов для численного решения некоторых обратных задач математической физики, нахождения приближенных решений интегральных уравнений I рода и их конструктивность для программной реализации на ЭВМ.

2. Установлены асимптотические свойства процедуры регуляризации к-го порядка для важных классов уравнений типа свертки и изучены основные характеристики получаемых Рк-решений.

3. Проанализировано влияние порядка «к» на оптимальное значение параметра регуляризации цри поиске оптимальных приближенных решений. Доказано, что полученные результаты позволяют активно использовать априорную информацию при решении задачи оптимальной линейной фильтрации, а цри статистической регуляризации — уменьшить число необходимых измерений.

4. Показано, что Рк-алгоритмы позволяют существенно уменьшить объем вычислений (по сравнению со случаем к = 0) при циклических обращениях к ним.

5. Предложен и исследован новый способ устойчивого определения числа, глубин и форм контактных поверхностей с использованием Рк-операторов в задаче гравиметрии.

6. Разработан и внедрен комплекс программ для численного решения интегральных уравнений I рода типа свертки с помощью Рк-алгоритмов.

Регуляризирующие операторы к-го порядка могут быть широко использованы в системах полной автоматической обработки наблюдений.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям: П. Н. Заикину и И. Ф. Дорофееву за руководство работой, а также А. Х. Пергамент за плодотворное обсуждение ряда вопросов, Б. Г. Филатову за полезное обсуждение геофизических постановок задач, М. В. Уфимцеву за внимание и помощь при тестировании программ и оформлении программной документации.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А л б е р т А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивалие.-М.,"Наука", 1977.
  2. М.В. Асимптотические оценки точности оптимальных решении уравнения типа свертки.-ЖВМ и МФ, 1974, 14, Jfe 4.
  3. М.В. Решение уравнений типа свертки методом регуляризации с применением быстрого преобразования Фурье и критерия невязки.-В кн.:Вычислительные методы и программирование, 35, М., МГУ, 1981.
  4. В.И. Методы математической обработки гео -логических данных на ЭВМ.-М.,"Недра", 1977
  5. В.Я., Иванов В. В. Восстановление фо рмы сигнала, свободной от искажений, обусловленных аппаратурой и каналом передачи.-Измерительная техника, 1969, 65, ЖЕ.
  6. В.Я., Иванов В. В. Об оптимальной регуляризации.-ДАН СССР, 1968, 182, ЖЕ.
  7. В.Я., Иванов В. В. О решении неко -торых интегральных уравнений I рода типа свертки мето -дом регуляризации.-ЖВМ и МФ, 1968, 8, Ш.
  8. В.Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток . -Труды ШШ СССР, 1973, 133.
  9. В.Я., 3 я б р е в Н.Б. Об оптимальных приближенных решениях вырожденных и плохо обусловленныхсистем линейных алгебраических уравнений и операторных уравнений 1-го рода.-М., ИПМ АН СССР, 1977.-Препринт № 127.
  10. А р с е н и н В.Я., 3 я б р е в Н.Б. О построении приближений к оптимальной фильтрации.-М., ИПМ АН СССР, 1978. -Препринт М.
  11. Н.С. Численные методы. -М., «Наука», 1973.
  12. Р. Введение в теорию матриц.-М., «Наука», 1976.
  13. Б е н д, а т Дж., П и р с о л А. Измерение и анализ случайных процессов.-М.,"Мир", 1974.
  14. Б е р е з к и н В. М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа.-М., «Недра», 1973.
  15. Л. А., Зуб, а к о в В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех.-М.,"Советское радио", I960.
  16. Г. И. Теория восстановления сигналов . -М.,"Советское радио", 1979.
  17. Ф.П. Методы решения экстремальных за -дач.-М., «Наука», 1981.
  18. В е р л, а н ь А.Ф., С и з и к о в B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.-Киев,"Нау-кова думка", 1978.
  19. В. А. Два замечания о выборе параметра регуляризации.-SBM и МФ, 1972,12,№ 2.
  20. В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.-М., «Наука», 1977.
  21. Г л, а с к о В.Б., 3 а и к и н П.Н. О программе регуля-ризирующего алгоритма для уравнения Фредгольма первого рода.-Вычислительные методы и программирование, 1966, вып.5 .
  22. Г л, а с к о В.Б., Остромогильский А. X., Филатов В. Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации.-ЖВМ и МФ, 1970, 10, т.
  23. Г л, а с к о В.Б., Володин Б. А., Мудрецов Е. А., Нефедова Н. Ю. 0 решении обратной задачи гравиразведки для контактной поверхности на основе метода регуляризации.-Физика Земли, 1972, 5.
  24. Г л, а с к о В.Б., Саваренский Е. Ф. Метод регуляризации и проблемы единственности при исследова -нии региональных плоско слоистых структур.-Физика Земли, 1977, I.
  25. А.В., Леонов А. С., Я г о л, а А.Г. Некоторые оценки скорости сходимости регуляризовэнных приближений для уравнений типа свертки.-ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 3.
  26. А.В., Леонов А. С., Я г о л, а А.Г. Конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач.-ЖВМ и МФ, 1974, М, ЖЕ.
  27. Гончарский А.В., Черепащук A.M. ,
  28. Я г о л, а А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики.-М.,"Наука", 1978.
  29. Д и х т я р В.И. 0 статистической регуляризации алгебраических систем уравнений.-В кн."Современные задачи в точных науках", М., изд. УДН, 1976.
  30. Д и х т я р В. И. Об устойчивых алгоритмах для интегральных уравнений I рода типа свертки с экспоненциальным яд-ром.-В кн."Современные задачи в точных науках", М., изд. УДН, 1976.
  31. Д и х т я р В.И., Пионтковская С. Г. Приме -нение быстрого преобразования Фурье для численного решения интегральных уравнений I рода типа свертки.-В кн."Современные задачи в точных науках", М., изд. УДН, 1977.
  32. Д и х т я р В. И. Об определении некоторых вероятностных характеристик сигнала и шума.-В кн.'Численные методы решения задач математической физики и теории систем", М., изд. УДН, 1978.
  33. Д и х т я р В. И. Об одном способе разделения потенци -альных полей.-В кн."Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики", М., изд. УДН, 1983.
  34. Дихт яр В. И. 0 (C, f)-оптимальном выборе параметра регуляризации.-В кн. «Дифференциальные уравнения и функциональный анализ», М., изд. УДН, 1983.
  35. Д и х т я р В.И. Рк-решения уравнений типа свертки и выбор параметра регуляризации.-В кн." Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики",!., издУДН, 1983 .
  36. В.И. (ред.) Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. -М.,"Недра", 1982 .
  37. И.Ф. О погрешности некоторых регуляри -зованных алгоритмов.-ЖВМ и МФ, 1976,16,И.
  38. И.Ф., Д и х т я р В.И. 0 погрешности регуляризованных алгоритмов для уравнений первого рода типа свертки.-В кн."Труды семинара по теории дифферен -циальных уравнений с отклоняющимся аргументом", т. 10. М., изд. УДН, 1977.
  39. И.Ф., Д и х т я р В.И. Об оптимальной регуляризации для интегральных уравнений I рода типа свертки.-Вестник московского университета, сер. Вычисли -тельная математика и кибернетика, 1978, № 3.
  40. Ж и д к о в Е.П., Нгуен Монг, Федоров А. В. Уточнение регуляризованных решений системы линейных алгебраических уравнений.-Препринт ОШИ 5−81−595, 1981 .
  41. E.I. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений.-ЖВМ и МФ, 1972,12, Н .
  42. Е.Л., Морозов В. А. 0 последовательной байесовской регуляризации алгебраических систем уравнений.-ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2.
  43. И.А., Роз, а н о в Ю.А. Гауссовские случайные процессы.-М.,"Наука", 1970.
  44. И в, а н о в В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода.-Дифференциальные уравнения, 1967, т.3, КЗ .
  45. В.К., Васин В. В., Т, а н, а н, а В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., «Наука», 1978 .
  46. М.М. Об интегральных уравнениях первого рода.-ДАН СССР, I960,133, №.
  47. М.М., Васильев В. Г. О пос -тановке некоторых некорректных задач математической фи -зики.-Сиб.мат.журн., 1966, т.7, № 3.
  48. М.М., Романов В. Г., Ш и ш, а т -с к и й С.П. Некорректные задачи математической физикии анализ а.-М.,"Наука", 1980.
  49. Л, а н ц о ш К. Практические методы прикладного анализа.-М., Физматгиз, 1961.
  50. Н.А., Пергамент А. Х. Некоторые вопросы теории приближений и задачи фильтрации.-М., ЖИЛ АН СССР, 1979, препринт Jfc 178.
  51. Г. И. Методы вычислительной математики.-М., «Наука», 1977.
  52. В. А. 0 принципе невязки при решении one -раторных уравнений методом регуляризации.-ЙВМ и МФ, 1968, 8, № 2.
  53. М о р о з о в В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. Итоги науки и техники. Математический анализ, II.-М., ВИНИТИ, 1973.
  54. Мороз ов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач.-М., изд. МГУ, 1974.
  55. М.В. Об оптимальности и предельных свойствах байесовского решения системы линейных алгебра -ических уравнений.-ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4.
  56. Е.А., Г л, а с к о В.В., Филатов В. Г. 0 разрешающей способности метода регуляризации и определении участка характерного изменения формы контактной поверхности.-Физика Земли, 1974, Л> 6.
  57. А.Х. 0 единственности ре -шения обратной задачи теории потенциала.-ЖВМ и МФ, 1969, 9, 5.
  58. А.Х., Тельковская О. В. Метод регуляризации и метод максимального правдоподобия при решении интегральных уравнений I рода.-М., ИПМ АН СССР, 1979, препринт III.
  59. А.Х. Некорректно поставленные задачи и методы их решения.-М., ИПМ АН СССР, препринт ЖЕ, 1972 .
  60. Т.Н. О решении уравнений типа свертки с неточно заданным ядром методом регуляризации.-ЖВМ и МФ, 1972, 12, ЖЕ.
  61. Т.Н. О применении одного класса регуля-ризирующих алгоритмов к решению интегральных уравнений первого рода типа свертки в банаховых пространствах . -ЖВМ и МФ, 1974, 14, Л°2.
  62. Т.И. Проекционные методы решения линейных некорректных задач.-ЖВМ и МФ, 1974,14, № 4.
  63. М.Г. Линейные методы разделения потенциальных полей.-В кн."Приложение некоторых методов математики к интерпретации геофизических данных", Новосибирск, «Наука», 1967.
  64. Старо стенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии.-Киев,"Наукова думка", 1978.
  65. В.Н. 0 решении некорректных задач магни-то и гравиметрии, представляемых интегральными уравне -ниями типа свертки.-Физика Земли, 1967, 4, № 5.
  66. В.П. Методы решения операторных уравнений.-М.,"Наука", 1981.
  67. А.Н. 0 решении некорректно поставленных задач.-ДАН СССР, 1963, 151, № 3.
  68. А.Н. 0 регуляризации некорректно поставленных задач.-ДАН СССР, 1963,153, ЖЕ.
  69. А.Н., Г л, а с к о В.Б. 0 приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. -ЖВМ и МФ, 1964, 4, 3.
  70. А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения.-ДАН СССР, 1965,18, № 6.
  71. А.Н., А р с е н и н В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.,"Наука", 1979.
  72. А.Н., 3 а и к и н П.Н. (ред.) Библиотека программ по обработке и интерпретации физических экспериментов.-М., изд. МГУ, t1983.
  73. А.Н., Гончарский А. В., Степанов .В.В., Я г о л, а А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация.-М.,"Наука", 1983.
  74. Ф е д о р ю к М. В. Метод пер ев ал а.-М., «Наука», 1977.
  75. A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных.-Новосибирск,"Наука", 1982.
  76. В.Г. О единственности некоторых обратных задач гравиразведки.-Физика Земли, 1974, № II.
  77. Zk. Соо&у X, Тику J. № Jn cUjoiiJ-h}*ог. ik. vf Нш^сг- W-6-*, rMabk. Coyi^HZ, 1 В, ВО.8S. Л.Б., §-иси Я,. vW ЧиисЖь о^Сllwy.-llMob.AbMEj.eabie. Еу.^ЭИП2>.ft. РкШрь D-I. ^iwU^ Ьг. гlie, ^
  78. Ut^^e 'уиъ'И^ Xw.-J. JW. CfHMtud.1. Mfl*L.t Oil 9, I 1 /1. S-XB. EiieU ei y, ,
  79. J. di. ^Ec+tz. W^htW.t ctiUtr^ /^Г. H. 1'гиилм S. TJIC tJ- км.**сг1е4с? p-CU-*^ ^
  80. W KW^S bilklitMCc-ton, appliedMii A/.T
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!