Колебания составных упругих тел с неровными границами раздела

Основой большинства технических наук до недавнего времени были эмпирические или полуэмпирические теории, которые строились на основе обобщения результатов физического моделирования. Однако к последней трети XX века процесс математизации науки, постоянное совершенствование теоретического аппарата и практически неограниченные возможности вычислительной техники вывели на первый план математическое моделирование. Ценность этого подхода определяется тем, что он при относительно малых (материальных, временных и трудовых) затратах дает достоверную и детальную информацию о поведении весьма сложных объектов, получение которой другими способами затруднено или невозможно.

Общедоступность высокопроизводительной компьютерной техники послужила катализатором повышенного интереса к разработке, совершенствованию и более широкому применению численных методов решения задач. Не случайно, что качественно новые возможности последнего поколения вычислительных устройств привели к переосмыслению роли и соотношения аналитических и численных методов исследования. Если рассматривать этот процесс в приложении к задачам механики твердого деформируемого тела, то его результатом стала возможность изучать структуры со сложным спектром физико-механических и геометрических характеристик.

Действительно, многие проблемы, неподдающиеся пока аналитическому исследованию, были успешно решены с помощью современных численных методов. Однако, несмотря на очевидные достоинства вычислительного подхода, существует достаточно много задач, для которых получение решений и проверка их достоверности на основе одних только численных схем затруднены. Часто только сопоставительный анализ решений тестовых задач, полученных двумя способами (аналитически и численно), позволяет сделать окончательный вывод о корректности применения выбранного численного метода. Кроме того, при аналитическом подходе имеется возможность эффективно проводить качественный анализ решений. Поэтому с большой долей уверенности можно предположить, что разумное сочетание аналитических и численных подходов останется одним из важнейших направлений научного исследования объектов с нетривиальными свойствами.

К числу сложных для исследования проблем относятся задачи возбуждения и распространения волн в упругих средах со сложным строением, которые имеют многочисленные технические приложения. Реальное взаимодействие элементов конструкций и механизмов происходит через их контакт. Экономические потери от преждевременного разрушения контактирующих элементов остаются все еще чрезвычайно большими, а последствия этих разрушений могут быть катастрофическими. Это объясняет постоянное внимание исследователей к постановке и решению динамических и статических контактных задач механики деформируемого твердого тела.

Наряду с проблемами контактной прочности и жесткости в машиностроении, необходимость решения задач этого типа возникает при расчетах оснований и фундаментов, при обосновании методов вибрационной сейсморазведки, бесфундаментной установки промышленного оборудования, при проектировании и расчете конструкций дорожных одежд, в разработке средств и методов неразрушающего экспресс контроля состояния и качества элементов конструкций. К указанным проблемам примыкают задачи дефектоскопии клеевых соединений и фундаментов, целью которых является определение характера контакта с соответствующим основанием.

Новые задачи механики контактного взаимодействия постоянно возникают не только в технике, но и в других областях знаний. В качестве примера можно привести проблемы взаимодействия опорных элементов интраокулярных линз с капсулой глаза, взаимодействие поверхностей разломов в земной коре и даже взаимодействие человека и среды его обитания — все это контактные задачи, которые расширяют традиционные представления о границах этой области [47].

Многообразие методов решения контактных задач связано с сложностью проблематики и определяется существенным отличием свойств операторов интегральных уравнений и систем, к которым приводятся задачи различного типа. При анализе методов решения динамических контактных задач можно выделить три основных случая, каждый из которых определяет методику решения. Это случаи штампов малого, среднего и большого размера по отношению к длине волны в исследуемой области.

Контактные задачи теории упругости относятся классу смешанных задач, когда на части граничной поверхности задаются нормальные и касательные перемещения, а на остальной части границы известны нормальные и касательные напряжения. Первые исследования в этой области, отсчет которых идет с классических работ Г. Герца, были направлены на изучение статического контакта идеально упругих тел при отсутствии трения на поверхности контакта.

Прогресс механики контактного взаимодействия во второй половине нынешнего столетия связан главным образом с отказом от этих ограничений и переходом к более реалистическому моделированию процессов: учету трения, проскальзывания и сцепления, неопределенности границ контакта, неупругого контакта, многослойности и неоднородности сред, неклассической геометрии областей и т. п.

Несмотря на давно осознанную практическую важность предмета исследования, первые обобщающие исследования, относящиеся к нему, появились на только рубеже 40-х— 50-х годов. Заметным явлением стала книга^ JI.A. Галина (1953 г.), который подытожил основополагающие труды Н. И. Мусхелишвили в области контактного взаимодействия. В последующие годы, по мере расширения круга ученых, вовлеченных в проблематику исследования контактного взаимодействия, количество фундаментальных исследований начало заметно расти. Глубокие исследования в области контактных задач проведены в работах В. М Александрова, В. А. Бабешко, А. В. Белоконя, Н. И. Бородачева, А. О. Ватульяна, И. И. Воровича, И. Н. Векуа, Л. А. Галина, Н. И. Глаголева, Р. В. Гольдштейна, В. Т. Гринченко, Я. М. Кизымы, В. И. Моссаковского, Н. И. Мусхелишвили, Б. М. Нуллера, В. З. Партона, Г. Я. Попова, В. Л. Рвачева, Н. А. Ростовцева, В. М. Сеймова, М. Г. Селезнева, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинова, Я. С. Уфлянда и других авторов. К настоящему времени издано значительное число монографий, которые охватывают различные аспекты теории и практики решения контактных задач [1, 2, 3, б, 28, 29, 37, 45, 78, 73, 74] и др.

Кам уже указывалось, первые исследования в области контактных задач теории упругости относились к решению задач в статической постановке. Однако реально статические модели имеют довольно ограниченное применение, так как большинство конструкций работает в условиях динамического нагружения. Переход от статической постановки к динамической значительное усложняет задачу, потому что в исходных уравнениях необходимо учитывать дополнительные инерционные члены и возможную диссипацию энергии, а также увеличивается число рассматриваемых параметров. Кроме того, уточнения требуют вопросы существования и единственности решений. Для аналитического исследования такие задачи трудны даже в плоской постановке, а успешному изучению поддаются в основном лишь некоторые характерные особенности решений (резонансные режимы, краевые эффекты и т. п.). Но и для этого требуется использовать нетривиальные математические методы, причем в комплексе.

С другой стороны, переход к исследованию динамики процессов, как правило, приводит к более глубоким и полезным с точки зрения практики результатам. По существу методы решения статических задач позволяют определять лишь осредненные характеристики и с этой точки зрения динамические методы (акустические, вибрационные, сейсмические) более информативны [52]. Например, эффективный анализ состояния конструкций методом неразрушающего контроля возможен только при анализе уровня колебаний в них, исходящих от некоторого источника.

Для решения задач механики твердого деформируемого тела со смешанными граничными условиями применяются в сочетании различные аналитические методы — метод интегральных преобразований, методы ортогональных полиномов и собственных функций, метод факторизации, метод фиктивного поглощения, различные асимптотические методы. Математическая сложность рассматриваемого класса задач заключается в наличии у ядер интегральных уравнений особенностей и осцилляций.

В динамической постановке новую глубину приобретает проблема единственности решения. Известно [97], что решение уравнений эллиптического типа, заданных в неограниченном пространстве, без дополнительных условий на бесконечности неоднозначно. Аналогичная ситуация возникает в динамических контактных задачах теории упругости для полуограниченных областей типа слоя [29].

Для решения вопросов излучения волн в задачах о колебаниях в неограниченных и полуограниченных средах привлекаются физические принципы предельного поглощения и предельной амплитуды, которые были исследованы еще в 50-х годах И. Н. Векуа и А. Г. Свешниковым, а позже в работах И. И. Воровича [26, 27], Б. Г. Вайнберга [20] и других авторов [29, 8, 21, 51]. Большой вклад в исследование проблем распространения волн в упругих средах внесли В. М. Бабич, В. С. Булдырев, А. Н. Гузь, И. А. Молотков, Г. И. Петрашень и др.

С практической точки зрения при решении задач о динамических нагружениях важное значение играет исследование частотных характеристик возмущений и анализ резонансных явлений. В числе работ, посвященных изучению спектральных характеристик решений разных динамических задач, можно отметить труды И. И. Воровича, В.А.Бабеш-ко и их учеников [29, 35, 8, 13, 10, 53, 71] и др. В частности, ими были исследованы условия возникновения ограниченных резонансов в полубесконечных средах типа слоя.

Другим относительно новым и важным для практики направлением исследований в контактных задачах является изучение сред с усложненными свойствами и, в частности, слоистых сред. Действительно, в машиностроении доля слоистых конструкционных материалов постояно растет. Модель многослойной среды является важной при изучении различных задач геофизики, фундаментостроения и других смежных областей, потому что многослойность структуры и наличие неоднородностей естественного или искусственного происхождения являются неотъемлемыми свойствами строения реального грунта.

Изучению процессов возбуждения и распространения колебаний в многослойных односвязных структурах посвящены работы Л.А.Молот-кова, Г. И. Петрашеня, Г. Я. Попова, В. М. Сеймова, А. Н. Трофимчука, В. А. Бабешко, Е. В. Глушкова, О. Д. Пряхиной [9, 30, 49, 67, 93, 104, 95, 110, 43, 118, 114, 125] и др. В ряде работ изучаеются различные задачи для модели упругих слоистых сред периодической структуры [100, 122, 54]. Имеются исследования задач для упругих слоев с тонкими покрытиями [2, 111, 117, 66, 40]. Ограниченное количество публикаций относится к решению задач для слоистых сред при наличии дефектов произвольной формы и различного положения.

Круг эффективно решаемых проблем заметно расширился, когда в руках исследователей оказались мощные вычислительные системы. Поэтому особое место начинают занимать проблемы разработки и использования численных методов решения контактных задач.

Среди них наибольшей популярностью пользуется метод конечных элементов (МКЭ), развитый в последние десятилетия на основе идей метода Галеркина-Ритца.

Конкурирующим и весьма перспективным направлением является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и его дискретный аналог — метод граничных элементов (МГЭ). Фундаментом теории ГИУ являются основополагающие работы Фредгольма, Грина, Вейля, Бэтти, Сомильяно и др. Окончательное оформление метода в отдельную теорию связано с исследованиями по развитию теории потенциала, многомерных сингулярных уравнений, доказательству теорем существования и единственности, эквивалентности ГИУ исходным краевым задачам, выполненными В. Д. Купрадзе, С. Г. Михлиным и Н. И. Мусхелишвили.

Различные прикладные аспекты реализации метода ГИУ рассмотрены в работах [14, 15, 98]. Важнейшие исследования с привлечением метода ГИУ относятся к задачам для сред со сложными физико-механическими свойствами: для слоистых областей, учет связанности механических, электромагнитных и тепловых полей при различных способах возбуждения среды, наличие включений и полостей [21, 62] и др.

Классические исследования в области механики деформируемого тела, как правило, проводились для тел с правильными границами (прямолинейными, дугами окружностей и т. п.). С математической точки зрения это упрощает удовлетворение граничных условий, так как выбором подходящей координатной системы можно добиться, чтобы граничная поверхность стала координатной. Поэтому появление в однородной или слоистой среде неровной границы произвольной формы существенно усложняет построение решения. Задачи этого типа возникают в различных областях техники. Например, локализованные неровности весьма актуальны в задачах вибросейсморазведки, относительно малые периодические неровности основания слоя при определенных условиях могут моделировать технологические отклонения от конструктивной геометрии, а периодические неровности, сравнимые с толщиной слоя, могут появиться при изучении прочности тонких покрытий.

Исследование некоторых задач этого типа является основной целью данной работы. По данной тематике имеется ограниченное число публикаций.

Статические задачи для слоя с неровным основанием изучались в работах И. И. Воровича и О. М. Пенина [31] - [34]. В статьях [31] и [32] рассматривалась постановка смешанной задачи для бесконечной полосы переменной высоты и решались задачи о равновесии в условиях сдвига упругого слоя с неровным основанием, жестко скрепленного с неде-формируе^мым основанием. Для рассматриваемой задачи была построена функция Грина, которая была представлена в виде разложения по степеням малого параметра (отношения амплитуды неровности к толщине слоя). С ее помощью было выведено интегральное уравнение контактной задачи при дополнительном предположении, что форма неровности определяется косинусоидой.

В работах [33, 34] предлагается решение и результаты численного анализа контактной задачи при наличии второго малого параметра — отношения полуширины основания штампа к толщине слоя.

Помимо указанных работ, имеется небольшое число статей других авторов. В статье [120] в основу используемой модели положена техническая проблема, связанная с тем, что реальные формы сварных пластинчатых структур несколько отклоняются от конструктивной геометрии из-за несовершенств, порождаемых, главным образом, сваркой. Исследуется поле напряжений в плоской задаче со слабо волнистой поверхностью, для чего применяется метод возмущений. В работе [19] исследован контакт жесткой и упругой полуплоскостей при наличии периодической системы неровностей.

Основным инструментом аналитического исследования систем интегральных уравнений, к которым сводятся изучаемые в настоящей работе краевые задачи, является метод факторизации, предложенный Н. Винером и Э.Хопфом. Проблемам использования этого метода для решения различных классов задач посвящены монографии Б. Нобла [69], Р. Митра и С. Ли [65]/ Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского [39], И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана [44], а также в работ Л. А. Вайнштейна, М. Г. Крейна, И. М. Рапопорта, В. А. Фока и др.

Однако применение метода к решению реальных технических проблем сдерживается сложностью выполнения точной факторизации. В 1954 г. У. Т. Койтером для решения уравнений Винера-Хопфа был предложен метод приближенной факторизации. В шестидесятые-семидесятые годы метод приближенной факторизации был значительно развит в работах В. М. Александрова, В. А. Бабешко, И. И. Воровича, Г. Я. Попова и других ученых.

Целью настоящей работы является развитие методов решения динамических контактных задач со сцеплением для упругого слоя на жестком основании или упугой слоистой среды при наличии неровного основания или неровных границ раздела сред, а также обоснование и практическая реализация комплекса аналитических и аналитико-численных методов исследования волновых полей в упругой среде при установившихся и неустановившихся режимах колебаний штампа. В рассматриваемой постановке указанные задачи ставятся и решаются впервые.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списков использованных обозначений и цитированных источников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В работе развит метод решения ранее не изученных задач о вибрации штампа, сцепленного с многослойной упругой средой при наличии неровной границы раздела. Рассмотрены случаи периодической и локализованной неровностей.

2. Для решения интегральных уравнений контактных задач для слоя с периодической неровностью нижней границы относительно малой амплитуды использовалась методика факторизации функций и матриц-функций. Одним из центральных моментов ее практической реализации является новый прием факторизации полиномиальных матриц.

В общем виде дано полное обоснование предложенного метода, сводящего задачу факторизации к решению системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Для полиномиальных матриц со свойствами, вытекающими из особенностей решаемой контактной задачи, выявлены свойства факторизации, которые позволяют существенно снизить требуемый объем вычислений при численных расчетах.

3. Проведен обширный численный анализ решения задачи в широком диапазоне изменения основных параметров. Для выполнения компьютерных расчетов разработаны эффективные алгоритмы факторизации матриц-функций и расчетов контактных напряжений и волновых полей, а также программный комплекс, реализующий их. Численно проанализированы и оценены эффекты влияния различных параметров задачи на характер динамического напряженно-деформированного состояния.

4. Для решения контактной задачи с локализованной неровностью границы раздела сред при нестационарном нагружении применен метод конечных элементов.

В ходе численного эксперимента выявлены диапазоны изменения основных параметров задачи, в которых влияние локализованной неровности на контактные напряжения и волновые поля существенно. На основании анализа расчетов описана качественная картина этих влияний.