Обращение интегральных операторов типа В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствах

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

Потенциалы, порожденные обобщенным сдвигом, впервые изучались известным американским математиком А. Вайнштейном и его школой (1947;1965) при построении осесимметрической теории потенциала. Конструкция введенных потенциалов характеризовалась присутствием так называемого обобщенного сдвига. Ранее (1938) этот сдвиг изучался Ж. Дельсартом, работы которого послужили основой нового научного направления — теории обобщенного сдвига, созданного усилиями Б. М. Левитана его учениками и последователями.

Впоследствии И. А. Киприянов (1967) стал использовать более общий вид сдвига, включающего обычный и обобщенный, что давало возможность вводить потенциалы нового вида, учитывающие симметрию. При постановке соответствующих задач использовалась известная работа М. В. Келдыша о дифференциальных уравнениях, вырождающихся на границе области. Появились исследования соответствующих задач выполненных Я. И. Житомирским, Ж,-Л. Лионсом, И. А. Куприяновым, В. В. Катраховым, Л. А. Ивановым, М. И. Ключанцевым, Л. Н. Ляховым и др.

В 1967 г. И. А. Киприянов и В. И. Кононенко рассмотрели обобщения потенциалов Вайнштейна в Дп, когда обобщенный сдвиг действовал по одной из переменных. Более общий случай, при котором обобщенный сдвиг действовал по части переменных, а по другой части действовал обычный сдвиг, рассмотрен И. А. Куприяновым и Л. А. Ивановым (1983) при построении фундаментальных решений соответствующих В-эллиптических уравнений. В этой же ситуации Л. Н. Ляховым получены теоремы (типа теорем С.Л. Соболева) об ограниченности смешанных В-потенциалов в пространствах непрерывных и интегрируемых с весом функций. Интегралы типа В-потенциалов с однородной характеристикой также рассмотрены Л. Н. Ляховым, но только в случае, когда по всем переменным действует обобщенный сдвиг.

С.Г. Самко в ряде работ (1970;1983) предложил использовать конструкции Стейна-Лизоркина для исследований решений интегральных уравнений с потенциальными ядрами. Эти конструкции были обобщены и названы «гиперсингулярными интегралами» .

Конструкции Стейна-Лизоркина-Самко использовались Л. Н. Ляховым для введения В-гиперсингулярных интегралов, которые были применены к классу интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Эти исследования ограничились лишь случаем действия обобщенного сдвига по каждой из переменных. Рассмотрение общей ситуации натолкнулась на сложности принципиального характера, связанные с построением общих гиперсингулярных интегралов, включающих в себя одновременно гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко и В-гиперсингулярные интегралы.

Данная работа посвящена исследованию общих В-гиперсингулярных (далее примем сокращение — о. В-г.с.) интегралов с однородной характеристикой и их применению к исследованию нового класса интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Изучаются В-потенциалы, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Построены эффективные конструкции операторов обратных к таким интегральным операторам. Обращение достигается посредством применения общих В-гиперсингулярных интегралов с характеристикой, специальным образом построенной по характеристике интегрального оператора типа В-потенциала. Это построение основано на разложении характеристик по весовым сферическим функциям, ранее введенных Л. Н. Ляховым при исследовании сингулярных интегралов (типа интегралов Михлина-Кальдерона-Зигмунда), порожденных обобщенным сдвигом.

Цели работы. Исследование В-потенциалов с точки зрения их непрерывности (классической и квалифицированной) в различных весовых пространствах и обобщение формулы Киприянова-Пицетти для весового среднего по сфере от основной функции. Исследование операторов типа В-потенциала Рисса с непостоянными характеристиками и вычисление их символов.

Введение

общих В-гиперсингулярных интегралов с однородной характеристикой, регуляризация которых достигается применением нецентрированных и центрированных обобщенных конечных разностей. Вычисление символов в образах Фурье-Бесселя общих В-гиперсингулярных интегралов. Представление сингулярных дифференциальных операторов общими В-гиперсингулярными интегралами. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства основных функций Ф7, построенных по типу основных пространств П. И. Лизоркина. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства Лебега 1Л с весовой интегральной мерой.

Методика исследования. Применяются методы теории функций, функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений. Более конкректно: а) методы гармонического анализа, применяющие разложения по сферическим функциямб) методы изучения многомерных сингулярных интегральных операторов Михлина-Кальдерона-Зигмунда и решения многомерных сингулярных интегральных уравненийв) техника псевдодифференциальных операторов, построенных на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселяг) методы регуляризации расходящихся интегралов на основе конечных разностей и методы регуляризации в смысле конечной части сингулярного интеграла по Адамару и др.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми.

1. Рассмотрены интегральные операторы типа потенциалов Рисса, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Доказаны теоремы о квалифицированной непрерывности и компактности смешанных В-потенциалов.

2. Определен интегральный оператор типа В-потенциала Рисса с характеристикой, представляющей собой однородную, четную по части переменных функцию, бесконечно дифференцируемую на соответствующей части единичной сферы. Вычислен символ такого оператора.

3. Введены и классифицированы гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой, названные общими В-гиперсингулярными интегралами (о.В-г.с. интегралы). Вычислены их символы.

4. Получено представление о. В-г.с. интегралов в виде обобщенной свертки с соответствующей обобщенной функцией.

5. Получены формулы, представляющие некоторые однородные сингулярные дифференциальные операторы в частных производных в виде о. В-г.с. интегралов.

6. Рассмотрены соответствующие интегральные уравнения, когда символ удовлетворяет условию В-эллиптичности, а плотность (неизвестная) принадлежит весовому классу Щ. Построен обращающий (левый) В-гиперсингулярный интеграл (с характеристикой, «ассоциированной» с характеристикой интеграла типа В-потенциала Рисса), тем самым конструктивно решен вопрос о решениях В-эллиптического класса этих интегральных уравнений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное решение содержательной математической задачи. Результаты исследования обратимости операторов типа В-потенциалов Рисса на основе общих В-гиперсингулярных интегралов привели к новому классу интегральных уравнений. Эти исследования позволят рассматривать на современном уровне многие проблемы с осевой и многоосевыми симметриями в механике сплошных сред, безмоментной теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, в задачах газовой динамики и др. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. Стеклова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре доктора физ.-мат. наук JI.H. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю. И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. A.C. Калитвина в Липецком государственном педагогическом университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В. А. Стеклова АН России, на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 2005), на международной конференции «Analysis and Related Topics» (Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005), на Воронежской зимней математической школе 2006 года, на научной конференции «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения — 2006» (Санкт-Петербург, 2006), на Воронежской весенней математической школе 2004, 2006 годов, на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации опубликованы в работах [42] - [45], [46], [47], [51] - [55] автора и в совместных работах [41], [48]-[50]. Работы [41], [48], [50] написаны совместно с Л. Н. Ляховым, которому принадлежит постановка задачи. Доказательства получены автором лично. Из совместной работы [49] с Е. Г. Гоц в диссертацию вошли только полученные лично автором результаты.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих тринадцать параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 118 страниц. Библиографический.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа./ Ж. Адамар // М. Наука, -1978. 352 с.

2. Бейтман Г. Высшие транстцендентные функции./ Г. Бейтман, А. Эрдейн // М.: Наука, т. 2, -1974. -463 с.

3. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения./ О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский // М.: Наука, -1975. -480 с.

4. Вайнштейн А. (Weinstein A.) Discontinious integrals and generalized potential theory./ А. Вайнштейн // Trans Amer. Math. Soc.-1955. V.63. -P. 342−354.

5. Ватсон Г. И. Теория Бесселевых функций. Ч. 1. / Г. И. Ватсон // М: ИЛ.-1949. -798 с.

6. Гельфанд И. М. Обобщенные функции и действия над ними: Учеб. пособие. / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов // -М:Изд-во физ-мат. лит-ры,-1958, -440 с.

7. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций./ И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов // М: Физматгиз, -1963. -234 с.

8. Гоц Е. Г. Обобщенные разности и общие гиперсингулярные интегралы./ Е. Г. Гоц, JI.H. Ляхов // Доклады Академии Наук.-2005, — Т. 405. № 4. -С. 444−447.

9. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И. С. Градштейн, И. М. Рыжик // М.-.ГИФМЛ, -1963. 1100 с.

10. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя./ Я. И. Житомирский // Мат. сб. -1955, т.36, № 2. -С. 299−310.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды./ А. Зигмунд // М., Мир, -1965, т. 1. 356 с.

12. Киприянов И. А. Получение фундаментальных решений для однородных уравнений с особенностями по нескольким переменным./ И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // Акад. наук СССР, Сиб. отд., Труды семинара Соболева, -1981, № 1. -С. 55−77.

13. Киприянов И. А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов./ И. А. Киприянов, В. В. Катрахов // Мат. сборник, -1977, Т. 104, М. -С. 49−68.

14. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические задачи./ И. А. Киприянов // М.:Наука, -1997. -199 с.

15. Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский.- М.: Наука, -1966. -499 с.

16. Курант Р. Уравнения математической физики./ Р. Курант, Д. Гильберт // М.:Наука, -1914. -674 с.

17. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения./ Б. М. Левитан // Науч. изд-е, -М.:Гос. изд-во физмат лит-ры, -1962. -325 с.

18. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье./ Б. М. Левитан // Успехи матем наук, т. VI, в.2 (42), -1951. -С. 102−143.

19. Лизоркин П. И. Обобщенное Лиувиллевское дифференцирование и функциональное пространство Ьтр (Еп). Теоремы вложения./ П. И. Лизоркин // Мат. сб. -1963, т. 60, № 3. -С. 325−353.

20. Лизоркин П. И. Описание пространств Ьгр (Еп)в терминах разностных сингулярных интегралов./ П. И. Лизоркин //- Мат. сб., -1970, 81, № 1. -С. 79−91.

21. Ляхов Л. Н., Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом./ Л. Н. Ляхов // Науч. изд-е. -ВГТА, -1997, -145 с.

22. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы./ Л. Н. Ляхов // Диф. уравнения, -1985, т. 21, № 6. -С. 1020−1032.

23. Ляхов Л. H. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя./ Л. Н. Ляхов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. -1997, т. 214, -С. 234−249.

24. Ляхов Л. Н. О решениях В-полигармонического уравнения./ Л. Н. Ляхов, А. В. Рыжков // Диф. ур. -2000, т.36, № 10. -С. 1365−1368.

25. Ляхов Л. Н. О рядах по весовым сферическим функциям./ Л. Н. Ляхов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, -1984. -С. 102 109.

26. Ляхов Л. Н. О символе интегрального оператора типа В-потенциала с однородной характеристикой./ Л. Н. Ляхов // ДАН, -1996, т. 315, № 2. -С. 161−165.

27. Ляхов Л. Н. Обращение B-потенциалов./ Л. Н. Ляхов // ДАН, -1991. т. 321, № 3. -С. 466−480.

28. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения./ С. Г. Михлин // М.: Физматгиз, -1962. -456 с.

29. Никольский С. М. Курс математического анализа./ С. М. Никольский // М.: Физматлит, -2001, -592 с.

30. Пицетти П. (Р. Pizetti) Sulla media dei valari che una fanzione del punti dello spazio assume alia superficie di una sfere./ П. Пицетти // Rendiconti Lincei (5), v. 18, -1909, -P. 309−316.

31. Пуассон С. (Poisson S. D.) Memoire surlesintegrales definies./ C. Пуассон // J. I’Ecpolytech. Te. 19.-1923. -P. 249−403.

32. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения./ С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев // Минск: Наука и техника, -1987. -687 с. Самко / Изв. вузов. Мат., № 7 (193), -1978. -С. 73−78.

33. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы с однородными характеристикамиих символы и обращение./ С. Г. Самко // Труды Математического института АН СССР, т. 156, -1980. -С. 157−222.

34. Самко С. Г. Пространства LPjr (Rn) и гиперсингулярные интегралы./ С. Г. Самко // Stud. Math., vol.61, № 3, -1977. -P. 193−230.

35. Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной./ А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов // Уч. -изд. М.: Физматлит, -2001. -335.

36. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике./ С. Л. Соболев // М.: Наука, -1988. 405 с.

37. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного./ А. Ф. Тиман // М.: ГИФМЛ, -1960. 231 с.

38. Шишкина Э. Л. Обобщение формулы Киприянова о разложении функции на весовые плоские волны./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХУ» 2004 г.-ВГУ.-Воронеж, 2004. С. 242.

39. Самко С. Г., О преобразовании Фурье функциис.

40. Шишкина Э. JI. В-потенциал дробного порядка 0<�а<1./Э. Л. Шишкина // Материалы XLIII отчетной научной конференции за 2004 год, — ВГТА.- Воронеж, 2005. С. 202.

41. Шишкина Э. Л. Обобщение формулы Киприянова-Пицетти./ Э. Л. Шишкина // Вестник Елецкого Государственного Университета им. И. А. Бунина. Вып.8: Математика. Компьютерная математика.- Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, -2005, — С. 114−120.

42. Шишкина Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя обобщенной весовой функции./ Э. Л. Шишкина // Материалы международной конференции «Analysis and Related Topics» .- Национальный Университет им. Ивана Франко.- Львов, Украина, 2005. С. 98.

43. Шишкина Э. Л. Регуляризация Адамара расходящихся весовых сферических интегралов./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина / / Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета, — Т.1. Вып.1. — 2006. С. 42−49.

44. Шишкина Э. Л. Символы общих В-гиперсингулярных интегралов./ Е. Г. Гоц, Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна 2006. Воронеж: ВГУ, 2006, — С. 36.

45. Шишкина Э. Л. Обобщенные В-потенциалы Рисса смешанного типа./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // ДАН, — 2006, — Т. 406, — № 3,-С. 303−307.

46. Шишкина Э. Л. Общие В-гиперсингулярные интегралы с В-гармоническими характеристиками./ Э. Л. Шишкина // Материалы ХЫУ отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА, — Воронеж, 2006. -Ч.2. С. 217−218.

47. Шишкина Э. Л. Обобщенная весовая функция гх./ Э. Л. Шишкина // Вестник ВГУ, серия физика, математика.-Воронеж.-2006, — № 1, — С. 215−221.

48. Шишкина Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя ядра общих В-гиперсмнгулярных интегралов с однородной характеристикой./ Э. Л. Шишкина // Труды зимней математической школы-2006. Воронеж: ВГУ, — 2006, — С. 203−212.