Исследование многомерного сингулярного оператора по ограниченной области с непрерывной плотностью и его приложения

Исследование одномерных сингулярных интегралов восходит к Гильберту и Пуанкаре. В 20-х и 30-х годах Трикоми, Жиро и Михлин перенесли эти результаты на многомерный случай.

Соответствующие ссылки на эти результаты, а также их краткое описание можно найти в монографии С. Г. Михлина [14]. В этой книге содержится также исчерпывающее изложение исследований по теории многомерных сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений.

Новый период в теории многомерных сингулярных интегралов в пространствах Lp начался в 1952 г. работой Кальдерона и Зигмунда [24,25]. Основная проблема, которой посвящены исследования Кальдерона и Зигмунда — это проблема об ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора в пространствах.

Несмотря на обширные исследования по многомерным сингулярным интегральным операторам, мало изучен вопрос ограниченности в пространствах непрерывных функций многомерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной т — мерной области с ядром Кальдерона-Зигмунда-Михлина. В этом направлении можно отметить работы Погожельского, Аниконова, Абдуллаева С. К. и др.

Подробно остановимся на тех работах, которые имеют непосредственное отношение к результатам настоящей работы.

В диссертации рассматривается многомерный сингулярный оператор р>1 A где 6- - ограниченная область в R, Рп>/2. ж характеристика /баг, 9) непрерывна на G *52 (Q — единичная сфера в Rm) oc, e) Je — о, ухе ?, (I) i? и нелинейные интегральные уравнения, содержащие эти сингулярные интегралы.

В работе [6] Д. СьАниконов рассмотрел вопрос об ограниченнососг ти сингулярного оператора, А в пространствах С {Q) непрерывных функций на Q, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем 0<<х<1, когда граница области? принадлежит классу С.

В [6] доказана.

ТЕОРЕМА I. Пусть Q — ограниченная область с границей класса С1'*, /(>> в) — непрерывная функция на? , удовлетворяет условию (I) и {{(Xitbj-ffatdiyi^LQxi-Xi^jfy-e,!*) где т1ухге С-, 6U02^Q «L у Л — положительные числа.

Тогда для того, чтобы оператор Д был определен и ограничен oi — из пространства С (Q) в себя, достаточно, а также необходимо, если oc, Q)= д (в), чтобы для всякой точки х. е? и любой полусферы выполнялось равенство.

J-f (r>6)de =0 (2) Я.

Отметим, что эта теорема в одномерном случае не имеет аналога. Также отметим, что в силу этой теоремы видно, что для ограниченности оператора / в С (G) сингулярное ядро должно обладать дополнительным условием (2), не выражаемым в терминах гладкости характеристики в) .

Эти результаты являются еще одним оправданием того, что если характеристика f (x, 9) обладает обычными условиями гладкости (но не обладает свойством (2)), оператор / надо рассматривать в пространствах непрерывных в? функций, имеющих рост в окрестности границы.

В связи с этим, в работе сингулярный оператор /I рассматриваются в двух случаях:

1. область G и.

6) обладают условиями типа условий теоремы I. Ставится задача: рассмотреть ограниченность оператора, А в пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному условию Гельдера на? с мажорантой CdeM. fi (совокупность модулей непрерывности первого порядка). Этой задаче посвящена глава I,.

2. Q — область с липшицевой границей, a ftaг, д) — непрерывная на функция, обладающая свойством (I), а плотность и (р непрерывная в?. функция.

По второй задаче первые результаты принадлежат польскому математику Погожельскому [27,28,29] .

ВЦ, а и доказал их инвариантность относительно оператора h в случае, когда Qck (to>/i) ограниченная область с ляпуновской границей, а параметры ос ж к удовлетворяют условиям:

О < <1, о < 1, оц-h <1.

По определению, непрерывная в классу Ь., если: функция и (ос) принадлежит.

1. Ы (х)1 * Г J—, Vxe я ЫюТ i 1st ь I ^.

2. IU (x)-U (pl «culil.

Itx.y e Q г Ix-yJ *-L mini UX) t ыртгде постоянные Ск, Cu зависят разве лишь от и (х) , — 8 — пространство в норме.

Нин L ~mfck + ,.

О. при ы, о < ос <1, 0< h < 1.

Пространства и^ аналогичны пространствам А. И. Гусейнова.

Отметим, что, вообще говоря, дальнейшее исследование сингулярного интеграла (I) в случае 2, проводится по аналогии с одномерным случаем. ^.

В работе [з] дано весовое описание пространств В^, а также доказано, что Sj" остается инвариантным относительно оператора h, если 0.

В работе Г4 J эти результаты обобщены как относительно класса областей G, так и относительно шкалы Банаховых пространств, о к содержащих в частности шкалу пространств О^ .

В работе [21 сингулярный оператор рассматривается по ограниченной области G с липшицевой границей 3 G (подробно см. § 2.1? и вводятся характеристики типа Я и Со (см. 2,23]). Вводятся пространства типа Н [2 J, выражаемые в терминах характеристик S? и со с заданными мажорантами у,^. Найдены достаточные условия на,^, обеспечивающие ограниченность оператора, А в пространствах Ну</> • 0.

Также дано описание Нуу в виде весовых пространств На • Это описание позволяет доказать ограниченность оператора Ц

О о в пространствах // при некоторых естественных условиях на.

Отметим, что в одномерном случае доказано, что каждое про-п? странство, инвариантное относительно сингулярного оператора У} и. Js «изоморфно некоторому инвариантному про s~x странству Htpip. Перенесение этого результата на многомерный случай затруднительно.

Также затруднительно изучение сингулярного оператора в терминах пространств Нмф с последующим переходом к весовым про.

О р ' ' странствам .

В связи с этим ставится задача изучения оператора / в шка.

О J3 ле пространств Нw (с разными оа. р).

Этой задаче посвящена глава П диссертации. В частности, найдены достаточные условия на (f, co) и (р, обеспечивающие.

0 р в ограниченность оператора, А • Н ^ Hj[, а также доказана неулучшаемость этих условий в определенном смысле (см. теорему 2.3.5).

В главе Ш с использованием результатов главы П доказывается разрешимость одного класса системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации. § 1.1 носит вводный характер. Приводятся известные результаты об ограниченности сингулярного интегрального оператора /| в классе гельдеровых функций.

В § 1.2 приводится определение ограниченной области £е R171 с границей Ъб^С' и излагаются некоторые вопросы, связанные с.

1,1 т локальными координатами. Также вводятся:

I) модуль непрерывности непрерывной в Q функции 1 г :

———-| 4 '.

Xi>ocze &.

4(B) «suf>m I sup /Дат, в,—А», ад/J.

9uezsQ В § 1.2 доказывается.

ТЕОРЕМА. I.2.I. (основная). Пусть Q — ограниченная область с границей — функция, re Q, непрерывна на, Stср }Vixj-lf (p} 7 8>о, ос-£/< S сс, уд? ore- &, B^Q характеристики справедлива оценка «.

— i'.

C0r (Z) Ыса){со^(Ю i cof (l) f.

J 6 * I ^ i2 imt^Ls +J dt}9 f у * * * efOydj где d — диаметр В § 1.3 вводится пространство Ну ¦

Ну* he C (Q): ajty = OfyW), где МН — совокупность модулей непрерывности первого порядка Г12] и доказывается.

ТЕОРЕМА. I.3.I. Пусть область? — и функция ^(ос, Ю удовлетворяют условиям основной теоремы. Если f J& м<�оо, г с?,*) — яг^ад, — OflVftJ, 0 *.

О л J. 8 то сингулярный интегральный оператор = действует в пространстве Ну и ограничен.

Глава П посвящена изучению сингулярного интегрального оператора в обобщенных пространствах Гельдера с весом.

В § 2.1 приводится определение ограниченной области QcR с лшшиевой границей и рассматриваются некоторые вопросы, связанные с локальными координатами.

Вводится характеристика непрерывной в области? функции U (x) :

SuP «lu (x)~uiy)j где x-yjf], te (o, dl, f>о..

Пусть J>e P и Co €MH. Обозначим.

УЦ 9 е С (Ю: в Vс* 1> о где //^ - множество функций Ы (ЮеС (Ю, для которых существует.

I **.

Ск>0 такая, что при любых х, у е G lucx)-ту)lsc^to (/*-%!) и Шх) =*ot Ух еЭ.

О j>.

— В — пространство в норме.

It 4 р{хщх) — рцтуя llrl/of * IIf lr//О в IIDtl iSUp w называется пространством Гельдера с весом..

В § 2.2 получены оценки типа оценок Зигмунда, связывающие характеристики образа 1 г * с теш же характеристиками прообраза j" г (теорема 2.2.1)..

В § 2.3 на базе полученных оценок сингулярный оператор, А изучается в весовых гельдеровых пространствах. Основные результаты главы П отражены в следующих теоремах..

ТЕОРЕМА. 2.3.1. Пусть область Qудовлетворяет приведенным выше условиям и со, 0д1^МН «J>, p*G Р^О Р^ • Пусть функция в) непрерывна на множестве? у Я. > f-f (x, d) dd=o,.

VX& (г и выполняются соотношения //.

Cdftt) + = ОСЩЪ) (2.3.1).

ДЪ f aj (*)atQ d{ = фт ^^ (2>3>2) Р"(Ю у i при /К< J/2 a J (I.)at (i) = 0(ц{£)) (2.3.3) Если: o (V о f f i.

Р*(ю p" со ft-. * * 0)({). M i.

2).

F и pJi) /.w^ Po (i)i.

V Те (оJ), о J> О f>*.

B Ha>< f 0 f' то оператор /1 действует из H^ в и ограничен..

Показана неулучшаемость условий I) и 2). В § 2.4 дана классификация гельдеровых пространств с весом..

JA u°ft.

ТЕОРЕМ 2.4.1. Пространства Н^ и п^ совпадают тогда и только тогда, когда со (*.Сд2 •.

О р (.

ТЕОРЕМ 2.4.2. Пространство //w непрерывно вложено в.

0 Н 1 тогда и только тогда, когда при jDf) j)2?p^^.

Sup —.

О /V*/).

2.4.3. При j>f, j)2 е пространство Н^ компактно.

ТЕОРЕМ.

U Г2 вложено в п^ тогда и только тогда, когда.

4 J*!L> = c.

Б-§- 2.5 рассматриваются некоторые частные случаи. В главе Ш рассматривается вопрос о разрешимости системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений вида Iху Г v с Н неизвестными функциями, определенными на? и выполняются условия: ограниченная область с липшицевой границей, 2) СО, р обладают свойствами а) СЛеМН. реРм.

S, J б) f^Ljt^I^M-omd.

О ir 8 *.

Г 0 f/g РоМ рю в). либо почти возрастает, либо почти убывает на.

О, Ш) * •.

3) функции.

•iv (x>&) «непрерывны на G-xQ., far, с/в = Кг<?£, и.

J? а) CJj ($) + «ДО ^ 0 hp/г со/ ff/yow # ft, б) J di «.

S i N в) CJf (Sfe)Cd (t) .

4) функции /Уу Гу-ц.Un) <�У"е<�Г, где С — вся комплексная плоскость удовлетворяют неравенствам:.

Со1щ>).

Ро Ыр) ' ««*/.

I Щ)) I «.

С——^-у Мн Ж и, -и&bdquo-1.

И Pj^tyhvpl) «-<.

5), An f yi. непрерывные на G функции, обладают P свойством: а) IkMsM., б) Ih^hWbal, X-y0.

Po (min{lix)>Up}).

X7 у e — G ,.

K, * h ' MH ' Мн * Mh ' кн ' кЬ «фиксиро» ванные постоянные..

Использованием результатов главы П доказывается применимость принципа Шаудера «о существовании неподвижной точки» к системе (3.1)..

Доказывается.

ТЕОРЕМА. Если заданные функции ^ [or, в), ^(х), hp (*)> fp — 'ftJ* удовлетворяют условиям 1)-5) и если постоянная JK' удовлетворяет условию Л/J ч<-t-, то н 2 У) мах { q, с2 ] система сингулярных уравнений (3.1) имеет по крайней мере одно ^ ^ в j) решение fh ], где На ,)-1,.уп.

Полученные результаты обобщают соответствующие Погожелского [30] и Рузметова [18] как относительно области G, так и отно.

О о сительно шкалы пространств // ..

Отметим, что принцип Шаудера к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям [ll, 12] впервые применен А. И. Гусейновым..

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах член-корр.АН Азерб. ССР А. А. Бабаева в Азгосуниверситете им. С. М. Кирова, на УП Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана, а также на ХХХУП Британском математическом коллоквиуме в Кембридже (апрель 1985 г.)..

Диссертация выполнена под научным руководством член-корр. АН Азерб. ССР, доктора физико-математических наук, профессора А. А. Бабаева и кандидата физико-математических наук, доцента С. К. Абдуллаева, которым я выражаю глубокую и искреннюю признательность..

1. Абдуллаев С. К. Многомерный сингулярный оператор в пространствах Гельдера с весом. Современные проблемы теории функции. Баку, 1980, с.43−48..

2. Абдуллаев С. К. Многомерный сингулярный интеграл по ограниченной Ш мерной области. В сб. «Исследование по линейным операторам и их приложения». Баку, 1982, с.3−19..

3. Абдуллаев С. К. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространствах гельдера с весом. ДАН Азерб. ССР, т. ХХХУ, Я 2, 1979..

4. Абдуллаев С. К. Ограниченность многомерного сингулярного оператора в некоторых пространствах и непрерывных функций. ДАН Азерб. ССР, т. ХХХУ, & 6, 1979..

5. Абдуллаев С. К., Бабаев А. А. Сингулярный оператор Коши по разомкнутому контуру в пространствах гельдера с весом. ДАН Азерб. ССР т.ХХХУ, № 5, 1979..

6. Аниконов Д. С. Об ограниченности сингулярного интегрального опеаратора в пространстве С {GO. Матем. сборник, 1977, Новосибирск 104, № 4, 515−539..

7. Бабаев А. А. К теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Учен.зап. АТУ им. С. М. Кирова, I960, № 2,с.23−34..

8. Бабаев А. А. Некоторые оценки для особого интеграла. ДАН СССР, 1966, 170, 5, I003−1005..

9. Бабаев А. А. Об одном обобщении теоремы Племели-Привалова и ее приложения. Учен.зап. АТУ, 1963, № 4..

10. Дудучава Р. В. 0 сингулярных интегральных операторах в пространствах гельдера с весом. ДАН СССР, 1970, 191, I, 16−19,..

11. Гусейнов А. И. Об одном классе нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Изв. АН СССР, сер.матем., 12, 1948, 193 212..

12. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш.

Введение

в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Москва, Наука, 1980..

13. Ггонтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. Москва, Гостехиздат, 1953..

14. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Физмат., Москва, 1962..

15. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва, 1977..

16. Мухтаров Х. Ш., А. М. Магомедов. О некоторых свойствах весовых пространств гельдера. ВИНИТИ, № 1735−81 Деп..

17. Пресдоф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. Мир, 1979..

18. Рузметов Э. Учен.зап.АГУ им. С. М. Кирова, сер. физ-мат.наук, 1965, № I, 13−17..

19. Сабир X. Рабии. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространствах гельдера с весом. АзНИИНТИ, 241.84 Деп..

20. Сабир X. Рабии. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в обобщенных гельдеровых пространствах. Темат.сб. научн.трудов. Баку, 1984..

21. Сабир X. Рабии. Некоторые оценки для многомерного сингулярного интеграла в пространствах гельдера с весом. Тез.докл. УП Республ.научн.конф. аспир. ВУЗов Азербайджана, Баку, 1984..

22. Сабир X. Рабии. О разрешимости одного класса системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Темат.сб., Баку, 1985, (в печати)..

23. Салаев В. В. Об одном обобщении теоремы С. Г. Михлина о поведении многомерного сингулярного оператора в классах^. Учен.зап. МВиССО Азерб. ССР, сер. физ-мат.наук, 1975, I, 40−46..

24. СаМе? ои А.P., iygwund Л., ои ike evidence о/сегИаи.

25. Со (с1е2ои А.Р., ЪудмчиЛ fi. о и-the siugufcvL Cnie^^s, Am г. y. Malk, t9 $?, i. n, p-2M-503.26. ff. kicthd., hn ~sci-Eco (e pau$ 49(№ 2)..

26. Ро^о^е^кс W-> u** dasse de^ubciion dczcon. Sci7sei, sei.mU., Qst20H plys. № 60.1 N*28. poflmetm jy., Рго$&мея. сшх. dUcch&uous. clans da Ui/оъе des f&ncttons, Qho^ii^es.Utt.A ead. PoU. sci. s^.sd.moA Q^tohJ ptys. 1Э5Э,}. мб}ъп~ъп..

27. V. S. ylodimizov, Z^ualioits 0/ MQikamHeai physicsy Mi’z puilcshew, Moscow.