Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка

Диссертация: Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Уравнение для функции тока и = ф (х, у) плоского установившегося адиабатического потока плазмы при отсутствии магнитного поля записывается в виде д г 2у дил 1 — (1 + 2Р) у д2и ду L (1 — уУ ду + 2у{1 — уУ+1 дх2 ' где: (3 = ^¿-у > 0- 7 — показатель адиабатыу = {г)/г)*)2, rj — модуль скорости, 77* = аоу/2]3 — максимальное значение модуля скорости, ао = const — скорость звука в покоящейся… Читать ещё >

Содержание

  • Глава I. Краевые задачи для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения
    • 1. 1. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
    • 1. 2. Теорема существования решения задачи Дирихле для модели
  • Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
    • 1. 3. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик одного семейства
    • 1. 4. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик разных семейств
    • 1. 5. Аналог задачи Геллерстедта для первого варианта модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
    • 1. 6. Аналог задачи Трикоми для второго варианта модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
  • Глава II. Краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка
    • 2. 1. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части
    • 2. 2. Принцип экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части
    • 2. 3. Краевая задача для класса линейных уравнений смешанного типа
    • 2. 4. Краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка
    • 2. 5. Краевая задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка

Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Уравнения в частных производных смешанного типа являются объектом интенсивного исследования прежде всего благодаря своим приложениям к смешанным системам с распределенными параметрами, в особенности, к аэродинамике больших скоростей, близких к скорости звука [4], и к безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака [10], [42].

Основной краевой задачей для двумерных уравнений смешанного (эл-липтико-гиперболического) типа второго порядка с одной линией параболического вырождения является задача, названная задачей Трикоми по предложению Ф. И. Франкля [55]. Работа Ф. Трикоми [55] «О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа» (1923) явилась первым основопологающим исследованием в этой области.

Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа и ее прикладных аспектов сыграли работы A.B. Бицадзе [8], [9], С. П. Пулькина [45], М. С. Салахитдинова [48], [49], [50], [51], Т.Д. Джу-раева [12], [13], М. М. Смирнова [53], Е. И. Моисеева [31], А. П. Солдатова [54], O.A. Репина [47], A.M. Нахушева [38], [39], [40], [41], Т.Ш. Кальмено-ва [17], А. Н. Зарубина [14], А. Г. Кузьмина [28], A.C. Радойкова [46], О. И. Маричева, A.A. Килбаса, O.A. Репина [30].

Диссертация посвящена сравнительно мало исследованному направлению теории уравнений смешанного типа — краевым задачам для моделей Лаврентьева-Бицадзе уравнения Чаплыгина в области, содержащей интервалы параллельных линий параболического вырождения, и уравнениям смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка. Поясним важность и актуальность проведения теоретических разработок в этом направлении.

Уравнение Чаплыгина плоских параллельных установившихся газовых течений записывается в виде.

К (у)ихх 4- иуу = 0, (1) где и = ф — функция токаК и у = о — функции скорости течения, которые положительны при дозвуковой и отрицательны при сверхзвуковой скоростих — в — угол наклона вектора скорости.

Уравнение (1) имеет эллиптический тип при дозвуковой скорости и гиперболический тип при сверхзвуковой скорости, звуковая линия у = О является линией его параболического вырождения.

Широко используемая аппроксимация уравнений газовой динамики, впервые предложенная Ф. И. Франклем, получается из уравнения годографа (1), если положить К (а) = (-у + 1) а, где 7 = const > 1 представляет собой отношение удельных теплоёмкостей. Уравнение.

7 + 1) уихх + иУу = ® заменой переменной 77 = (7 + 1 сводится к уравнению.

П^хх ищ — 0.

Существуют различные модели уравнения Чаплыгина (1). Модель Ф. И. Франкля по существу совпадает с уравнением Трикоми уихх + иуу = 0- (2) модель М. А. Лаврентьева хорошо известна как уравнение Лаврентьева-Бицадзе sign?/ • ихх + иуу = 0 (3) с коэффициентом i 1, У> о, signy=< о, у = О, k -1, У< 0.

Н. Poritsky [61] в качестве модели уравнения (1) предложил уравнение P{y)uxx + Щу = 0, Уо < у < Уп, (4) где Р (у) = kj = const при yj-i < у < уj, j = 1,2, .п. Постояные kj положительны в дозвуковой области и отрицательны в сверхзвуковой области.

Модель Поритского (4) получается из уравнения годографа (1) после замены функции К (у) ступенчатой функцией [4, с.37]. В случае модели Лаврентьева К (у) аппроксимируется ступенчатой функцией sign у.

S. Tomotika и К. Tamada (см. [4, с.40]) предложили в качестве уравнения годографа уравнение с коэффициентом где, а и ?3 положительные постоянные. Эта модель уравнения Чаплыгина после введения новых независимых переменных ту = еД? = у/Щх принимает вид.

1-т]2)и^ + г]2ищ + щ71 =. (5).

Уравнение (5) на евклидовой плоскости точек (= (?, 77) является уравнением в частных производных второго порядка с двумя параллельными линиями г) = — 1, г] — 1 изменения типа. Оно эллиптического типа в полосе —1 < 7] < 1 с параболическим вырождением на прямых г) — ±1,0 и гиперболического типа вне этой полосы.

Предложенное Карманом [4, с.32] приближенное уравнение для потенциала v = <�р (х, у) можно записать следующим образом:

7 + 1 д, 2ч. .

6).

Уравнение (6) относится к эллиптическому или гиперболическому типу в зависимости от того, будет ли производная vx — dv/dx отрицательна или положительна. В частности, если известно, что signva- = sign у (г/ - yi), yi = const > 0, (7) то это уравнение будет нелинейным уравнением смешанного типа с двумя параллельными линиями у = 0, у — у параболического вырождения.

Пусть замыкание Q области задания Q, уравнения (б) принадлежит прямоугольнику Q = {(х, у): а < х < Ь, 0 > ?/* < у < у] и потенциальное течение газа таково, что v (b, y) = и{а, у) + {Ьа)ш (у) (8) здесь ' 9vpy) dx.

ОХ w-bhijа.

— заданная функция, непрерывная на сегменте [у*, у*] всюду за исключением, быть может, точек 0 и у, где она может претерпевать разрывы первого рода.

В левой части уравнения (6) заменим один из сомножителей произведения ух • ух = (ух)2 его средним значением и (у). Тогда его приближение можно заменить линейным уравнением.

7 1 д2у.

В силу (7) sign а- (2/) = — sign. y (y — у). В случае, когда 2 и (у) =—r^signy{y — yi).

7+1 из (9) получим уравнение signy (j/-2/i) -Vxx + Vyy = о, (10) которое имеет гиперболический тип при 0 < у < yi и эллиптический тип при у < 0 и у > у.

Уравнение (9) при и (у) = —2 у (у — y)/{i + l) совпадает с уравнением.

У (у — yi) vxx + Vyy = 0, (11) а при uj (y) = у (у — у)/{7 + 1) — с уравнением у (у ~ y) vxx + Vyy = 0. (12).

Уравнение для функции тока и = ф (х, у) плоского установившегося адиабатического потока плазмы при отсутствии магнитного поля записывается в виде д г 2у дил 1 — (1 + 2Р) у д2и ду L (1 — уУ ду + 2у{1 — уУ+1 дх2 ' где: (3 = ^¿-у > 0- 7 — показатель адиабатыу = {г)/г)*)2, rj — модуль скорости, 77* = аоу/2]3 — максимальное значение модуля скорости, ао = const — скорость звука в покоящейся плазмех = 9 — угол наклона вектора скорости к положительному направлению оси х евклидовой плоскости точек (х, у). (см. [57]). Этому уравнению можно придать следующую форму записи:

4уу*{у{1-у)иуу + [1-(1-Р)у]иу} + {у*-у)ихх = 0, у* = 1/(2/3+1). (13).

В полуплоскости у > 0 уравнение (13) является уравнением смешанного (эллиптико-гиперболического) типа с двумя параллельными линиями у = у = 1 параболического вырождения. Оно имеет гиперболический тип в полосе у* < у < 1, эллиптический тип вне этой полосы и в точках остановок (х, 0), (77 = 0) вырождается параболически.

Как следует из (4), (5), (10), (11), (12) и (13), в качестве моделей этих уравнений в смешанных областях, содержащих интервалы двух непересекающихся линий изменения типа, могут выступать следующие уравнения: sign у (у -1)-ихх + иуу = 0- (14) signal — у) • ихх + иуу = 0- (15) у (у — 1) ихх + иуу = 0- (16) у (1 — у) ихх + иуу = 0. (17).

Уравнения (14) и (15) являются естественным аналогом уравнения Лаврентьева-Бицадзе (3) и их будем называть моделями Лаврентьева-По-ритского уравнения Чаплыгина первого и второго варианта, соответственно. Уравнения (16) и (17) в определенном смысле представляют собой аналог уравнения Трикоми (2).

В теории уравнений смешанного типа уравнением Чаплыгина называют уравнение вида (1) с непрерывно дифференцируемым коэффициентом К (у), удовлетворяющее условиям А'(0) = 0, К'(у) > 0. Уравнения (16) и (17) не удовлетворяют последнему условию, К'(у) меняют свой знак при переходе через линию у = ½. Тем не менее, в этой работе оператор К (у)д2/дх2 + д2/ду2 будем называть оператором Чаплыгина, если sign К (у) совпадает с sign у {у — 1) или sign г/(1 — у).

Первая краевая задача для уравнения (16) была поставлена и исследована A.M. Нахушевым [32] - [36].

Среди работ, посвященных краевым задачам для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения, отметим работы.

A.Б. Базарбекова [3], L.M. Sibner [63], И. Н. Ланина [29], A.A. Полосина [43],.

B.В. Азовского, В. А. Носова [1], А. Н. Зарубина [15], A.A. Андреева, И.Н., Саушкина [2], J.M. Rassias [62].

Главной целью научно-квалификационной работы является постановка и исследование линейных краевых задач для уравнений в частных производных смешанного типа с двумя параллельными линями параболического вырождения и уравнений с гиперболическим вырождением порядка в смешанной области.

Качественные характеристики смешанных краевых задач устанавливаются методами, в основе которых лежат: принципы экстремума Хопфа, Зарембо-Жиро, Бицадзе, Агмона-Ниренберга-Проттераметод априорных оценок (метод abc), методы Ф. Трикоми и A.B. Бицадзе решения задачи Трикоми для уравнений (2), (3) и в том числе, метод редукции смешанной задачи к краевой задаче Римана-Гильберта для аналитических функций комплексного переменного в случае уравнений (16), (17).

В работе впервые установлен принцип экстремума и дано решение задачи Дирихле и аналогов задач Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Поритского в главной частидоказана теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для класса линейных уравнений в частных производных с оператором Чаплыгина в главной части в смешанной области, содержащей внутри себя интервалы линий параболического вырождениядоказаны теоремы единственности и существования решения основных краевых задач для уравнений смешанных параболо-гиперболического и эллиптико-гиперболического типов с гиперболическим вырождением порядка.

Имеющими существенное значение в области дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа результатами работы являются:

1. Теоремы (1.1.1, 1.1.2, 1.2.1, 1.3.1, 1.3.2, 1.4.1, 1.6.1) единственности и существования решения задачи Дирихле, аналогов задачи Трикоми и задачи Геллерстедта для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения.

2. Теорема 2.1.1 об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части.

3. Теорема 2.2.1 о принципе экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части.

4. Теорема 2.3.1 об априорной оценке решения аналога краевой задачи Трикоми для класса линейных уравнений смешанного типа с оператором Чаплыгина в главной части.

5. Теорема 2.4.1 о единственности и теорема 2.4.3 о существовании решения основной краевой задачи 2.4.2 для широкого класса уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

6. Теорема 2.5.1 о единственности и теорема 2.5.2 о существовании решения основной краевой задачи 2.5.1 для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

Эти основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность. Практическая ценность состоит в том, что результаты работы могут быть использованы в математической биологии, при математическом моделировании задач газовой динамики и процессов, протекающих в режимах с обострением, а также при разработке корректных математических моделей гидравлического удара в трубопроводных системах.

Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов».

Заключение

.

Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой содержится решение следующей системы задач, имеющей существенное значение в области дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа:

1. Задача Дирихле (задача 1.1.1) и аналоги задачи Трикоми (задачи 1.3.1, 1.4.1) и задачи Гелерстедта (задача 1.5.1) для уравнения.

Ь+и = 8щпу (у — 1) • ихх + иуу = О в ограниченной смешанной области, содержащей интервалы линий у = О, у = 1 параболического вырождения;

2. Аналог задачи Трикоми (задача 1.6.1) для уравнения.

Ь~и = - у) • ихх + иуу = О в ограниченной смешанной области, содержащей интервалы линий у = О, у — 1 параболического вырождения;

3. Аналог задачи Трикоми (задача 2.1.1) для уравнения.

Ь^и + (хих + Я иу) р 4- ти — /(ж, у) в ограниченной смешанной области, эллиптическая часть которой представляет собой объединение двух односвязных областей, расположенных в полуплоскостях у < 0 и у > 1;

4. Аналог задачи Трикоми (задача 2.3.1) для класса уравнений смешанного типа вида.

К (у)ихх + иуу + а (х, у) их + Ъ (х, у) иу + с (х, у) и = О, где sign К (у) = sign — г/), и принцип экстремума для линейного уравнения с дифференциальным оператором Лаврентьева-Поритского L" в главной части;

5. Краевая задача (задача 2.4.2) для линейного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с гиперболическим вырождением порядка в двумерной полосе;

6. Краевая задача (задача 2.5.1) для линейного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка с гиперболическим вырождением порядка в двумерной полосе.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях — III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». (Нальчик, 2006 г.), Международный Российско-Азербайджанский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». (Нальчик-Эльбрус, 2008 г.), Международный Российско-Абхазский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». (Нальчик-Эльбрус, 2009 г.), Седьмая Всероссийская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». (Самара, 2010 г.), Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» .(Нальчик-Хабез, 2010 г.), I Всеросийская конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». (КБР пос. Терскол, 2010 г.), II Международный Российско — Казахский симпозиум.

Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". (Нальчик, 2011 г.), Международная конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». (Нальчик, 2011 г.).

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.В., Носов В. А. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в бесконечной области // Волжский математический сборник. Куйбышев: Куйб. пед. ин-т. Вып. 15, 1973. С. 3−9.
  2. A.A., Саушкин И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ-мат наук. 2005. Выпуск 34. С. 10 -16.
  3. A.B. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1974. Т. X, № 1. С. 18 23.
  4. Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ., 1961. — 208 с.
  5. A.B. О некоторых задачах смешанного типа// ДАН СССР. 1950. Т. 70, № 4. С. 561 564.
  6. A.B. К проблеме уравнений смешанного типа// Труды Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. М. 1953. Т. 41, С. 1 — 58.
  7. A.B. Об одном элементарном способе решения некоторых граничных задач теории голоморфных функций и связанных с ними особых интегральных уравнений // Успехи математических наук. 1957. Т. XII, Вып. 5(77), С. 185 190.
  8. A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Из-во АН ССР, 1959. — 164 с.
  9. A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.
  10. И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1988. — 512 с.
  11. К.А. Решение некоторых краевых задач для уравнений смешанного и смешанно-составного типа // Волжский математический сборник, 1971. Вып. 8. С. 85−94.
  12. Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. — 238 с.
  13. Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: ФАН, 1986. — 220 с.
  14. А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. — 225 с.
  15. A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН, 1962. Т. XVII, Вып. 23 (105). С. 3−146.
  16. Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент: «Гылым», 1993.-327 с.
  17. З.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями параболического вырождения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т.9, № 2. С. 39 43.
  18. З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами на двух параллельных линиях параболического вырождения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. № 2. С. 19 22.
  19. З.В. Краевая задача для уравнения смешанного типа с вырождением порядка // Труды седьмой Всеросийской научной конференции с международным участием. Самара. 2010. Часть 3. С. 143 146.
  20. З.В. Краевая задача для одного уравнения смешанного типа с вырождением порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН.2010. № 3 (35). С. 127- 134.
  21. З.В. О принципе экстремума для одного класса линейных уравнений смешанного типа с двумя параллельными линиями параболического вырождения //Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13, № 1. С. 74 76.
  22. А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Изд-во Ленинградского университета, 1990.208 с.
  23. И.Н. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго порядка с несколькими параллельными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1977. Т. XIII, № 1. С. 168−169.
  24. Марине в О. И., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. Самара.: Изд-во Самарского госсударственного экономического университета, 2008. — 276 с.
  25. Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром М.: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с.
  26. A.M. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН СССР. 1966. Т. 170, № 1. С. 38 40.
  27. A.M. Об одной задаче смешанного типа для уравнения у{у 1) uxx + иуу = 0 // ДАН СССР. 1966. Т. 166, № 3. С. 536 — 539.
  28. A.M. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения // Тез. Междунар. конгр. математиков. М., 1966. С. 62.
  29. A.M. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Сиб. мат. журн. 1967. Т.8, № 1. С. 19 48.
  30. A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения // Дифференц. уравнения. 1967. Т. З, № 1. С. 45 58.
  31. A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183, № 2. С. 261−264.
  32. A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус. — 1992. — 155 с.
  33. A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
  34. A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  35. A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. — 287 с.
  36. , A.M. Вклад академика H.H. Векуа в развитие теории уравнений смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2007, Т. 3, № 2, С. 9 16.
  37. A.A. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 1. С. 168−171.
  38. С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // ДАН СССР. 1958. Т. 118, № 1. С. 148−153.
  39. С.П. Избранные труды. Самара: Из-во «Универс групп», 2007. — 203 с.
  40. PadojKoe Асен С. Контурни проблеми за равенки од мешан тип. Штип, 2000. — 173 с.
  41. O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. — 161 с.
  42. М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974.- 156 с.
  43. М.С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997.- 165 с.
  44. М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Universitet, 2005. — 224 с.
  45. М. С. Уринов А.К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Mumtoz So’z, 2010. — 356 с.
  46. Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М: Наука, 1966. — 448 с.
  47. М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. -1970. — 296 с.
  48. А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа, 1991. 207 с.
  49. Ф. О линейных уравнениях второго порядка смешанного типа.- M.-JL: Гостехиздат. 1947. 192 с.
  50. Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М., 1957.- 444 с.
  51. C.B. Уравнения типа Чаплыгина в магнитной газодинамике // Известия Высших учебных заведений, Математика, 1969. С. 88 97.
  52. Agmon S., Nirenberg L.- Protter, M.H. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic -hyperbolic type // Commun. Pure and Appl. Math. 1953. Vol. 6, № 4. P. 455 470.
  53. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte // Uppsala. 1935. P. 391.
  54. Protter M.H. Uniqueness theorems for the Tricomi problem // Rational Mech. and Analysis. 1953. Part 1,2. P. 107−114.
  55. Poritsky H. Polygonal Approximation Method in the Hodograph Plane// Proceeding of symposia in Applied Mathematics. 1949. 1, P. 94−116.
  56. Rassias J. M Extended Bitsadze-Lavrent'ev problem with elliptic arcs in euclidean plane // Comptes rendys de l’Academie Bulgare des Sci. 1985. Vol. 38, № 1. P. 31−34.
  57. Sibner L.M. A boundary problem for an equation of mixed type having two transitions //J. differential Equation 4. 1968. P. 634 645.
  58. Zaremba S. Sun on probleme mixte rebatif a l’equation de Laplace // Успехи математических наук. 1946. I. 3−4.
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!