Почти омега-стабильные теории

Теория моделей — раздел математической логики, изучающей свя^ зи между формальным языком и алгебраическими системами" Создатели теории моделей — А. И. Мальцев и А.Тарский. В последние десятилетия эта теория интенсивно развивается в разных направлениях. Тема данной диссертации относится к одному из её актуальных направлений теории стабильности.

Зто направление берёт свое начало от известной теоремы Морли [32J, доказавшего гипотезу Лося: если счётная теория категорична в некоторой несчетной мощности, то она категорична во всех несчетных мощностях.

Идеи и методы, которые были использованы в доказательстве этой теоремы, стали более важными чем сама теорема. Одним из этих методов является понятие ранга Морли. Каждому типу р вполне определенным образом ставится в соответствие некоторый ординал Кд (р) «называемый рангом типа р • Это соответствие дает полезную характеристику сложности таких объектов как типы, формулы, теории и, в частности, позволяет доказывать некоторые утверждения об этих объектах индукцией по ординалам. Если каждый тип р имеет определенный ранг «то такие теории Морли называет тотально трансцендентными. Для каждой модели jbi теории Т можно определить стоуновское пространство SIM) полных типов с константами из JU,, совместных с теориейТ • Важным результатом оказался критерий тотальной трансцендентности теории в терминах мощностей стоуновских пространств. Морли {^доказал эквивалентность следующих условий: (а) теорияТ тотально трансцен-дентна: (б) для любой модели J[K теории Т мощности 60 стоуновское пространство S>(JU) этой модели также имеет мощность£0 «.

Если в условии (d) кардинал СО заменить на произвольный кардинал X, то мы получаем определение Xстабильности теории [.36]. Используя это понятие, Шелах[36] предложил следующую классификацию полных теорий: состабильные, суперстабильные, стабильные и нестабильные теории.

В 1966 году Марш[31] ввел понятие сильно минимальной формулы, которое оказалось очень полезным особенно при изучении СО^ -категоричных теорий. Используя его Балдуин и Лахлан[22] получили ряд замечательных теорем относительно «Я)^-категоричных теорий.

Вопрос категоричности является частным случаем вопроса о спектре теорий. Под спектром теорииТ понимается функцияST такая, чтойр (Л) это число неизоморфных моделей теорииТ* мощнос-ти^для любого кардинала X •.

Белеградек[7] в 1973 году с помощью сильно минимальных формул определил новый класс — класс почти категоричных теорий. Зта работа содержит структурные результаты о моделях почти категоричных теорий, на основе которых исследуется их спектр.

В 1973 году Лахлан[257 показал, что счетная суперстабильная не сокатегоричная теория имеет бесконечной число неизоморфных счетных моделей.

Гипотеза Лося для теорий произвольной мощности была доказана 1елахом[37] в 1974 году. К этому же времени относится его другая теорема[38]: еслиТ несуперстабильная теория, то для всех X Т I +w4.

Одновременно вопросы категоричности и спектра успешно развит вались для классов алгебраических систем, обладающих классическими свойствами замкнутости. В 1972 году Палютин[121 доказал, что из счётной категоричности квазимногообразия следует его несчётная категоричность, а в 1975 году им же было дано полное описа.

5 i ние категоричных квазимногообразий[18].

Класс квазитрансцендентных теорий был введен Мустафиным [13]. Определяя для таких теорий понятие сильной базы, ему удалось получить ряд структурных результатов о моделях квазитрансцендентных теорий с сильной базой и описать их спектр.

Книга Шелаха[39], вышедшая в 1978 году, содержит большинство известных к тому времени результатов по теории стабильности, значительна! часть которых принадлежит самому автору книги.

В работе ПалютинаСЗЗ] было дано описание бесконечных спектров полных многообразий,.

Мустафин[15] доказал, что для счетной полной двукардинальной тео-рииТ ?>Т (Ч<,)^ • Бекеновым в работе[9] показано: если т w qOJ счетная полная квазитрансцендентная теория, то либойрШ^Я для любого кардиналаХ «либо функция Sr неограничена.

Еще в работе[321 Морли поставил вопрос: существует ли полная конечно аксиоматизируемая 60±—категоричная теория, не являющаяся СОкатегоричной. В 1979 году эта проблема была решена Перетятькиным[20]. В 1980 году Зильбер[П] доказал, что конечно аксиоматизируемая всюду категоричная теория не полна.

Спектральный вопрос для СОстабильных теорий Т, о&^З был решен в работах Лахлана[27] и Байжанова[.б]* Полностью для всех СОстабильных теорий это сделали Шелах^О]^ и Заффе [34] •.

Описание категоричных хорновых классов (с точностью до 4ьэквивалентности) сделано Палютиным в работе[19]. Что же касается спектра полных хорновых теорий, то эта проблема решена в работе Заффе, Палютина, Старченко, которая готовится к печати.

В указанных выше работах Лахлана[251 и Шелаха[36] существен.

1 6 но использовались введенные ими ранговые функции Rw и Балдуин[23], Лахлан[24], Бекенов и Мустафин[10] для решения некоторых задач также опреляли новые ранговые функции, Б работах Бекенова18], Лахлана[281, 0марова[17] изучалась связь между различными рангами. Плодотворным оказался общий (аксиоматический) подход к теории ранговых функций, осуществленный в работах Бал-дуина и Бласса[21], Ласкара[29], Мустафина[141.

Естественные требования, предъявляемые к ранговым функциям, позволяют определить понятие вполне нормальной ранговой функции [44]. Такими, в частности, являются ранги, Jlfrj /с0 введенные соответственно для СОстабильных, суперстабильных и стабильных теорий.

Возникает вопрос: можно ли развивая идею стабильности найти новый класс полных теорий, который к тому же характеризовался бы вполне нормальной ранговой функцией.

В настоящей диссертации определяется новый класс полных теорий — класс почти СОстабильных теорий.

Исследование почти СОстабильных теорий — основная цель диссертации. Для достижения её решены следующие тесно взаимосвязанные задачи:

1) введена новая ранговая функция R,^ и в терминах этого ранга дан критерий почти СОстабильности теории;

2) доказано, что класс почти СОстабильных теорий находится между классами СОстабильных и суперстабильных теорий;

3) получена структурная теорема для Xнасыщенных моделей (X ^ со) почти СОстабильной теории;

4) описан спектр Xнасыщенных моделей почти СО «стабильной теории ограниченной размерности для всех Х^ СО I.

5) исследована связь между взаимной элементарной вложимостью и изоморфностью моделей почти СОстабильных теорий;

6) дан критерий максимальности типа в терминах вполне норч мальной ранговой функции;

7) доказано, что стабильная теория Т* произвольной мощности суперстабильна тогда и только тогда, когда Т допускает ординально значную нормальную ранговую функцию.

8) показано, что ранговые функции, характеризующие классы СОстабильных, почти СОстабильных и суперстабильных теорий, могут быть получена единым топологическим способом.

Результаты диссертации полезны в вопросах изучения конкрет^ ных алгебраических систем, а также могут быть включены в программу спецкурса по теории моделей.

Методы, используемые автором при доказательстве основных утверждений, опираются на результаты Шелаха, 3аффе об ортогональных типах и Мустафина о ранговых функциях.

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгебра и Логика», на семинаре «Полные теории» ИМ 00 АН СССР, на УП Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда,(1981), на семинаре кафедры высшей алгебры КарГУ.

Содержание работы. Первая глава — вводная. В ней даётся обзор результатов по теме диссертации и краткое содержание самой работы. Здесь же приводится терминология, обозначения и необходимые сведения.

Первый параграф второй главы начинается с определения почти СОстабильной теории — основного понятия диссертации. Пусть ёГШ это множество всех полныхтипов над сУЬ. Тип ре Sm (0) называется Астабильным, если для любого множества dt мощностиёг X — мощность множества также не превосходит X •.

Всюду в работе Т счётная полная теория, кроме одного случая, который будет специально оговорен (Теорема П. 3.18).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ТеориюТ назовем почти OJ-стабильной, если каждый типр из ВЧ0) является СОстабильным.

В этом же параграфе вводится ранговая функция R,^ .которая будет использоваться на прояяжении всей работы. Показывается, что&ц. вполне нормальная ранговая функция (Лемма ПЛ.4).

Пусть R, произвольная ранговая функция. Говорят, чтоТ Rрангованная теория, если каждый тип теории Т* имеет определенный R, -ранг. Основным результатом первого параграфа является.

ТЕОРЕМА ПЛ.7. Т е о р и яТ является почти СОстабильной тогда и только тогда, когдаТ Крангованная теок" р и я.

Таким образом класс почти СОстабильных теорий характеризуется вполне нормальной ранговой функцией.

Во втором параграфе доказывается, что класс почти СОста?-бильных теорий находится между классами 60 -стабильных и суперстабильных теорий.

ТЕОРША П. 2.3. Пусть Ко. К^ соответственно классы всех 60 -стабильных, почти 60-стабильных и суперстаби ль-ных теорий. Тогда имеют место собственные включения K’i ^ Кх •.

Заметим, что классы Кб и характеризуются вполне нормальными ранговыми функциями R,^ и S)^ соответственно.

Как показывает пример, приведенный в доказательстве теоремы П"2.3 существует почти 00 -стабильная теория, не имеющая простых моделей" Однако среди локально насыщенных моделей такая модель существует.

Модель JlL назовем локально насыщенной, если для любых ре QC0) и 7Я), й1е сДиз совместности следует, что реализуется ВеД- • Назовем модель jlL тэ^Ь локально простой над сit, > если сД локально насыщена и для любой локально насыщенной модели существует элементарное вложение модели JlL в модель У, тождественное над k .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ П. 2.4. ПустьТ почти ?0 -с т а-б и льн ая теория, $ произвольное множество. Тогда существует локально простая н, а дс^ модель.

Везде в третьем параграфе теория Т* предполагается стабильной (за исключением предложения П. 3.27).

Большинство известных способов задания ранга дают вполне нормальные ранговые функции. В этом отношении не является исключением и ранговая функция .

Максимальность (jxtft типа, введенная Шелахом 1391, является одним из центральных понятий теории моделей, обобщающее классические понятия независимости (например линейная независимость, алгебраическая независимость). Следующая теорема показывает как связаны эти два понятия.

ТЕОРЕМА П. 3.2. П у с т bR вполне нормальная ранговая функция, с^о р е.

Тогда следующие два условия эквивалентны: а) типр максимален н, а дс|- i б) Еср)= R-СрШ.

ТЕОРЕМА П. 3.2. будет часто использоваться в третьей главе. Обозначим для удобства через ft ранговую функцию Морли через R. ранговую функцию R,^, через R5 ранговую функцию 9kg. из13б! Шелаха, через ft, ранговую функцию Ц^ Лахлана[251.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть{^А и теорияТ является^{-рангованяой.Для} любых jLcztB* 7.

S (c%) следующие условия эквивалентны: а) типр максимален над/ о R! cp) = R.'ip/d).

Доказательство этого следствия следует из теоремы П. 3.2, если учитывать, что Ц1, вполне нормальная ранговая функция для любого I ^ 4.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть^с^,^ S (d), R,°(p)< оо. Обозначим через Q (RL) множество {о е • pcz .

Тогда Q (Z°) — Q (R1) — QlR*) = QCR? J.

Последнее следствие говорит о том, что, как бы не задавался вполне нормальный ранг ft,, множество расширений типа р того же ftранга одинаково для всех ft •.

В работе Мустафина[|Д было определено понятие нормальной ранговой функции и был поставлен вопроо: существует ли стабильная, несуперстабильная теория, являющаяся ftрангованной для некоторой ординальнозначной нормальной ранговой функции ft tСледующая теорема отвечает на этот вопрос.

ТЕОРЕМА П. 3.18. ПустьТ стабильная теория произвольной мощности. Тогда т е о р и яТ суперстабильна тогда и только тогда, когда Т является R, ~ рангованной для некоторой о р д инальнозначной нормальной ранговой функци hR, •.

Одним из результатов работы[.|#] является доказательство теоремы о том, что всякая вполне нормальная ранговая функция является нормальной. Тогда имеет место следующее:

СЛЕДСТВИЕ. Пусть [ стабильная теория произвольной мощности. Тогда следующие условия эквивалентны: а) теорияТ суперстабильнаб) т е о р и яТ Ц-р ангована, для некоторой ординальнозначной вполне нормальной ранговой функции^, — в) т в о р и яТ fl-рангована для некоторой ординальнозначной нормальной ранговой функции!^.

В работе Лахлана[25] были введены ранговое функции для воех&^со" Иопользуя относительную формульность ранга ft^ (К^-со4) для любого типа р е и для любой формулы можно определить формулу с константами из zft такую, чтоср (ос, Й) е. р (= .Отображение (-|Р задает некоторую схему над Jb типа р • С помощыб схемы может быть дан ещё один критерий максимальности типа.

ТШРЕМА П. 3.26. Пусть.

Тогда следующие два условия эквивалентны: а) тип р максимален над <£$Г ^.

Ч Р.

6) (= Vy Н<{ -^ Ыср ДЛЯ любой формул Ы tf=*l{(3gi.

При доказательстве этой теоремы используется лемма П. 3.25 о том, чторанговая функция R^co вполне нормальна.

В заключении параграфа дается характеристика стабильности теории в терминах вполне нормальных ранговых функций.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ П. 3.27. ПустьТ произвольная счётная теория (не обязательно стабильная). Тогда для того, ятобы НП была стабильной необходимо и достаточно, чтобы теория б н л, а ^ р, а к г ов, а н а, д ля некоторой (CZ^J^^ СО±-) -в п о л н е нормальной ранговой функции j?,.

В четвертом параграфе развивается идея общего топологического метода задания ранговых функций из [Ifl. Из теоремы 2 работы [ТЛ] и из теоремы П. 3.18 данной диссертации вытекает следствие П. 4.1 о том, что класс суперстабильных теорий характеризуется нормальной ранговой функцией R-J/t^o^ • Если g/icи Ж — СО, то д^это ранг Морли. Возникает вопрос: можно ли подобрать топологию йЬ и кардинал так, что-бы fig[L ххарактеризовала класс почти СОстабильных теорий.

Основной результат четвертого параграфа — теорема II.9, отвечающая на зтот вопрос.

Всюду в третьей главе теория Т предполагается почти СОстабильной. Через X обозначается произвольной бесконечный кардинал. Напомним, что модель JI называется Xнасыщенной, если для любого и для любого р е тип р реализуется в модели Ж .

Понятие локально регулярного типа обобщает понятие сильного типа [131 и является наряду с Ц^ основным инструментом при доказательстве утверждений. Следующее предложение показывает, что локально регулярные типы существуют.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ Ш. 1.2. Пуст ъМ4Jf произвольные Xнасыщенные" модели, типГ из S (0) реализуется в JI сЛ-.

1 о г д, а существует элемен т, а к о й, ч т о (а) т и ni (ct, M.) локально регулярный, (б) элемент Си реализует Г •.

Основной результат первого параграфа третьей главы следующая структурная теорема о Xнасыщенных моделях почти СОстабильной теории.

ТЕОРЕМА Ш. 1.18. Пусть JU> произвольная Xнасыщенная н о д е л ь,{р. «максимальное множество попарно ортогональных локально регулярных типов и.

3 ё>Ч<�М) .Пустьподмножества^, (I)j^ju, модели <�Л ир^ [(Л локально регулярный тип, (б) множество^ есть базис типар./с/^ в модели ж для всех j * / ¦ J.

Тогда t/lL является^{-минимальной} моделью над oft V U L- ,.

Множество типов из теор0мы Ш. 1.18 назовём локально регулярной базой (надс/") м о д е л и jU • Понятие локально регулярной базы обобщает понятие сильной баз ы£12>1.

Во втором параграфе изучаются размерности локально регулярных типов. Доказывается следующая теорема о сложении размерностей локально регулярных типов.

ТЕОРЕМА 1Л9. Пусть^сД-<�с/ .модель JIL Л-насыщена, тип ре &-Ч&-) локально регулярный и стационарный, типр1 из максимальное расширение тип ар.

Тогда dcm (р> J/) = cliw. if, М) cUwiip^dt).

Третий параграф посвящен почти СОстабильным теориям ограниченной размерности.

ТеорияТ называется теорией ограниченной размерности, если существует кардинал JLL такой, что для любой модели jlL теории Т мощность любого множества попарно ортогональных локально регулярных типов из не превосходитJiu • Наименьшее такоеназывается размерностью теории]^.

В дальнейшем до конца этой главыТпочти о)-стабильная теория ограниченной размерности.

Для таких теорий справедливо утверждение о существовании локально регулярных. типов более сильное, чем предложение Ш. 1.2.

ТЕОРЕМА Ш. З. З. Пуст ь еЖЧ сМ произвольные Лнасыщенные модели и ти п Гб е 0) реализуется ъ^Ж" Тогда существует элементе и з J^jll такой, что а) элементе! реализуетГб) i[c окально регулярный типв) -i (ctc/Ul) максимальное расширение локально регулярного типа.

Эта теорема используется при описании спектра J^ -насыщенных моделей.

Обозначим через iSfC^jJ^O число неизоморфных СОрнасыщенных моделей теорииТ мощности СО^. При фиксированном ординале Jb JIL0 OOjg-простая модель (над 0).В работе определяются группа перестановок (-) и связанные с ней натуральные числа ^ и [^" J^*!^ (oi-Jb)^ # Следующая теорема описывает спектр ^ (oijjb') СОрнасыщенных моделей мощности СО^ для всех (ь и oL .

1J |- .

ТЮРЕМА 1.3.22. ПустьТ почти таб и льная теория ограниченной размерности, JIl — размерность теори иТ* .

Тогда функция спектра Вy[oi, Ji>) принимает только следующие значения:

0. «если Си0ь>1Мо1) а) е с л и|Ц= ± .ToSpC^»)^.

L-p+t, еот co^lMoij.

V-ib+l!^- - I л,, ,, если сол"(bWtfl, б) если60, то^Id^^y^-jbtii-^b-^i^ecJH 1 Ж, j, id-jbj^a— в) еслиД=а), то^Vp (ct, jb) = (а-^+ц*0 .если cu^>lJUt> - г) еслид=Я «то = ^-уз+^Я-, если oj^ IJU*{ > д) ёгСoL, p) О «если l^ol.

Будем говорить, что две модели е/Ли взаимно элементарно вложим ы, если сЖ элементарно вкладывается всуу, & t/v элементарно вкладывается в.

Д.

В четвертом параграфе исследуется вопрос: при каких условиях взаимная элементарная вложимость моделей влечет их изо-морфность.

ТШРЕМА Ш. 4.7. П у с т ьТ почти 00 -стабильная теория размерности и Ji =.

Две i-н, а с н i е н н ые модели л и uv в з, а имно элементарно вложимы тогда и только тогда, когда Д. изоморфно (j/ «.

В теореме Ш. 4.7 условие ограниченности размерности снять нельзя, В работе приводится соответствующий пример,.

СЛЕДСТВИЕ, Пусть т почти состабильная теория размерности juT ^ и) • А ъ е СОнасыщенные модели сМ ъ<�А/ взаимно элементарно вложимы тогда и только тогда, когда с/U ~ j/.

В следующих утверждения речь пойдет о всех моделях (не обязательно Xнасыщенных), .

СЛЕДСТВИЕ. ПустьТ почти оОстабильная СОкатегоричная теория ограниченной размерности.

Модели (jli H (V теории" «]» 1 взаимно элементарно вложимы тогда и только тогда, когда сМ- — ^.

Заметим, что контрпример, о котором шла речь выше является СОкатегоричной СОстабильной теорией.

ТЕОРЕМА Ш. 4.10. Е ели Ji,^ модели СОстабильной конечн о-р азмерностной теории, т о Л иУ взаимно элементарно вложимы тогда и только тогда, ког-д, а Д-изонорфно /.

СЛЕДСТВИЕ.

Заключение

теоремы HU4. I0 верно для почти категоричных т е о р и йг и з [ 5].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю академику АН КазССР Асану Дабсовичу Тайманову, заведующему кафедрой высшей алгебры доценту Туленды Гарифовичу Мустафину и старшему научному сотруднику ИМ СО АН СССР доценту Евгению Андреевичу Палютину за постоянное внимание к работе и поддержку.

1. Мальцев А. К. Алгебраические системы. -М.:Наука, 1970. .

2. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика.~М. :Наука, 1977.-.,.

3. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. -Мир., 1977. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей.-М.:Мир, I976.-I90 е.,.

4. Мустафин Т. Г. Стабильные теории.-Караганда, 1981.-92 с.Статьи.

5. Байжанов Б. Спектральные вопросы тотально трансцендентных теорий конечного ранга.-В кн: Теория моделей и её применения. Алма-Ата, КазГУ, 1983, с.25−47,.

6. Белеградек О. В. О почти категоричных теориях.-Сиб.матем. ж. Д973,тЛ4, Ш, с.277−285.

7. Бекенов М. И. Класс теорий трансцендентных относительно ранга Шелаха. -В кн: Тезисы докладов УТ Казахстанской межвузовской научной конференций по математике и механике. Алма-Ата, 1977, с. 131.

8. Бекенов М.й. О спектре квазитрансцендентных теорий.-Алгебра и логика, 19?2, т.21, № 1, с.5−14.

9. Бекенов М. И,.Мустафин Т. Г. Свойства нерасщепимых типов в стабильных теориях.-Сиб.матем.ж., 1981, т.22, № 1, с.27−34.

10. Зильбер Б. И. Решение проблемы конечной аксиоматизируемости для теорий, категоричных во всех бесконечных мощностях.-В кн.: Теория моделей и её применения. Алма-Ата, КазГУ, 1980, с.47−60.

11. Категоричные квазимногообразго^/А.Абакумов, Е. Палютин, Ю. Шипь марёв"М.Тайцлин.~Алгебра и логика, 1972, т. II,№ 1,с.3−38.

12. Мустафин Т. Г. О сильной базе элементарных типов теорий.-Сиб.матем.ж., 1977, т.18,№б, с.1356−1366.

13. Мустафин Т. Г, 0 ранговых функциях в стабильных теориях.-Сиб.матем.ж., 1980, т.21,№ 6,с, 84−95.

14. Мустафин Т. Г, 0 теориях с двукардинальной формулой.-Алгебра и Логика, I960, т.19, № 6, с.676−682.

15. Мустафин Т"Г. Принципы нормализации.-Сиб.матем, ж., 1981, т.22, № 2, с.158−169.

16. Омаров Б. Ранги и счетных СОкатегоричных теорий. -В кн.:Теория моделей и её применения. Алма-Ата, 1980, с. 61.

17. Палютин Е. А. Описание категоричных квазимногообразий.-Алгебра и логика, 1975, т.14, № 2, с.145−185.

18. Палютин Е. А. Категоричные хорновы классы Л.-Алгебра и ло-.- гика, 1980, т.19, ?5, с.582−614.

19. Перетятькин М. Г. Пример^{-категоричной} полной конечно аксиоматизируемой теории.-Алгебра и логика, 1980, т.19,№ 3,с.314~ 347.21. fyaldwin 3., eS&ss dk. Jin, аоссшакс approach {оdtUl.Math.LogteJ974, Г. 7,р.295−324.

20. J., Lack^nJ. Ovl s-fro^mtfwWsete.sym-i-o-tic. LoflSC 1971, 36, p.79−96.23. dr ts fviife-for cv±-L"iz$orCeae T.Trftns.Aw^. /Haf/t- 1973, .181, p.37−51.

21. Lae-^WX J property 4 sia4&tfau>irus.- гошс/т.maik—I972,^.77, p.9−20.25. bateau JOvl ike wumier o cmmiaSA vwodtfe otf a СОи^аШ гире^аШ th&oty.- Tit: Lo^b^dk.phit S,/i/JwsWam,, 1973, p.45−56.

22. Lftc/t/fak, c?. TW) con-jttiures. rtdnrdcng, tin SiaMiu of ?0-?crte.

23. Ьас^акЛ-^щиЛиг properties of Motfy w&rF&unctaM. ma-tk, 1980, if.108, p. I4^-I57.29. haseA-rS). Rayi-fis crnci d^iMX-iUib^ in SuperHuotUs.-^sradXMcii^/ 1976,^.23, № 1, p.53−87.

24. Lasc&r Potea-^.^a i^oduttcoviЬфэтЬсир? J. Sytn,^. jLo^'C, 1979, ZM4, № 3, p.330−350.

25. Ma^sek w. Ovl co±- eccbe^on'caC Sut Mi to taieyoH ~ eecl theories. — Ш&-. of SDartivowtrk, 1966, P/l.$. T/Ws.

26. I^or&y M. CcdcfyOhtctiy. Ck power. Trans. Awer. I^aik. ->oe.} 1965, p.514- 538.

27. Paijuici Muw-ik^ o{ modzks ^ оошрЫсmrcelss Г/ьdam, tf,.

28. K p.257−266. .

29. Нурмагамбетов Т. А. Об одном классе стабильных теорий.-В кн.: Материалы X Респ.студенч.конф.по естес., техн. и гуман. наукам. Алма-Ата, 1979, с.6−8.

30. Нурмагамбетов Т. А. 0 почти СО-стабильных теориях.-Известия АН Каз ССР (серия ф.-м.наук), 1981, т.102,№ 5, с.47−51.

31. Нурмагамбетов Т. А. Ранговые функции и Xнасыщенные модели почти 60 -стабильных теорий.-Деп.ВИНИТИ № 686−84 Деп., 6 фе~ фраля 1984 г.-31 с.(представлено редкол." Сиб.матем.ж.").