Полигоны и мультиполигоны над некоторыми классами полугрупп

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

исследования. Полигоны над полугруппой, т. е. множества, на которых действует полугруппа, возникают в разных разделах алгебры и ее приложений. Понятие полигона является алгебраическим выражением понятия автомата [9, 11] (точнее, автомата Мура, т. е. автомата без выхода). Это означает, что все работы по алгебраической теории автоматов можно рассматривать как относящиеся к теории полигонов. Если обычный полигон над полугруппой является алгебраической интерпретацией автомата, то мультиполигоны можно интерпретировать как автоматы с несколькими входными алфавитами. Кроме того, полигон над полу-, группой является универсальной алгеброй, операции в которой — унарные (умножения на элементы полугруппы). Частичный полигон является частичной универсальной алгеброй [12].

Теория полигонов является довольно молодым разделом общей алгебры, имеющим гораздо менее богатую историю, чем многие другие разделы, а теория мультиполигонов вообще находится на начальной стадии развития. Поэтому разработка этих теорий представляется актуальной математической задачей.

Понятие полигона над полугруппой аналогично понятию модуля над кольцом, ввиду чего теория полигонов развивалась под большим влиянием теории колец и модулей. Гомологическая классификация колец, т. е. исследование свойств кольца по свойствам категории модулей над этим кольцом, вызвала аналогичные вопросы в теории полигонов. По аналогии с модулями рассматривались артиновы и нетеровы, инъективные и проективные, плоские и свободные полигоны и т. д. Этими вопросами занимались многие математики России и зарубежья: М. Кильп [4, 28], В. Фляйшер [19, 20], П. Нормак [16, 31] (Эстония), Л. А. Скорняков [17], А. В. Михалев [3, 13, 28], И. Б. Кожухов [1, 2, 6, 24, 30] (Россия), М. Я. Комарницкий, Г. В. Зелиско [7] (Украина), У. Кнауэр [28, 31, 32], С. Булман-Флемипг [26], М. Петрич [32] и др. В работах [3, 13, 18] исследовались теоретико-модельные свойства полигонов. И. Б. Кожухов исследовал подпрямо неразложимые полигоны, т. е. полигоны, не разложимые в нетривиальное подпрямое произведение. Он доказал, что если порядки всех подпрямо неразложимых полигонов над полугруппой ограничены в совокупности, то полугруппа периодическая. Все подпрямо неразложимые полигоны состоят не более чем из двух элементов тогда и только тогда, когда полугруппа является полурешеткой [30].

В теории групп широко известной и развитой является теория представлений групп, причем рассматривались как линейные представления (т.е. представления линейными отображениями векторных пространств), так и представления подстановками (взаимно однозначными отображениями множества в себя). Аналогично этому рассматриваются представления полугрупп: как линейные представления, так и представления преобразованиями (не обязательно взаимно однозначными) множества. Теория представлений полугрупп тесно связана с теорией полигонов.

В работе В. И. Кима [29] множество изотонных отображений О (X, У) частично упорядоченного множества X в частично упорядоченное множество У рассматривалась как биполигон над полугруппами О (X, X) слева и О (У, У) справа. Было доказано, что в случае, когда X и У — конечные цепи, биполигон О (X, У) порожден одним элементом.

Т. С. Фофанова [21, 22, 23] исследовала полигоны с заданной на них структурой полурешетки над дистрибутивной решеткой, булевой алгеброй или цепью. На полигоны в этих статьях накладывались дополнительные условия дистрибутивности.

Аналогия теории полигонов над полугруппами с теорией модулей над кольцами хорошо прослеживается в работе В. В. Неклюдовой [14]: там рассматривались прямые пределы семейств полигонов над полугруппами с системой локальных единиц, доказано их существование и получены представления полигонов и полугрупп в виде прямых пределов. В ее же статье [15] было доказано, что две полугруппы с системой локальных единиц обладают эквивалентными категориями нечетких полигонов над ними тогда и только тогда, когда полугруппы Морита-эквивалентны.

Если полугруппы имеют простое строение, то полигоны или мультипо-лигоны над ними могут быть описаны. В работе А. Ю. Авдеева и И. Б. Кожухова [1] было получено в теоретико-множественных терминах полное описание полигонов над прямоугольной связкой. В качестве следствий из этой теоремы получались описания полигонов над полугруппами левых и правых нулей. В другой работе этих же авторов [2] было приведено полное описание полигонов над прямоугольной группой. Позже авторам удалось получить описание полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами [24], что обобщало предыдущие результаты.

В настоящей работе некоторые из этих результатов переносятся на случай биполигонов и мультиполигонов над полугруппами левых и правых нулей: доказана теорема о строении биполигонов над двумя рисовскими матричными полугруппами с нулями, получено полное описание (1/1,1,2), (^1,-^2), (Ь, Л), (Я, 1/)-биполигонов, где 1/1, Ь2 — полугруппы левых нулей, /?, /?2 — полугруппы правых нулей, а также полное описание мультиполигонов над семействами полугрупп, каждая из которых является полугруппой левых или правых нулей.

Цели и задачи исследования данной работы заключаются в исследовании алгебраического строения полигонов над полурешетками (в том числе частичных полигонов) и мультиполигонов над семействами полугрупп специального вида (полугруппами левых и правых нулей и т. д.).

Методы исследования. В работе используются методы алгебраической теории полугрупп и теории частично упорядоченных множеств. Для проверки некоторых гипотез и получения информации о строении полигонов был использован компьютер.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и в соавторстве. В работах в соавторстве автору принадлежит 50% результатов.

Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы алгебраической теории полугрупп и теории частично упорядоченных множеств.

Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов о строении полигонов над полурешетками и цепями, биполигонов и мультиполигонов над полугруппами специального вида. Доказан ряд свойств частичных полигонов над полу решетками. Полученные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в структурной теории полугрупп и (мульти)полигонов.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ, а также на следующих конференциях: 14-й и 15-й Международных конференциях «Проблемы теоретической кибернетики» (Пенза, 2005, Казань, 2008) — 14-х и 15-х математических чтениях РГСУ (Москва, 2005, 2006) — Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию И. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005) — 12-й, 13-й и 18-й Всероссийских межвузовских конференциях «Микроэлектроника и информатика» (Москва, МИЭТ, 2005, 2006, 2011) — Международном семинаре по компьютерной алгебре и информатике (Москва, МГУ, 2005) — 6-й, 7-й и 8-й Международных алгебраических конференциях на Украине (Каменец-Подольский, 2007; Харьков, 2009; Луганск, 2011) — Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию А. Г. Куроша (Москва, МГУ, 2008) — 10-м международном семинаре «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, МГУ, 2010) — 7-й Международной конференции «Алгебра и теория чисел» (Тула, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе 3 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Общий объем работы составляет 94 страницы.

Список литературы

включает 55 наименований.

1. Авдеев А. Ю., Кожухов И. Б. Полигоны над полугруппами простого строения // Труды шестых математических чтений РГСУ. — Москва, 1999. — С. 103−107.

2. Авдеев А. Ю., Кожухов И. Б. Полигоны над прямоугольными группами // Материалы 12-й международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Нижний Новгород. 1999. — С. 5.

3. Гоулд В., Михалев A.B., Палютин Е. А. Теоретико-модельные свойства свободных, проективных и плоских S-полигонов // Фундаментальная и прикл. матем. 2008, Т. 14, № 7. С. — 63−110.

4. Кильп М. Гомологическая классификация моноидов // Сиб. мат. журн. 1972, Т 13, — С. 578−586.

5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // М.: Мир, 1972. Т. 1.

6. Кожухов И. Б. Условия конечности для подпрямо неразложимых полигонов и модулей // Фундаментальная и прикл. матем. 1998. Т. 4 № 2. С. 763−767.

7. Комарницький М. Я. Елементи теори нашвгруп та полшошв. Курс лек-щй // Лыпв, 2011.

8. Кон П. Универсальная алгебра // М.:Мир, 1969.

9. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин A.C.

Введение

в теорию автоматов // М.:Наука, 1985.

10. Курош А. Г. Теория групп // М.:Наука, 1969.

11. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения // М.:Мир, 1985.

12. Ляпип Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия // СПб.: Образование, 1991.

13. Михалев A.B., Овчиникова Е. В., Палютии Е. А., Степанова A.A. Теоретико-модельные свойства регулярных полигонов // Фундаментальная и прикл. матем. -2004. Т. 10 № 4. С. 107−157.

14. Неклюдова В. В. Полигоны над полугруппами с системами локальных единиц // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, N° 3. С. 879−902.

15. Неклюдова В. В. Морита-эквивалентность моноидов и эквивалентность категорий нечетких полигонов // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, № 1. С. 179−194.

16. Нормак П. О нетеровых и конечно представимых полигонах // Уч. записки Тартус. ун-та. 1977. № 431. С. 37−46.

17. Скорняков Л. А. О гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1969. Т. 10, № 5, С. 1139−1143.

18. Степанова A.A. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. матем. журн. 1994. Т. 35, № 1. С. 181−193.

19. Фляйшер В. Г. Об эндоморфизмах свободных полигонов // Уч. записки Тартус. ун-та. 1974. № 336. С. 189−105.

20. Фляйшер В. Г. Определяемость свободного полигона его полугруппой эндоморфизмов // Уч. записки Тартус. ун-та. 1975. Na 366. С. 27−41.

21. Фофанова Т. С. Полигоны над дистрибутивными решетками // Сибирский математический журнал. 1971. Т. 11, № 5. С. 1195−1199.

22. Фофанова Т. С. Инъективность полигонов над булевыми алгебрами // Сибирский математический сборник. 1972. Т. 13, № 2. С. 452−458.

23. Фофанова Т. С. Об инъективных полигонах над цепями // Mathematica Slovaca. 1978. Т. 28, № 1. -С. 21−33.

24. Avdeev A.Yu., Kozhuhov I.B. Acts over completely 0-simple semigroups // Acta Cybernet. 2000. Т. 14, № 4. С. 523−531.

25. Bogdanovic S., Ciric M., Petkovic T. Decomposition of automata and transition semigroup // Acta Cybernet. T. 13 № 4. C. 385−404.

26. Bulman-Fleming S. Pullback-flat acts are strongly flat // Canad. Math. Bull. 1991. № 34. C. 456−461.

27. Esik Z., Imreh B. Subdirectly irreducible commutative automata // Acta Cybernet. 1981. T. 5, № 3. C. 251−260.

28. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, Acts and Cathegories // Berlin. Walter de Gruyter. 2000.

29. Kim V.l. On isotone mapping of partially ordered set // 6-th International Algebraic Conference in Ukraine. Ukraine, 2007. C. 99−100.

30. Kozhuhov I. One characteristical property of semilattices // Comm. In Algebra. 1997. T. 25, № 8. C. 2569−2577.

31. Knauer U., Normak P. Hereditaly endomorphism monoids of projective acts // Manuscripta math. 1991. № 70. C. 133−143.

32. Knauer U., Petrich M. Characterisation of monoids by torsion-free, flat, projective, and free acts // Arch. Math. 1981. № 36. C. 289−294.

33. Mach A., Moszner Z. Translation equation on monoids // Annales Polonici Matematici. T. 84, № 2. C. 137−146.

34. Wang Q., Wismath S. L Generalized inflation and null extensions // Discuss. Math. Gen. Algebra Appl. 2004. T. 24, № 2. C. 225−249Работы автора по теме диссертации.

35. Кожухов И. Б., Максимовский М. Ю. Об автоматах над полурешетками // «Системный анализ и управление», сборник научных трудов под ред. Бархоткина. Москва. 2006. — С. 19−34.

36. Максимовский М. Ю. Биавтоматы над рисовскими матричными полугруппами // Сборник научных трудов «Моделирование, алгоритмизация и программирование при проектировании информационно-управляющих систем», под ред. Бархоткина. Москва. 2008. -С. 104 109.

37. Максимовский М. Ю. О полигонах над полурешетками // Фундамент, и прикл. матем. 2008. Т. 14, № 7. С. 151−156.

38. Максимовский М. Ю. О биполигонах и мультиполигонах над полугруппами // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 6. С. 855−866.

39. Апраксина Т. В., Максимовский М. Ю. Полигоны и частичные полигоны над полурешетками // Москва. МИЭТ. 2011. — 10с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.2011, № 454-В2011.

40. Кожухов И. В., Максимовский М. Ю. Биполигоны и мультиполигоны над некоторыми классами полугрупп // Материалы 14-й Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Пенза. 2005. — С. 64.

41. Кожухов И. В., Максимовский М. Ю. О биполигонах и мультиполиго-нах над полугруппами // Материалы 14-х математических чтений РГ-СУ. Москва. 2005. -С. 39−43.

42. Кожухов И. В., Максимовский М. Ю. О мультиполигонах над полугруппами // Материалы Международной алгебраической конференции. -Екатеринбург. 2005. -С. 12−13.

43. Максимовский М. Ю. Биполигоны и мультиполигоны над полугруппами определенного вида // Материалы докладов 12-й Всероссийской межвузовской конференции «Микроэлектроника и информатика». -Москва. МИЭТ. 2005. -С. 180.

44. Кожухов И. В., Максимовский М. Ю. О полигонах над цепями // Материалы 15-х математических чтений РГСУ. Москва. 2006. -С. 67−71.

45. Кожухов И. В., Максимовский М. Ю. О строении счетных полигонов над цепями // Материалы 13-й Всероссийской межвузовской конференции «Микроэлектроника и информатика». Москва. МИЭТ. 2006. -С. 155.

46. Maksimovskiy М. Yu. Biacts over Rees matrix semigroups // Материалы 6-th International Algebraic Conference in Ukraine. Украина. 2007. -С. 133−134.

47. Кожухов И. Б., Максимовский М. Ю. О полигонах над полурешетками // Материалы международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию А. Г. Куроша. Москва. МГУ. 2008. — С. 125−126.

48. Кожухов И. Б., Максимовский М. Ю. Автоматы над свободными коммутативными полугруппами // Материалы 15-й международной алгебраической конференции «Проблемы теоретической кибернетики». -Казань. 2008. С. 50.

49. Maksimovskiy M.Yu. On multiacts over right zero semigroups // Материалы 7-th International Algebraic Conference in Ukraine. Украина. 2009. С. 94−95.

50. Максимовский М. Ю. О подбиполигонах биполигонов // Материалы 10-го международного семинара «Дискретная математика и ее приложения». Москва. МГУ. 2010. — С. 189−190.

51. Максимовский М. Ю. О мультиполигонах над полугруппами // Материалы 7-й Международной алгебраической конференции «Алгебра и теория чисел». Тула. 2010. — С. 126−127.

52. Кожухов И. Б., Максимовский М. Ю. Действия коммутативных полугрупп идемпотентов на множествах // Вестник МГАДА. 2010. № 5. -С. 84−90.

53. Kozhuhov I.B., Maksimovskiy M.Yu. On the connections of acts with biacts // Материалы 8-th International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor V. M Usenko. Луганск. 2011. — С. 262.