Математические модели и алгоритмы решения задачи разделения движения для эмпирических данных с трендом

Актуальность работы. При исследовании эмпирических данных часто решается задача о разделении движения на трендовую и колебательную составляющие. х Для механических систем, где тренд описывается уравнением движения центра масс, его исключение не представляет особой сложности. Решение задачи о разделении движения, когда уравнения для опорной траектории неизвестны, связано с большими трудностями. Регулярных методов решения этой задачи фактически нет.

Стандартные методы исключения тренда основываются на аппроксимации исходного ряда определенной зависимостью. После определения параметров используемой модели считается, что уравнения тренда теперь известны.

В действительности, использование этого метода не гарантируют исключение тренда без потери существенной информации о процессе или возникновения колебаний, изначально не присутствующих в исследуемых эмпирических данных. Это происходит из-за несоответствия используемых моделей свойствам реальных процессов.

При исследовании оставшихся после исключения тренда колебаний возникают аналогичные проблемы. Исследуемым колебаниям навязывается определенная структура, например, ряд Фурье. Эффективный анализ колебаний возможен, когда структура модели соответствует исходным данным, что на практике встречается довольно редко. Их несоответствие компенсируется изменением структуры самой модели до тех пор, пока полученный результат не будет отвечать определенным критериям. Однако, при этом теряется физический смысл получаемых параметров, становится неясной их связь с реальным процессом.

Актуальной проблемой является разработка моделей, алгоритмов и программ, позволяющих реализовать исключение тренда, гарантирующих сохранения структуры колебаний, выявление структурного полного набора почти-периодов и определение на этой основе характеристик самого процесса.

Актуальными задачами, позволяющими решать эту проблему, являются:

1) решение задачи исключения тренда в эмпирических данных без потерисущественной информации о процессе;

2) определение полного набора колебаний на основе алгоритмов, не связанных с их заданной структурой- ' • •.

3) восстановление трендовой составляющей процессабез априорного предположения о его функциональном виде.

Предмет исследования. Математические модели и методы анализа эмпирических данных. Методы исключения и восстановления тренда и определения параметров колебаний.

Объект исследования. Эмпирические данные с трендами и колебаниями, результаты измерения характеристик функционирования природных, физических, технических и экономических систем.

Цель исследования. На основе общих свойств эмпирических данных разработать модели, алгоритмы и программный комплекс исследования эмпирических данных с трендом.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1) Разработать модели и методы, гарантирующие исключение тренда без искажения информации об исследуемом процессе.

2) Разработать алгоритмы, не предъявляющих к исходным данным жесткой структуры колебаний, ориентированные на определение иерархии почти-периодов.

3) Разработать методы согласования* алгоритмов исключения трендов и определения почти-периодов.

5 t I.

4) Разработать методы выделения трендовой составляющей эмпирических данных.

Методы, исследования. Методы исследования основывались на применении теории дифференциальных уравнений, функционального анализа и теории почти-периодических функций. Научная новизна.

Разработан класс моделей, алгоритмов и программ решения задачи о разделении движения в эмпирических данных, включающих:

1) модели исключения тренда на основе свойств линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, гарантирующие исключение тренда с выделением колебаний относительно нулевого уровня, без искажения их t структуры;

2) алгоритмы определения почти-периодов, основанные на метриках функционального анализа, без привязки к заданной структуре колебаний;

3) класс обобщенных сдвиговых функций, обеспечивающих согласование алгоритмов исключения трендов и определения почти-периодов;

4) алгоритм определения трендовой составляющей исследуемых данных, согласованный с характеристиками самого процесса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Модели, алгоритмы и программы исключения трендов в эмпирических данных, обеспечивающие нулевое среднее для оставшихся данных.

2) Модели и методы определения иерархии почти-периодов.

3) Алгоритмы согласования результатов исключения трендов ианализа колебаний.

4) Алгоритмы восстановления трендовой составляющей процесса.

5) Алгоритмы проверки полученных результатов. Обоснованность и достоверность научных^ результатов основываются' как на фундаментальных результатах теории дифференциальных уравнений, теории почти — периодических функций и функционального анализа, так и на предъявлении эффективности разработанных моделей, алгоритмов и программ при анализе эмпирических данных, включающих нелинейные колебания с трендом.

Практическая ценность.

1. Решена задача разделения движения в эмпирических данных с трендом.

2. Разработаны алгоритмы, позволяющие исключать тренд без искажения информации об исследуемом процессе.

3. Разработаны алгоритмы анализа колебаний, выявляющие иерархии почти—периодов на основе общих свойств почти-периодических функций.

4. Разработан метод определения трендовой составляющей исследуемого процесса на основе полученных характеристик самого процесса.

5. Разработан программный комплекс в среде Matlab для решения задачи разделения движения в эмпирических данных.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 10 научных работах, в том числе 2 статьи в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем основного текста состоит из 118 печатных страниц, включая 2 таблицы, 38 рисунков, и список литературы из 98 наименований.

109 Выводы.

1. Из приведенных примеров отчетливо видна эффективность разработанных математических моделей и методов анализа колебаний эмпирических данных с трендом.

2. Методы исключения тренда, основанные на свойствах неоднородного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, позволяют анализировать данные о динамике нелинейных систем, без потери существенной информации о процессе, как колебания относительно нулевого уровня.

3. Алгоритмы анализа колебаний, на основе метрик функционального анализа и свойств почти-периодических функций позволяют выявлять иерархию почти — периодов.

4. Согласование этих методов дает возможность выявление колебаний наиболее сильным образом проявленных в исследуемых данных.

Заключение

.

В общем случае, анализ и обработка эмпирических данных часто связана с трудностями выделения колебаний, сопутствующих трендам. Без извлечения трендовой составляющей анализ колебаний достоверно провести проблематично, так как тренд будет вносить неточности в получаемый результат. Однако регулярных методов решения этой задачи нет. Используемые в настоящий момент методы не всегда могут адекватно описать исследуемую зависимость и исключить тренд без потери информации о процессе.

На основе общих свойств линейного неоднородного дифференциального уравнения решалась задача исключения трендов из эмпирических данных. Это уравнение описывает достаточно широкий класс динамических процессов, чтобы гарантировать исключение тренда из данных любой конфигурации без потери важной информации о процессе. Результатом работы алгоритма являются колебания относительно нулевого уровня.

Не смотря на многообразие методов анализа колебаний, их характерным недостатком является навязывание определенной структуры колебаний эмпирическим данным. Такое предположение о характере колебаний не позволяет получить достоверную информацию об исследуемом процессе.

На основе общих свойств почти — периодических функций и метрик функционального анализа решалась задача определения колебаний без привязки исследуемого процесса к жесткой структуре. В результате стало возможным достоверно определять параметры колебаний и их иерархию, что зачастую не возможно при использовании стандартных методов.

Разработаны алгоритмы определения трендовой составляющей исследуемых данных, согласованной с характеристиками самого процесса.

Результатом явилось создание программного комплекса, позволяющего анализировать эмпирические данные с трендом. Структурно программный комплекс состоит из четырех частей: в первой части исключается тренд и остаются колебаний относительно нулевого уровняво второй части исследуются колебания в данных после исключения трендав третьей части вводится класс обобщенных сдвиговых функций и проводится согласование алгоритмов исключения трендов и определения почти — периодовв четвертой части происходит сглаживание исходных данных по почти-периодам, определяются тренды.