Некоторые экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа

Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач для целых функций экспоненциального типа: о минимуме норм 1 и целых функций с фиксированным значением в нуледискретному варианту теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями в L.

Актуальность темы

Задача о минимуме нормы li целой функции экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле тесно связана с важными экстремальными задачами теории функций и теории приближений — задачей C.B. Конягина для периодических функций с малым носителем и задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и L тригонометрических полиномов и целых функций. Экстремальная задача Конягина была поставлена в связи с приложениями к аналитической теории чисел.

Дискретный вариант теоремы Крейна для целых функций экспоненциального типа, как и сама теорема Крейна являются аналогами задачи А. А. Маркова о наилучшем приближении функции в Ll на отрезке алгебраическими полиномами. Приложениями этих теорем в теории приближений является приближение в L полиномами и целыми функциями классов сверток.

Рассматриваемые задачи могут быть использованы в цифровой обработке сигналов для представления и восстановления дискретных сигналов с ограниченным спектром.

Цель работы. Целью работы является решение двух задач: о минимуме норм li и Zoo целых функций экспоненциального типа ^ 2пh 5 для рационального h < ½- нахождение величины наилучшего приближения в? i (Z) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ 2irh.

Методика исследований. Применяются методы теории функций действительного и комплексного переменного, теории приближений, гармонического анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Предложен метод решения задачи о минимуме норм 1 и целых функций экспоненциального типа ^ 2irh для заданных небольших рациональных чисел h <½.

Найден критерий наилучшего приближения в 1{Ъ) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ Ъrh с рациональным h. Получен дискретный аналог условия С.-Надя на приближаемую функцию, когда критерий выполняется.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 1 статье в центральной печати (журнал «Математические заметки») [16], в 2 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика» [13, 15] и 1 статье в журнале «Известия ТулГУ. Серия Естественные науки» [21], входящих в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий. Три из них написаны в соавторстве с Д. В. Горбачевым, которому принадлежат гипотезы о виде экстремальных функций.

Также опубликованы 2 работы в Трудах Международных конференций [34, 19] и 4 тезиса докладов Международных конференций [12, 14, 17, 18].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3 Международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2005;2007), 2 Международных школах С. Б. Стечкина по теории функций в г. Алексин Тульской обл. (2007) и г. Миасс Челябинской обл. (2008), на научном семинаре под б руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН (2008).

Основное содержание работы. Диссертационная работа состоит из двух глав. Первая глава содержит 9 параграфов и посвящена нахождению минимумов дискретных норм 1 и для целых функций экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле. Во второй главе, содержащей 4 параграфа, рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крепна о наилучшем приближении в Ь целыми функциями экспоненциального типа.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы.

Пусть 0 < к < ½, Е (к) — множество целых действительных функций экспоненциального типа ^ 27г/г, £(к) — подмножество четных функций из Е (К),.

В гл. 1 рассматривается экстремальная задача нахождения величины.

Ав (л) = Ы{\П1ЛЮ: / е ад, д0) = 1}, (1) где и = Ъ {0}.

Основное внимание уделяется случаям в = 1, оо.

Пусть с (х) = событие), б (х) = эт^тпс), е (ж) = е2™х, яф) = з1п2(^ж) (бс (0) = 1).

В задаче (1) достаточно ограничиться только четными функциями, поэтому.

Ав (Л) = шЦИ/Н^): / € ОД, /(0) = 1}.

При к ^ ½ величина Л5(/г) = 0. Действительно, функция /(г) = е £(Ь) при К ^ ½ и для нее значение И/И^') = 0. Поэтому представляет интерес случай 0 < к < ½.

В гл. 1 показывается, что в задаче (1) для любого 0 < к < ½ существует экстремальная функция /* = /*, для которой лв (ь) = Ш11.(2*). 7.

Задача A (h) тесно связана с экстремальной задачей Конягина для периодических функций с малым носителем [1, 35], которая заключается в нахождении величины.

В (К) = sup ao (F), FeK (h) где K{h) — класс четных непрерывных действительных 1-периодиче-ских функций оо.

Fix) = J2an С (ПХ)> Х € Т = = («V2* -½]: «П = ein (F), п=0 удовлетворяющих условиям со.

P|<2n| = l, F (x) = 0, h^x^l/2. п—О.

Последнее условие означает, что носитель функции F на периоде сосредоточен на отрезке [—h, h].

Задача В {К) является нелинейным вариантом экстремальной задачи Турана, А [К) для периодических функций с малым носителем, в постановке которой дополнительно требуется неотрицательность коэффициентов Фурье функций F (x):

A (h) — sup{a0(F): F 6 K (h), an ^ 0, n 6 Z+}. *.

Задача нахождения величины A (h) была поставлена в 1970 г. П. Ту-раном. С. Б. Стечкин в 1972 г. [31] доказал, что A (l/q) — 1/q для q = 2,3,. и получил асимптотику A{h) = h + o{h2) (ft, —> 0). А. Ю. Попов показал, что A{h) > h при h ф 1/q, и предположил, что при h ^ 0 справедлива более сильная асимптотика A (h) = h—0(h3), которая была доказана Д. В. Горбачевым в 2001 г. [7].

Для рациональных чисел h = p/q при р — 2,3 задача Турана решена в 2004 г. Д. В. Горбачевым и А. С. Маношиной [20]. Ими она была сведена к конечномерной задаче линейного программирования, явл5ПО-щейся дискретных аналогом задачи Фейера для неотрицательных полиномов. Для произвольных рациональных чисел h — p/q задача Турана была решена В. И. Ивановым и Ю. Д. Рудомазиной в 2004 г. [23, 24]. В 2006 г. В. И. Ивановым было получено решение задачи Турана для всех иррациональных h [22].

Экстремальная задача B (h) была поставлена С. В. Конягиным в связи с приложениями к аналитической теории чисел [35]. При этом подчеркивалась важность вычисления величины B (h) для отдельных значений h, в том числе близких к ½.

В 1996 г. в работе [1] Н. Н. Андреева, С. В. Конягина и А. Ю. Попова величина B (h) была вычислена для h = ¼: ?>(¼) = 2/(7г + 4) и B{h) = Lh + 0(h2), h-+ О, где 1,079.

Константа L находится из решения экстремальной задачи [11].

Ь-1=Ы{и\Ь1т:/е8(1), /(0) = 1}, являющейся интегральным аналогом задачи Ai (/г).

Д. В. Горбачевым в 2005 г. были получены значения В (К) для h = ½, 1/3,1/5, 2/5 [8] и усилены оценки константы L до 1,8 185. < L < 1,9 769. (см. [9, 10, 11]). Также им установлена связь задачи B (h) с задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и L тригонометрических полиномов и целых функций: с (п — 1) ^ сп ^ en, п Е N, с — L, где сп = sup{M^: t — 1-периодический полином порядка п — 1}. Задачей об оценке величины сп занимались С. Б. Стечкин, JI. В. Тай-ков [32], а также авторы работы [33].

Лемма 1.1. При 0 < h < ½ справедливо равенство в<" > = ттда.

В продолжение приведенных результатов представляет интерес вычисление величин Ai (/г), Aqo (h) для h = p/q, где р и q — взаимно простые целые числа, q = 3, 4,., 1 ^ р < q/2.

В гл. 1 приводится способ вычисления величин Ai (p/q), AOQ (l/2 — p/q). Он опирается на следующие две леммы и основную теорему гл. 1.

Положим h! — 1 /2 — h.

Лемма 1.2. Пусть / е S (h), g € ?(h'), ||/||MZ) < oo- \g\loo{Il) < oo. Тогда ze z.

Лемма 1.3. При в ^ 1 где в' = в/(в — 1) — сопряженный показатель.

Теорема 1.1. Пусть существуют функции f*? £{Ъ), т* € £(Н'), ф/2)ш*(>), ябС, удовлетворяющие условиям: 0) = 1, КЙК1, геЪ', Г{г)ф 0.

Тогда функция f*(z) ~ экстремальная в задаче К.{Н) и, а функция д= цг*^ — экстремальная в задаче Л00(/1/) и.

Лоо (^).

Ах (/г) -ТУ*(0)'.

Далее в гл. 1 на основание теоремы 1.1 приводятся конструкции экстремальной функции /* и функций ъи*, Ш* для конкретных! ъ — р/д, Ы — ½ — р/д.

Пусть г г = гг (Д) — (2г + 1)/(4к), г 6 2, — нули функции оо оо / 2 г = -оо П г=0 ^ Г.

Положим для к = р/с/ П (1-|)=П (1 22 г=-оо 4 г=0 4.

7?

Здесь <7г = —г € К, а точки г Е являются целочисленными аппроксимациями нулей т^, т. е. ^ — ближайшее целое число к числу г< = д (2г + 1)/(4р), г 6.

Если нуль гг — полуцелый (например, г"(1/6) = Зг + 3/2), то используется округление в меньшую сторону.

Последовательность точек qi представима в виде.

Яг: I Е = + гд: ^ = 0,1,., 2р — 1, г Е где 0 < < < • • • < Ч2Р-1 < Я.

Если среди нулей г г нет полуцелых (далее этот случай назовем непо-луцелым), то д2Р-1-з з = о, 1,., р- 1. (2).

Если среди Гг есть полуцелые, то на (0, q) попадают только два полуцелых нуля 0 < ту < q]2 < /у/ < д, у" = 2р — 1 — /. В этом случае (далее он называется полуцелым) ду/ = д — ду — 1. для остальных д^-, 7 ф выполняется соотношение (2).

Полуцелые нули возникают, когда р = 2j' q = 4рд0 ± 2(р — 21), где / = 1,2,., (р — 1)/2, и они равны ту = д/4, ту/ = Зд/4.

Для функции </?(-г) справедливы представления: в неполуцелом случае.

Р1 Ф/д) — с (д5/д).

Ы — ГТ у 'Ч).

1-с (д,/д) ' в полуцелом случае р-1.

Здесь где В (ж, 2/) = — бета-функция [4].

Из приведенных представлений функции <р следует, что и р (г) — О (1), 2- —> +оо, в неполуцелом случае, <�р{х) — z —> +оо, в полуцелом случае.

В качестве возможной экстремальной функции /* в задаче Лх (7г) предлагается функция.

Г (0) = х, (4) где т е <. < гт — целые числа, удовлетворяющих неравенствам.

1 4−1 < ^ < г = 1,., т. (5).

3).

Таким образом, предполагается, что экстремальная функция /* в задаче hi (h) получается из функции.

< 00• Для доказательства экстремальности функции /* необходимо по теореме 1.1 построить соответствующую функцию W*(z).

Функция IF = W* из теоремы 1.1 конструируется, исходя из представления (4):

W (z) = c (z/2)w (z), w е S (ti), Ы = ½ -p/q, W (z) = (-1)г, ze{zi + 1,., zi+1 — 1}, i = 0,1,., m,.

Zq = 0, zm+1 = qm+ii W (z) = (~1)г, z G {qi + 1, • •., qi+i — 1}, г = m + 1, m + 2,., |Ж (>гЖ1, г = 1,2,., тте- |W (g<)| < 1, г = ш + 1, m + 2,. значения функции в силу ее четности рассматриваются только при z ^ 0).

Чтобы удовлетворить этим условиям функция W записывается.

W (z) = A{z) + B (z), z еС, где.

A (z) = c (z/2)a (z), B (z) = ф/2)Ь (г), a, b e ?(½ — p/q), w (z) = a (z) + b (z), zee. Функция a (z) имеет вид q-2p a (z) = akc (kz/(2q)) k=0 и определяется из условия sign = - sign.

Положим.

I = {0,1,., q} {go, qi, ¦ • •, Q2P-i}, I=q-2p + 1, (лк TT c (*/2?) ~ ФУ2?) haT () = (}.

Функции ak € 6(½—p/q) и c (z/2)ak (z) = 6kz, k, z € I. С помощью них функция A (z) записывается в виде.

A (z)=c (z/2)J2(-l)i+1T, c*^ г=0 fce/г где {0,., go — 1}, г = 1 + 1,., д* - 1}, г = 1,., 2р — 1, hp = tap-i + 1, • • •, д}.

Лемма 1.4. Цртх р = 1 справедливы равенства.

A{q0)=A (qi) = О, д = 0 (mod 4), А (д0) = A (gi) = Tl/2, д = ±1 (mod 4), А (д0) = -A (gi) = -1, д = 2 (mod 4).

Лемма 1.5. При р = 2.

А (дО|<1, ie Z+.

Гипотеза 1.1. При р ^ 3 в неполуцелом случае.

Л (д,-)|<1, j е Z+, в полуцелом случае a (Qj') = МЯэ") = h А (ъ)<1, зФэ’Л'-Положим 01 р (2) l-22/fe2 JUL где постоянная Cfc выбирается из условия c (k/2)(3k (k) — 1 (их явные выражения приведены в п. 1.5.2).

Функции Рк € ?(½ —р/я), /Зк (г) — О (г в неполуцелом случае и Рк (г) — 0(2~1~2^д) в полуцелом случае при г —> +оо и ф/2 Шг) = 8кЯ1 кеК, * € N {г,}^.

Функция В при помощи /3/- представляется в виде т.

В (г)= ф/2)^? •/=0 ??=2^+1 гипотеза 1.2. длл заданных р и д можно подобрать значения т и Хг, i = 1,. удовлетворяющие неравенствам (5), такие что.

Wzi)| <1,? = 1,., 7П, |ТУ (д01? = ш + 1, т + 2,.

Справедливость гипотезы доказана для многих значений р ид. Приведем схему проверки гипотезы в неполуцелом случае. Пусть С, а = тах^од,. ., 2р—1 1⁴(^)1- По гипотезе 1.1 величина С, а < 1-Для функции (Зк справедливо неравенство.

Ш)1< —, кеК, г^т + 1,.

Яг где.

Ы Я^+г/Яо -1. | // м ^ п V=- •¦11рш>

Отсюда следует, что в (®-)1 <

Яг где т зг.

Св ~ 2^ ^ С^.

0 А-=гг+1.

Таким образом, при г ^ т + 1 ^ Са + Св/ЯгОтсюда следует, что при г ^ г' 1^(^)1 < 1, где г' ^ т + 1 определяется из условия Св.

Следовательно, выбрав значения т, г можно ограничиться проверкой условия гипотезы 1.2 в конечном числе точек ., Ят+Ъ • • •, Яг';

Приведем некоторые примеры (выписываются только значение т и отклонения гг от д-, г = 1,., т):

1) для (р, q) = (1,162) значение т — 6 и zi=qi— 4, z2 = q2- 2, z3 = q3- 1, ?4 — g4 — 1,.

25 = 95 — 1, z6 = qe~ 1;

2) для (p, g) = (1,156) значение m = 12 и zi=qi~ 5, z2 = q2 — 3, z3 = q3 ~ 2, z4 = 94 — 1, z5 = q5 — 1, z6 = q6- 1, z7 = q7- 1, z$ = qg — 1, zQ = q9 — 1, ¿-ю = 9ю — 1,.

Z11 = ~ 1, Z12 = qi2 — i;

3) для (p, g) = (1, 95) значение m = 14 и 91 — 3, z2 = q2- 2, z3 = q3- 1, = - 1, ?5 = 95,.

6 = 96−1, z7 — q7, z8 = 9s — 1, = 99, =.

2ll=9ll, 212=912 — 1, 213 = 913,¹⁴ = 914 — 1;

4) для (p, <7) = (2, 21) значение m = 0;

5) для (p, 9) = (3,64) значение m = 2 и i = 9i — 1, -2 = 92 ~ 1;

6) для (p, g) = (4, 55) значение m = 7 и.

2i =9i, 22=92, z3=q3, = z5 = q5, z6 = q6, z7 = q7 — 1;

7) для (p, q) = (5, 201) значение m — 15 и i = 9i — 1, 22 = 92, 23 = 93, 2:4 = 94, 25 = 95 1, 2б — 9б 1;

27 = 97, 28 = 98, 29 = gg, 2ю = 9ю, 2ii=9ll, 212=912,.

213 = 913, 214 = 914, 215 = 9l5 ~ lj.

8) для (p, <7) = (6,101) значение т = 8и.

2i=9i-l, 22 = 92, 23 = q3, z4 = 94, 25 = g5,.

26 = 96, 27 = g7, 28 = 98 — 1.

Во второй главе рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями экспоненциального типа в L.

Далее используются обозначения и результаты из гл. 1. Пусть g: Z —> M — четная функция, ЦрЦ/^z) < Рассматривается экстремальная задача нахождения величины.

Eh{g)hm = ы Из — Лк (Щ = s mf 0 Е Ш — /(*)!• (6).

При Н ^ ½ величина = 0- Поэтому как и раннее представляет интерес случай к < ½.

Задача (6) является дискретным аналогом задачи о нахождении величины наилучшего приближения четной функции С: М. —К. [2], Н^кхСК) < оо:

Ен (о)Ь1т = т| ||а-аЛ||Ь1(к) = т| / в (х) — вК (х) ах.

СнЕЕ (Н) Он€Ь{п.).

В силу четности функции д, С, также как и в задаче Л3(/г) достаточно ограничиться четными аппроксимирующими функциями /,.

Сн е 8{К).

М. Г. Крейном [2] было получено следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы А. А. Маркова для полиномов [2].

Теорема Крейна. Пусть функция С?(ж) = 0(х~2), х —> ооа функция Суг (ж)? интерполирует функцию в нулях Т{ функции с (Нх). оо.

Ghix) =Y2G (rk).

Ф (ж).

9 2 ' с=0 Х 'к ^.

Ф (х) = с (кх), Ск =^у, Фк (г,) = 6к1.

Тогда, если выражение — (-^(ж)) с (Нх) сохраняет всюду знак, то функция С/г (х) является экстремальной в задаче (.

Крейном показано [2], что величина наилучшего приближения функции С равна.

4yv lVbS ((2fc + l) fe).

2/c + l где G (у) = fR G (x) e (-xy) dx — преобразование Фурье функции G (x).

Достаточным условием справедливости теоремы Крейна для четных функций является выполнение критерия С.-Надя [2]: если.

GeC3®, {-1)кд^ку)^о, к = 0,1,2,3, y^h,.

8) то произведение (G (x) — Gh{x)) c{hx) или, что-то же самое, (G (x) — Gh (x)) sign (c (hx)) не меняет знака при х? Ж.

Крейн использовал свою теорему для вычисления в L^ на оси наилучшего приближения класса дифференцируемых функций / с ограниченной нормой H/^lUooOSO, г G N, целыми функциями экспоненциального типа [2]. В этом случае задача сводится к наилучшему приближению в Li (M) интегрального аналога ядра Берпулли. Близкие результаты для тригонометрических полиномов и функций получили Ж. Фавар, Н. И. Ахиезер, С.-Надь, С. М. Никольский, В. К. Дзядык, С. Б. Стечкин, Сунь Юн-Шсн, А. Пинкус, Т. Х. Нгуен Тхи, А. И. Степанец. А. Г. Ба-бенко и Ю. В. Крякин и многие другие математики (см. [25, 3, 26]).

Дискретный вариант теоремы Крейна рассматривается для рациональных чисел h = p/q.

При доказательстве теоремы Крейна большую роль играет функция sign (c (/ia-)). Ее дискретным вариантом является функция A (z), определенная выше при описании результатов гл. 1, для которой.

— A{z) = sign{if{z)), z? Z {qk}kGZ.

Пусть функция gh? ?(h) интерполирует функцию g (z) в точках q-L (нулях функции (р). со г=0.

9h (z) =^g (qi)ipi (z), z <Е С,.

2 qt.

С- = Ч 4>(Z) т ifi{z) = а 2 ^ 2, ijez+, Qi.

VMj) = 5ij.

9).

Теорема 2.1. Если ^ 1, т. е. р = 1,2 или справедлива гипотеза 1.1, и выраснсение (д{г) — дн{2))А (г) сохраняет знак в целых точках, то функция ди (^) является экстремальной в задаче Е^д)^^ и.

Eh (g)it (z) = q~2p f k Г k=0 ?eZ 4 4.

При р = 1, q = 0 (mod 4) нули гъ совпадают с точками qu сp (z) = c (z/q), zeC,.

A (z) = -sign (c (z/q)), z e Z.

Поэтому интерполяционные формулы (9) и (7) совпадают.

Отсюда следует, что если g{z) — G (z), z Е Z, где — функция из теоремы Крейна, то gh (x) = Gh (ж), ж е К, и.

— (G (z) — Gh (z)) sign (c (z/q)) = (g (z) — gh (z)) A (z). z € Z.

Поэтому, если для функции G (x) выполняется критерий Надя (8), то произведение (g (z) — gh (z))A (z) сохраняет знак в целых точках и теорема 2.1 справедлива.

Пусть по-прежнему g (z) — G{z), z G Z, где G (x): К. —^ M — четная функция, для которой G (x) = 0(х~2) при х —> оо.

Следующее утверждение является дискретным вариантом критерия Надя.

Теорема 2.2. Если р = 1, q = ±1 (mod 4) и G (y) — 4:-кратно монотонна при у ^ 1/q, то выполняется теорема 2.1.

Критерий Надя и теорема 2.2 выполняется, например, для функций.

Gi (x) = T-Ц {G^y) =.

1 т ж.

G2 (х) = (G2 {у) =).

Функция G (y) является абсолютно монотонной при у ^ 0 (G^y) ^ О, у ^ 0, к — 0,1,.). Функция G2(y) является 3-кратно монотонной при у ^ у/З/'ка. = (0.69 098. .)а и 4-кратно монотонной при у ^.

— у/(3 + л/б)/(27г)а = (0.93 129. .)а.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Дмитрию Викторовичу Горбачеву за помощь в подготовке диссертации.

1. Андреев H.H., Конягин С. В., Попов А. Ю. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 323−332- Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 479−479.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

3. Бабенко А. Г., Крякин Ю. В. О приближении ступенчатых функций тригонометрическими полиномами в интегральной метрике // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. С. 27−56.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1966.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969.

7. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346−352.

8. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 5. С. 773−778.

9. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между С и L-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 132−134.

10. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. 2-е изд. Тула: Изд-во «Гриф и К», 2005.

11. Горбачев Д. В. Интегральная задача Конягина и (С, Ь)-константы Никольского // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 72−91.

12. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Тезисы докл. Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2005. С. 76—78.

13. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Экстремальная задача для функций с малым носителем и ее приложения в теории фильтрации // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11, вып. 1. С. 119—132.

14. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задача о минимальной норме целой функции экспоненциального типа и оптимальные фильтры // Материалы Межд. конф. Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: ТулГУ, 2006. С. 51−53.

15. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задачи о минимальной? р-норме для целых функций экспоненциального типа и их приложения // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 5. С. 95−102.

16. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С.940−942.

17. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для целых функций экспоненциального типа // Тезисы докл. IV Межд. симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2006. С. 86.

18. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Дискретный вариант теоремы Бернштейна о приближении функции в Ь // Материалы Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2007. С. 24—27.

19. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688−700.

20. Захарова М. В. Минимум дискретной нормы для целых функций экспоненциального типа // Известия ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2007. Вып. 1. С. 5−16.

21. Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 934−939.

22. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю. Д. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 76−104.

23. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю. Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 92−111.

24. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

25. Крепн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // ДАН 1938. Т. 18, № 4−5. С. 245−249.

26. Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1979.

27. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

28. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978.

29. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

30. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math. Acad. Scient. Hungaricae. 1972. Т. 23, № 3−4. P. 289−291.

31. Тайков Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // УМН. 1965. Т. 20, № 3. С. 205−211.

32. Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of Rearrangement and Kolmogorov-Nagy Type Inequalities for Periodic Functions // Approx. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia. 2002. P. 24−53.

33. Gorbachev D.V., Zakharova M.V. Minimal discrete Lp-norms of entire functions of exponential type // In: Extremal problems in Approximation Theory and Function Theory: Proceedings of Russian-Chinese Workshop. Tula: Publ. House of TSU, 2006. P. 85−93.

34. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.