Теоремы типа Шевалле для дискретных групп комплексных отражений

§ 1. О трансцендентной теории инвариантов.

1.1. Диссертационная работа относится к тому направлению математики, которое можно назвать трансцендентной теорией инвариантов (ТТИ) или теорией инвариантов дискретных групп преобразований.

В алгебраической теории инвариантов типичной является ситуация, когда алгебраическая группа G действует на аффинном алгебраическом многообразии V над полем К, и ставится задача описания алгебры K[V]G регулярных функций на многобразии V, инвариантных относительно действия группы G.

В трансцендентной теории инвариантов мы имеем дело с дискретными группами преобразований. Здесь типична ситуация, когда имеется дискретная группа Г автоморфизмов эрмитова симметрического пространства X некомпактного типа, и действие Г на X таково, что факторпространство Х/Т имеет конечный объем. Такие дискретные группы называются решетками. Группы с компактным факторпространством называются кокомпактными (равномерными) решетками или кристаллографическими группами. В качестве простейшего примера такой дискретной группы рассмотрим в аффинном комплексном пространстве С' группу Г, порожденную 21 независимыми (над R!) параллельными переносами.

Следующий важный вопрос: что служит аналогом алгебры регулярных функций KV? Запас голоморфных функций на эрмитовом симметрическом пространстве X велик, но Г-инвариантными среди них оказываются только константы. Для кристаллографических групп причина этого проста: на компактном аналитическом пространстве Х/Т не существует голоморфных функций, отличных от констант. Выход из положения подсказывает классическая теория автоморфных форм: нужно линеаризовать действие группы Г, то есть продолжить это действие (согласованным образом) с X на линейное голоморфное расслоение L над X, или, другими словами, рассмотреть Г-расслоение L над X. И тогда главным для ТТИГ объектом оказывается градуированная алгебра? = C (L) = ф H°(L®n, X) голоморфных сечеюггй тензорных степеней расслоения L. Группа Г естественно действует автоморфизмами алг^^^ры, А и ставится задача описания структуры алгебры инвариантов, А — Сг.

1.2. Алгебра инвариантов, А была известна ещё в 19 веке под именем алгебры Г-^.^ТОМОрфных форм. На языке автоморфных форм мы и опишем наиболее важные, с нашей топесц зрения результаты ТТИ, которые имеют прямое отношение к теме наших исследований.

Математики 19 и начала 20 века (например, школа Ф. Клейна) занимались, в «^агастности следующей задачей: пусть в единичном комплексном диске В = {z 6 С | z < 1} действует дискретная группа его автоморфизмов Г (фуксова группа). Предположим, что Ф"а:кторпро-странство В/Г компактно или имеет конечный объем (фуксова решетка). Через j ('у, ^г), ¦у g р 2 G В, обозначим определитель Якоби преобразования 7 в точке z. Голоморфная s диске В функция / называется классической Г-автоморфной формой веса г (а функция j—1 называется классическим фактором автоморфности), если f{lz) — j» r (7, z) f (z) Для любых 7 6 Г и z? В если факторпространство некомпактно, но конечного объема, то в одномерном слу-чае НуЖН0 дополнительно потребовать ограниченности функции / вблизи параболических то-чек (кас-пов)).

Обозначим через, А градуированную (весами) алгебру Г-автоморфных форм. Что можно сказать о её структуре? Насколько автору известно, никаких общих теорем этот период развития ТТИ после себя не оставил. Но осталось множество ценных примеров.

Так, было показано, что для треугольной группы Т (2,3, 00) (~ PSL{2, Z) (по поводу треугольных групп смотри главу IV) алгебра, А свободно порождается формой веса 2 и формой веса 3 (см., например, [65]), а для треугольной группы Т (2,3,7) алгебра инвариантов есть 8 гиперповерхность СрГ, У, Z/(X2 -Ь У3 + Z7) (см. библиографию к статье [45]).

После долгого перерыва интерес к этой тематике возродился в 80-е годы прошлого века в связи с теорией В. И. Арнольда квазиоднородных двумерных особенностей. В пионерской работе [57] И. В. Долгачев показал, что такие особенности допускают униформизацию авто-морфными формами для подходящих дискретных групп Г в комплексном диске В. Главным итогом последовавшего периода бурного развития этого направления ТТИ явилась классификация таких решеток Г в диске В, для которых алгебра Г-автоморфных форм относительно классического фактора автоморфности (коцикла) j~l является полным пересечением [32], [45], [57].

Но авторы этих работ не рассматривали вопрос о том, для каких групп Г и факторов автоморфности, а соответствующая алгебра Г—а-автоморфных форм будет свободна. Причина вполне понятна: свобода алгебры, А означает отсутствие особенности. Вопрос о свободных алгебрах для фуксовых групп, важный сам по себе, интересен еще и потому, что свободные алгебры автоморфных форм встречаются не только в размерности 1.

1.3. Так Гундлах рассматривал кольцо целых О вещественного квадратичного расширения К = Q (/5) и группу Г — PSL{2,0), которая естественно действует на произведении двух одномерных комплексных дисков X — В х В. Расширив группу Г с помощью автоморфизма X, меняющего местами диски, Гундлах доказал [18], что классическая алгебра автоморфных форм для расширенной группы является свободной алгеброй с тремя образующими. Вслед за Гундлахом, в рамках программы Хирцебруха по исследованию модулярных поверхностей Гильберта, была изучена структура алгебры, А для расширенных модулярных групп Гильберта Г над кольцами целых Ок вещественных квадратичных расширений К — Q (/D) дискриминанта D < 13. Подробный отчет о проделанной здесь работе содержится в книге [13].

1.4. Хольцапфель рассмотрел группу PSU (2,1, Щи]), ш = е2^, дискретно действующую в комплексном шаре В2 = {(21, г2) | |zi|2 + z22 < 1}. Обозначим через Г её конгруэнц-подгруппу по модулю л/=3. Тогда, как доказано в [22], классическая алгебра, А есть свободная алгебра с тремя образующими.

1.5. Наконец, важное достижение в размерности 3 принадлежит Игузе.

В его работе в качестве X рассматривалась эрмитова симметрическая область, которая выделяется в пространстве комплексных симметрических 2×2 матриц S условием ImS" > 0. Это эрмитово симметрическое пространство комплексной размерности 3 обладает неположительной кривизной и довольно сложной геометрией. В этом пространстве естественно действует модулярная группа Зигеля Г = PSp^Z) рода 2. При этом факторпространство Х/Г имеет конечный объем, но некомпактно. Игуза доказал, что алгебра, А с классическим фактором автоморфности j" 1 является свободной алгеброй с четырьмя образующими, веса которых равны 4, 6, 10 и 12. Опираясь на теорему Игузы, удалось полностью описать структуру алгебры автоморфных форм и для некоторых конгруэнц-подгрупп небольшого индекса в модулярной группе Зигеля Г (см. [36] и имеющуюся там библиографию).

Отметим, что все перечисленные результаты о свободе касаются исключительно арифметических некристаллографических решеток.

Если размерность X больше трех, то ничего подобного автору неизвестно. На сегодняшний день даже вычисление размерности градуированной компоненты алгебры, А (в размерности > 4) вызывает большие трудности.

На этом мы закончим перечисление некоторых результатов ТТИ, повлиявших на постановку задачи, и переходим к формулировке главных результатов работы.

1. Armstrong М. A. On the fundamental group of an orbit space // Proc. Camb. Philos. Soc. -1968. — V. 64. — P. 299−301.

2. Bernstein J., Schwarzman O. Complex crystallographic Coxeter groups and affine root systems // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2006. — V. 13, N 2. — P. 163−182.

3. Bernstein J., Schwarzman 0. Chevalley’s theorem for the complex crystallographic groups // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2006. — V. 13, N 3. — P. 323−351.

4. Baily W. L. On embedding of V-manifolds in projective space // Amer. J. Math. 1957. -V. 79. — P. 403−430.

5. Baily W. Introductory lectures on automorphic forms. Ivanami Shoten and Prinston Univ. Press, 1973. — ch. 5.

6. Chevalley C. Invariants of finite groups generated by reflections // Amer. J. Math. 1955. -V. 77. — P. 778−782.

7. Cohen A.M. Finite complex reflection groups // Ann. Sci. Ecole. Norm. Sup. 1976. — V. 4, N 9. — P. 379−436.

8. Coxeter H.M.S. Discrete groups generated by reflections // Ann. of Math. 1934. — V. 35. -P. 588−621.

9. Dolgachev I.V. Invariant stable bundles over modular curves X (p) // Contemporary Math. -1999. V. 224. — P. 65−69.

10. Dolgachev I.V. Reflection groups in algebraic geometry // Bull.AMS. 2008. — V. 45, N 1. -P. 1−60.

11. Dubrovin B. Geometry of 2D topological field theories // Lecture Notes in Mathematics. -Berlin: Springer-Verlag, 1996. V. 1620. — P. 120−348.

12. Dubrovin В., Zhang Y. Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds // Compositio Math. 1998. — V. Ill, N 2. — P. 167−219.13. van der Geer G. Hilbert modular surfaces. Berlin: Springer, 1988.

13. Friedman R., Morgan J., Witten E. Vector bundles and F theory // Comm. Math. Phys. 1997. — V. 187, N 3. — P. 679−743.

14. Futura M., Steer B. Seifert fibered homology 3-spheres and the Yang-Mills equations on Reimann surfaces with marked points // Adv. Math. 1992. — V. 96. — P. 38−102.

15. Givental A.V. Reflection groups in singularity theory // Amer. Math. Soc. Translations. -1992. V. 153. — P. 39−71.

16. Godement R. Cohomologie des groupes discontinue // Sem.Bourbaki. 1953;1954. — Exp.90.

17. Gundlach K.B. Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahl korpers Q (V5) // Math. Ann. 1963. — V. 152. — P. 226−256.

18. Gunning R. Riemann surfaces and generalized theta functions. Berlin: Springer, 1976. — Ch2, § 5.

19. Goryunov V. Symmetric X9 singularities and the complex affine reflection groups // Proceedings of Steklov Institute of Math. 2007. — V. 258. P. 44−52.

20. Gottschling E. Invarianten endlichen Gruppen und biholomorphe Abbildungen // Invent. Math.- 1969. V. 6. — P. 315−326.

21. Holzapfel R-P. Geometry and arithmetic around Euler partial Differential Equations. -Dortrecht: D. Reidel, 1986.

22. Igusa J-I. On Siegel modular forms of genus two // Amer. J.Math. 1964. — V. 86. — P. 219−246.

23. Igusa J-I. Theta-functions. Berlin: Springer, 1972.

24. Кас V. G., Peterson D. H. Infinite dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms // Adv. Math. 1984. — V. 53. — P. 125−264.

25. Kawasaki T. The Riemann-Roch theorem for complex V-manifolds // Osaka Y. Math. 1979. V. 16. P. 151−159.

26. Kitagawa S. On classification of parabolic reflection groups in SU (n, 1) //J. Math. Soc. Japan.- 1989. V. 41, N 1. — P. 9−36.

27. Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions // Mathematical Surveys. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1964. — V. VIII.

28. Leites D. (ed.) Seminar on supermanifolds // Reports of Stockholm University. 1986;90. -P. 1−34.

29. Looijenga E. Root systems and elliptic curves // Invent. Math. 1976. — V. 38. — P. 17−32.

30. Macdonald I.G. Affine root systems and Dedekind’s 77-function // Invent. Math. 1972. — V.15. P. 91−143.

31. Milnor J. On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M (p, q, r) // Ann. Math. Studies. 1975. V. 84. P. 175−225.

32. Mitchell H.H. Determination of the ordinary and modular ternary linear groups // Trans.Amer. Math.Soc. 1911. — V.12. — P. 207−242.

33. Pinkham H. Normal surface Singularities with C* // Action. Math. Ann. 1977. — V. 227. -P. 183−193.

34. Popov V. L. Discrete complex reflection groups // Communications of the Mathematical Institute, Rijksuniversiteit Utrecht. 1982. — P. 1−89.

35. Runge B. On Siegel modular forms of genus two // J. reine und angew. Math. 1993. — V. 436. P. 57−85.

36. Saito K. Extended affine root systems. I. Coxeter transformations // Publ. Res. Inst. Math. Sci.- 1985. V. 21, N 1. — P. 75−179.

37. Satake I. Flat structure and the prepotential for the elliptic root system of type D^'1^ // In: Topological field theory, primitive forms and related topics. Birkhauser, Boston, MA: Progr. Math., 1998. — V. 160. — P. 427−452.

38. Shephard G. C., Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Canad. J. Math. 1954. — V. 6. P. 274−304.

39. Shvartsman О. V. Cartan matrices of hyperbolic type and nonsingular parabolic points of quotient spaces of tube domains // Selecta Math. Soviet. 1985. — V. 4, N 1. — P. 55−61.

40. Slodowy P. A character approach to Looijenga’s invariant theory for generalized root systems // Compos.Math. 1985. — V. 55, N 1. — P. 3−32.

41. Springer T. A. Regular elements of finite reflection groups // Invent.Math. 1974. — V. 25. -P. 159−198.

42. Takebayashi Т. The theta function associated to the elliptic root system // J. Algebra. — 2001. V. 243, N 2. — P. 486−496.

43. Tokunaga S. and Yoshida M. Complex crystallographic groups in C2 // J. Math. Soc. Japan. -1982. V. 34. — P. 581−593.

44. Wagreich P. Algebras of automorphic forms with few generators // Trans. Amer. Math. Soc. -1980. V. 262. — P. 367−389.

45. Wirthmuller K. Root systems and Jacobi forms // Compositio Math. 1992. — V.82. -P. 293−354.

46. Yoshida M. Discrete reflection groups in the parabolic subgroup of SU (n, 1) and the generalized Cartan matrices ofEuclidean type // J.Fac.Sci.Unv.Tokyo. 1983. — V.30. — P. 25−32.

47. Верже M. Геометрия, т. 2. M.: Мир, 1984. — 4.4, § 1.

48. Бернштейн И. Н., Шварцман О. В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп Кокстера // Функц. анализ и его прил. 1978. — Т. 12, вып. 4. — С. 79−80.

49. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. — Гл. 4−6.

50. Винберг Э. Б. Эффективная теория инвариантов // Алгебра. Сборник работ, посвященный 90-летию со дня рождения О. Ю. Шмидта. М.: МГУ, 1982. — С. 27−34.

51. Винберг Э. Б. Гиперболические группы отражений // Успехи мат.наук. 1985. — Т. 40, N 1. — С. 29−64.

52. Винберг Э. Б., Попов В. Л. Теория инвариантов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. — Т. 55. — С. 139−309.

53. Винберг Э. Б., Онищик A.JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.

54. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика, алгоритмы, сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000.

55. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.

56. Долгачев И. В. Автоморфные группы и квазиоднородные особенности // Функц. анализ и его прил. 1975. — Т. 9, N 2. — С. 67−68.

57. Касселс Дж. и Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. М.: Мир, 1969. — Гл. 4.

58. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.

59. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975.

60. Кричевер И. М., Новиков С. П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов // Функц. анализ и его прил. 1987. — Т. 21, N 2. — С. 46−63.

61. Ленг С.

Введение

в алгебраические и абелевы функции. М.: Мир, 1976.

62. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971.

63. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Физ-мат лит., 1961.

64. Серр Ж-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

65. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

66. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

67. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии, том 2. М.: Наука, 1988. — Гл. 9.

68. Шварцман О. В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп, порожденных отражениями, в аффинном пространстве С2 // Успехи мат.наук. 1979. — Т. 34. С. 249−250.

69. Шварцман О. В. О коциклах групп комплексных отражений и сильной односвязности фак-торпространств // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль, 1991. С. 32−39.

70. Шварцман О. В. О фуксовых группах рода нуль // Функц. анализ и его прил. 1994. — Т. 28, вып. 4. — С. 66−73.

71. Шварцман О. В. Свободные G-пучки на замкнутых римановых поверхностях // Успехи мат.наук. 1999. — Т. 54, N 6. — С. 175−176.

72. Шварцман О. В. Об одном примере Д. Мамфорда и факториальности алгебр автоморфных форм для плоских групп рода 0 // Успехи мат. наук. 2003. — Т. 58, N 2. — С. 179−180.

73. Шварцман О. В. Свободные алгебры автоморфных форм на верхней полуплоскости // Функц. анализ и его прил. 2003. — Т. 37, вып. 2. — С. 147−154.

74. Шварцман О. В. Гиперболические группы Шевалле в С2 // Функц. анализ и его прил. -2009. Т. 43, вып. 2. — С. 64−72.

75. Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры Ли // Функц. анализ и его прил. 1990. Т. 24. С. 51−61.

76. Шейнман O.K. Алгебры Кричевера Новикова и ССС-группы // Успехи мат.наук. — 1995. Т. 50. С. 253−254.

77. Шимура Г.

Введение

в арифметическую теорию автоморфных функций. М.: Мир, 1973.

78. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. — Гл. 8.

79. Хермандер JI.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. — Гл. 5, 7.

80. Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.